Olympic Quốc tế lần thứ XII Thạc sĩ Toán học Romania

36

KVAN T 2020/Số 6

nơi khoảng cách đạt giá trị lớn nhất. Với h đủ lớn, điểm B sẽ không cách xa A nhất. Thật vậy, đối với hình trụ cao, khoảng cách ngắn nhất từ ​​A đến A c bằng h và đến điểm đối diện B là $h^{2} S^{2}$. Sự khác biệt giữa các giá trị này

$h^{2} S^{2} h$

$S^{2}$

$h^{2} S^{2} h$

$S^{2} 2 h$ có xu hướng bằng 0 khi h tăng. Do đó, với h đủ lớn, khoảng cách từ A đến tất cả các điểm của đường tròn đáy trên xấp xỉ bằng nhau. Do đó, điểm xa A nhất phải nằm đủ gần $центру^{O}$ của điểm trên

căn cứ. Vì vậy, cho đến một giá trị h nhất định, điểm xa A nhất trùng với B, sau đó nó bắt đầu di chuyển về phía $точки^{O.}$ Nếu điểm xa nhất là duy nhất thì nó nằm trên đoạn BO. Nhưng có lẽ có hai điểm như vậy, đối xứng nhau ở đoạn này. Tác giả không thể tìm ra sự phụ thuộc chính xác của vị trí điểm xa nhất vào h. Có lẽ người đọc sẽ thành công. Để kết luận, chúng tôi khuyên độc giả nên đọc bài viết của M.N. Vyaly “Những con đường ngắn nhất dọc theo bề mặt của một hình bình hành” trong “Giáo dục Toán học” (Số 9, 2005). Trong đó, bài toán, tương tự như những gì đã xét, được giải cho bề mặt của một hình bình hành hình chữ nhật.

OLIM P IAD S

Olympic Quốc tế lần thứ XII Thạc sĩ Toán học Romania

Vào cuối tháng 2, kỳ thi Olympic Thạc sĩ Toán học (RMM) Romania lần thứ 12 đã được tổ chức tại thủ đô Bucharest của Romania. Trong những năm qua, Olympic Cao cấp Romania đã khẳng định mình là một trong những cuộc thi toán học mang tính thử thách nhất dành cho học sinh trên toàn thế giới. Đây là kế hoạch của các nhà tổ chức từ Hiệp hội Toán học Romania. Theo kế hoạch của họ, RMM được cho là sẽ trở thành một giải đấu tương tự như cuộc thi toán học chính, Olympic Toán học Quốc tế (IMO), dành cho một nhóm người tham gia hẹp hơn: các đội từ khoảng 20 quốc gia chiếm vị trí dẫn đầu trong IMO được mời tham dự RMM hàng năm.

Đội Nga tại RMM được đại diện bởi:

Danila Demin (Sochi, lớp 10), Ivan Gaidai-Turlov (Moscow, lớp 11), Maxim Turevsky (St. Petersburg, lớp 9), Danil Sibgatullin (Kazan, lớp 10), Konstantin Myasnikov (Chelyabinsk, lớp 11).

Từ trái sang phải: K. Myasnikov, M. Turevsky. I. Gaidai-Turlov, D. Sibgatullin, D. Demin

Các em của chúng tôi đã thể hiện rất thành công: trong số 107 học sinh tham gia Olympic, 10 em đứng đầu đã nhận được huy chương vàng và tất cả học sinh của chúng tôi đều có tên trong “mười vàng” này. Ở phần thi đồng đội, Nga đã giành vị trí số 1 và giành được giải thưởng chính của thử thách - tấm bạc. Đối với tất cả mười hai chuyên gia

40

K V AN T 2020/№6

ở cuối biến trở phải có thanh trượt (Hình 5) sao cho điện trở giữa hai điểm A và B bằng $R_{0} = 3$ Ohm? Hình 5 Đáp số tính bằng cm. 4. Cậu bé ở điểm M (Hình 6) muốn ném tia nắng vào

chứa đầy hơi nước, phương trình pV = const là đúng, trong đó p là áp suất hơi, V là thể tích của nó. 3. Khi bật các thiết bị theo sơ đồ ở hình 7 a, ampe kế hiển thị dòng điện $I_{1} = 12$ mA, vôn kế hiển thị điện áp $U_{1} = 9,6$ V. Khi bật các thiết bị tương tự theo sơ đồ ở hình 7, b

Hình 7

Hình 6

cửa sổ nhà cô gái, tức là điểm D. Hỏi người đó nên đặt gương phẳng ở góc E nào so với đường chân trời nếu khoảng cách MC giữa chàng trai và tường nhà bằng chiều cao CD nơi cửa sổ nhà cô gái nằm? Tia sáng mặt trời chiếu một góc D 21 q so với đường chân trời. Hãy xem xét rằng cậu bé đang đặt một tấm gương trên bề mặt trái đất. Cho Đáp số theo độ.

lớp 9

1. Tàu bắt đầu chuyển động với gia tốc không đổi và đi qua đoạn đầu của đường tăng tốc, là 19 phần của đường tăng tốc tối đa, với tốc độ trung bình là $v_{cp} 10$ km h. Vận tốc v của tàu ở cuối đường tăng tốc là bao nhiêu? Cho Đáp số tính bằng km/h và làm tròn đến số nguyên. 2. Một ống có tiết diện $S 3,5 см^{2}$, chứa đầy hơi nước dưới áp suất $p_{0} = 2$ kPa, được bịt kín hai đầu và nằm ngang. Trong trường hợp này, một piston nằm trong ống chia ống thành hai phần bằng nhau. Ống được đặt thẳng đứng, do đó pít-tông chuyển động và thể tích bên dưới nó giảm đi bốn lần. Tìm khối lượng của piston m nếu áp suất của hơi nước bão hòa là $2p_{0}$. Ma sát và chiều dày piston có thể bỏ qua. Xét hằng số nhiệt độ hơi nước. Lấy gia tốc rơi tự do bằng g 10 m $с^{2}$. Đáp số tính theo kg. Gợi ý. Đối với các quá trình được thực hiện ở nhiệt độ không đổi trên miliampe kế, dòng điện là $I_{2} = 10$ mA và vôn kế hiển thị điện áp $U_{2} = 12$ V. Xác định điện trở của điện trở R, giả sử điện áp giữa các điểm A và B không đổi. Đáp số tính theo kilo-ohm. 4. Vào một ngày nắng đẹp, một con cá bơi trong hồ có độ sâu H = 1,5 m. Bóng cá ở đáy hồ cách mặt nước l = 0,7m. Cá bơi ở độ sâu bao nhiêu h nếu độ cao của mặt trời so với đường chân trời là D 30 q? Chiết suất của nước là n = 1,33. Đáp số cho đến centimet gần nhất.

lớp 10–11

1. Bài toán. Một khối khối lượng m trượt với tốc độ không đổi dọc theo một mặt bàn nhẵn và va chạm đàn hồi với một khối khối lượng M được gắn vào một bức tường đứng yên bằng một lò xo đủ dài (Hình 8). Sau va chạm, vật có khối lượng m chuyển động ngược chiều và vật có khối lượng M bắt đầu thực hiện dao động điều hòa. Biết rằng sau một thời gian bằng 7 12 chu kỳ dao động, một vật có khối lượng M đuổi kịp một vật có khối lượng m. Tìm tỉ số n M m của khối lượng của các thanh này.

Hình 8