Đại học Nghiên cứu Quốc gia "Miệt"

VẬT LIỆU KIỂM TRA

Đại học Nghiên cứu Quốc gia “Miệt”

Trong nhiều năm, Đại học Nghiên cứu Quốc gia “Miệt” đã tổ chức các kỳ thi Olympic về toán, vật lý và khoa học máy tính cho học sinh trung học, vốn rất được học sinh cả nước yêu thích. Từ năm 2015, Olympic RHYTHM MIET dành cho học sinh được tổ chức theo hình thức tương ứng (khoảng cách). Hàng năm có hơn 2.000 người tham gia 9 phần thi Olympic. Năm 2018, trường đã tổ chức Olympic Vật lý và Toán học toàn thời gian MIET, diễn ra ở hàng chục thành phố ở Nga và các nước CIS. Từ năm 2019, Olympic Nanoworld điện tử dành cho học sinh cũng được tổ chức. Dưới đây là bài toán về vật lý của giai đoạn cuối của Olympic “RITHM MIET”, các lựa chọn cho Olympic Vật lý và Toán học MIET và bài toán Olympic “Thế giới nano điện tử” được chọn.

Olympic Internet “Nhịp điệu Miệt”

Giai đoạn cuối

1. Tại thời điểm tàu ​​khởi hành với gia tốc 1 m $с^{2}$, hành khách cách cửa toa xe đang mở một khoảng r 15 m và cách cửa toa 10 m (Hình 1). Từ cái gì

Hình 1

tốc độ tối thiểu và hành khách nên chạy theo hướng nào để nhảy lên xe của mình? 2. Trục của hình trụ rỗng nằm ngang. Một vòng đệm nhỏ được đặt bên trong xi lanh ở điểm thấp nhất. Xi lanh bắt đầu quay quanh trục của nó sao cho tốc độ của vòng đệm trước khi nó bắt đầu trượt tăng lên.

phát triển theo thời gian theo quy luật tuyến tính v at, trong đó a 1 m $с^{2}$. Vòng đệm bắt đầu trượt vào thời điểm xi lanh quay một góc M S 6 so với vị trí ban đầu của nó. Xác định hệ số ma sát giữa xi lanh và vòng đệm. Gia tốc rơi tự do g 10 m $с^{2}. 3.$ Trong một bình hình trụ cách nhiệt có thể tích $V_{0} 1$ l dưới pít-tông có một lò sưởi điện nhỏ và một lượng khí lý tưởng đơn nguyên tử ở áp suất $p_{0} 100$ kPa. Pít-tông bắt đầu chuyển động với tốc độ không đổi, đồng thời bật lò sưởi điện và điều chỉnh công suất của nó sao cho áp suất trong bình thay đổi tỷ lệ với thể tích khí. Xác định công suất làm nóng tối thiểu và tối đa khi thể tích khí tăng gấp 2 lần trong thời gian $t_{0} 400$ s. 4. Trạng thái của khí lý tưởng hai nguyên tử thay đổi theo chu trình Carnot. Thể tích khí tối thiểu trong chu trình V là 1 l, áp suất p tối đa là 200 kPa. Trong quá trình giãn nở đoạn nhiệt, khí thực hiện công A 150 J trong mỗi chu kỳ. Xác định hiệu suất của chu trình. 5. Ba quả bóng giống hệt nhau được nối với nhau bằng hai sợi dây nhẹ, không giãn có cùng chiều dài (Hình 2). Các quả bóng bên ngoài rỗng

Hình 2

được tích điện một cách sống động. Tại thời điểm ban đầu, các quả bóng nằm trên cùng một đường thẳng, tốc độ của các quả bóng bên ngoài bằng 0 và quả bóng ở giữa chuyển động theo hướng vuông góc với các sợi dây, với động năng bằng thế năng tương tác điện của các quả bóng bên ngoài. Xác định: a) góc nhỏ nhất giữa các sợi dây khi các viên bi chuyển động; b) góc E giữa các sợi dây tại thời điểm vận tốc của viên bi ở giữa bằng 0. Bỏ qua trọng lực. 6. Một dây dẫn bằng đồng có hình dạng được ép vào hai thanh đồng (Hình 3). Điện trở của bốn điểm tiếp xúc của dây dẫn hình chữ U với các thanh là $R_{1} R_{2} R_{3} 1$ Ohm và $R_{4} 3$ Ohm. Các điện trở này vượt quá đáng kể điện trở của bản thân thanh và dây dẫn P.

