Giải đấu thành phố XLIII

CV VÀ MP VÀ QUẢNG CÁO

Giải đấu thành phố XLIII

Bài toán du xuân

Tùy chọn cơ bản

lớp 8–9

$1 (3)^{1}$. Hai người đi dọc theo một con đường thẳng về phía nhau với tốc độ không đổi, nhưng người này chậm, người kia nhanh. Đồng thời, mọi người thả con chó đi trước (những con chó chạy với tốc độ không đổi). Mỗi con chó chạy đến chỗ một người chủ khác và trở về với chủ của mình. Con chó của ai về trước - chủ nhanh hay chủ chậm? A. Rubin

2 (4). Petya lấy một số tự nhiên tùy ý, nhân nó với 5, nhân kết quả đó lại với 5, rồi nhân với 5 khác, v.v. Có đúng là đến một lúc nào đó tất cả các số Petya tạo ra sẽ chứa 5 trong ký hiệu thập phân của chúng không? S. Dorichenko

3 (5). Trên Cánh đồng kỳ tích, 11 đồng tiền vàng đã mọc lên, nhưng người ta biết rằng chính xác 4 trong số đó là giả. Tất cả các đồng tiền thật đều có trọng lượng như nhau, tất cả các đồng tiền giả cũng vậy, nhưng chúng nhẹ hơn tiền thật. Fox Alice và Pinocchio thu thập tiền xu và bắt đầu chia chúng. Alice định đưa cho Pinocchio bốn đồng xu, nhưng cậu ấy muốn kiểm tra trước xem chúng có phải là tiền thật hay không. Anh ta có thể làm điều này trong hai lần cân trên cân cốc mà không cần tạ không? A. Gribalko

4 (5). Lấy điểm P trên đường chéo AC của hình vuông ABCD. Gọi H là giao điểm các đường cao của tam giác APD, M là trung điểm AD và N là trung điểm CD. Chứng minh rằng PN và MH vuông góc với nhau. I. Kukharchuk

5 (6). Chúng ta sẽ gọi hình chữ nhật 1 u 3 là hình tam giác. Petya và Vasya là những người bạn độc lập

1 Số điểm được trao cho toàn bộ lời giải được ghi trong ngoặc đơn sau số bài toán. Kết quả được tổng hợp cho ba nhiệm vụ đạt được kết quả tốt nhất (điểm của một bài toán được tổng hợp).

từ một người bạn, họ chia bảng 20 và 21 thành các quân cờ. Sau đó, họ so sánh các phân vùng kết quả và Petya trả cho Vasya số rúp tương ứng với số lượng các mảnh ghép trong hai phân vùng này trùng nhau (cuối cùng chúng ở cùng một vị trí). Số tiền thắng lớn nhất mà Vasya có thể đảm bảo cho chính mình, bất kể hành động của Petya là bao nhiêu? A. Glebov

lớp 10–11

1 (4). Số tự nhiên được nhân với 5, kết quả lại được nhân với 5, v.v., để có tổng