45

KIỂM TRA

điện sao cho nhiệt độ trong bình không đổi. Trong thời gian $t_{0} 500$ s, thể tích khí trong bình tăng gấp 2 lần. Xác định công suất gia nhiệt tối thiểu và tối đa trong quá trình này. 5. Ba quả bóng giống hệt nhau được nối với nhau bằng hai sợi dây nhẹ, không giãn có cùng chiều dài (Hình 13). Các quả bóng bên ngoài là

Hình 13

ăn mặc tích cực. Đầu tiên, các quả bóng được giữ ở các đỉnh của một tam giác cân bằng các sợi dây căng, sau đó đồng thời thả ra. Dao động xảy ra trong hệ có động năng cực đại $E_{max} 0,1$ J và thế năng tương tác điện cực đại $U_{max} 2 E_{max}$. Xác định: a) động năng cực đại $E_{1}$ của quả bóng trung bình; b) góc tối thiểu $D_{min}$ giữa các ren. Bỏ qua trọng lực.

Lớp 11 1. Trên mặt phẳng nằm ngang của Trái đất có một hình bán cầu nhẵn bán kính R. Từ đỉnh A của nó có một viên sỏi nhỏ bắt đầu trượt. a) Nó sẽ rơi xuống đất với vận tốc bao nhiêu v? b) Tốc độ này sẽ hướng vào góc D nào so với đường chân trời? c) Một viên sỏi phải được ném từ mặt đất theo góc E so với đường chân trời với vận tốc ban đầu nhỏ nhất có thể để nó tới được điểm A? 2. Một bình hình trụ đựng nước được đặt trong phòng có độ ẩm không khí được duy trì ở mức $M_{1}$ 70% ở nhiệt độ không đổi. Mực nước trong bình giảm với tốc độ $v_{1} 0,2$ cm mỗi ngày. Xác định tốc độ $v_{2}$ mực nước trong bình sẽ giảm nếu độ ẩm không khí trong phòng trở thành $M_{2}$ 50% ở cùng nhiệt độ. 3. Một hạt tích điện có khối lượng m và điện tích q trượt không ma sát dọc theo một sợi dây kéo dài dọc theo trục đối xứng của một bán cầu điện môi đứng yên tích điện đều, tiến đến bề mặt bên trong của nó (Hình 14). Hạt đi qua ranh giới ảo của quả cầu tại điểm 1 với vận tốc v và tại điểm 2, trùng với tâm

NGUYÊN VẬT LIỆU

Hình 14

bán cầu, có tốc độ 5v. a) Xác định hiệu điện thế $M_{1} M_{2}$ của trường tĩnh điện của bán cầu tại các điểm 1 và 2. b) Hạt chạm vào bề mặt bên trong của bán cầu với tốc độ bao nhiêu? 4. Hạt nano thường được gọi là vật thể pha rắn cô lập, có ranh giới xác định rõ ràng với môi trường, kích thước tối đa của nó theo bất kỳ hướng nào là từ 1 đến 100 nm. Có bao nhiêu electron có thể được giữ lại trên một hạt nano dẫn điện hình cầu có bán kính R là 50 nm, nếu cường độ điện trường cực đại của môi trường xung quanh là $E_{max} 2$ $10^{6}$ V m và hằng số điện môi của môi trường xung quanh hạt là H 11,7? Hệ số tỷ lệ trong định luật Coulomb là k 9 $10^{9}$ Н $м^{2} Кл^{2}. 5.$ Một quá trình kim loại hóa hai cấp được hình thành trên nền điện môi, một mảnh của nó được thể hiện trong Hình 15.

Hình 15

dây dẫn mini 1 và 2 nằm ở lớp kim loại hóa phía dưới, còn dây dẫn 3 và 4 nằm ở lớp trên, được ngăn cách với lớp dưới bằng chất điện môi. Mỗi dây dẫn được kết nối với một miếng tiếp xúc cách ly với các dây dẫn khác. Điện thế của các dây dẫn lần lượt là $M_{1} 4$ V, $M_{2} 3$ V, $M_{3} 2$ V, $M_{4} 1$ V. Điện trở giữa các dây dẫn ở những nơi chúng chồng lên nhau R 100 MOhm lớn hơn đáng kể so với điện trở của chính dây dẫn. Xác định dòng điện I chạy vào đoạn đang xét dọc theo dây dẫn 1. Ấn phẩm được biên soạn bởi G. Gaidukov, I. Gorbaty, A. Spiridonov, I. Fedorenko

49

ĐÁP ÁN,

HƯỚNG DẪN

Hình 1

Bây giờ chúng ta phải chứng minh rằng các đường tròn (DBC), (DEF) và $DO 1 O_{2}$ có điểm chung thứ hai ngoài D. Từ đẳng thức ABD ACD suy ra (xem Hình 1) rằng bán kính của các đường tròn (ADB), (ADC) bằng nhau và chúng thu được từ nhau bằng phép đối xứng tâm đối với M - trung điểm của AD. Hãy ký hiệu lần lượt là $B_{1}, C_{1}$ giao điểm thứ hai của đường BC với các đường tròn (ADB), (ADC). Khi đó ADE DBC $B_{1} AD$, từ đó $AB_{1} P DE$, tức là các điểm $B_{1}, E$ cũng đối xứng tâm đối với M. Tương tự, $C_{1}, F$ đối xứng tâm đối với M, do đó $EFB_{1} C_{1}$ là hình bình hành và EF P BC. Cũng

‘ FBC

‘ FBA ‘ ABD ‘ DBC ‘ FDA ‘ ACD ‘ ADE

‘ BCD ‘ DCA ‘ ACE

BCE, từ đó BCEF là hình thang cân. Khi đó giao điểm thứ hai của đường tròn (DBC) và (DEF) là điểm Dc, đối xứng với điểm D so với trục đối xứng của hình thang cân BCEF. Còn phải chứng minh đường tròn $DO 1 O_{2}$ đi qua điểm Dc, tức là ta cần chứng minh tứ giác $DD c O_{1} O_{2}$ nội tiếp. Điều này tương đương với việc các đường trung trực của các đoạn thẳng DDc $, DO_{1}, DO_{2}$ cắt nhau tại một điểm, tức là AC và EX cắt nhau trên trục đối xứng của hình thang BCEF. Xét các trục đẳng phương của các cặp đường tròn (ADBF), (ADCE), (BCEF), ta thấy các đường thẳng AD, BE, CF cạnh nhau, tức là giao điểm của các đường thẳng AD, CE nằm trên trục đối xứng của hình thang. Từ định lý Pascal về đường đứt đoạn (ADXECC), suy ra giao điểm của các cặp đường thẳng AD và CE, AC và EX, DX và tiếp tuyến của đường tròn (ADC) tại điểm C - hãy ký hiệu điểm này bằng Y - nằm trên cùng một đường thẳng. Do đó, chỉ cần chứng minh Y nằm trên trục đối xứng của hình thang là đủ, tức là DX, tiếp tuyến của đường tròn (ADC) tại điểm C và trục đối xứng của hình thang cắt nhau tại một điểm hoặc song song thành từng cặp.

GIẢI PHÁP

Từ (3) suy ra điểm X nằm trên đường tròn Apollonius với các điểm B và C, đi qua điểm D và các đáy K, L của các đường phân giác ngoài và phân giác trong của góc D trong tam giác DBC (ta ký hiệu đường tròn này là Z). Xét tâm đẳng phương của các đường tròn (ADC), Z và một đường tròn bán kính 0 có tâm tại C. Nó nằm trên đường DX và tiếp tuyến với đường tròn (ADC) tại điểm C, tức là trùng với điểm Y. Còn phải chứng minh rằng trục đẳng phương Z và các đường tròn bán kính 0 có tâm tại C là trục đối xứng của hình thang, tức là đường phân giác vuông góc với BC. Vì trục đẳng phương của chúng vuông góc với đường tâm của chúng (tức là BC), nên chúng ta cần kiểm tra xem trung điểm của BC có nằm trên trục đẳng phương của chúng hay không. Điều này là hiển nhiên, vì (C, B, L, K) –1 (là hai đỉnh của ’ DBC và đáy của các phân giác ngoài và phân giác trong), do đó K và L nghịch đảo với một đường tròn có đường kính BC và tâm N (một trong các định nghĩa về bộ tứ hài hòa của các điểm trên một đường thẳng) và NL $NK NC^{2}$, tức là độ của điểm N so với hai đường tròn đang xét là như nhau và điểm này nằm trên trục đẳng phương của chúng, theo yêu cầu. 4 (M. Isupov). Đánh dấu các điểm tiếp tuyến của các đoạn AB, BC, CD, DA bằng * - các điểm K, L, M, N tương ứng (Hình 2). Chúng ta cũng đánh dấu điểm J, đối diện hoàn toàn với điểm I trên:. Lưu ý rằng I nằm trên phân giác của góc BAD. Vì IAJ 90 q nên AJ và AI là các phân giác trong và phân giác ngoài của góc XAY. Điều này có nghĩa là I và J là trung điểm của các cung XY, do đó X và Y đối xứng với IJ - đường tâm của các đường tròn. Tương tự, Z và T đối xứng qua IJ. Do đó TX ZY. Hơn nữa, từ tính đối xứng đối với IJ, các đoạn tiếp tuyến từ T và Z đến * đều bằng nhau.

Hình 2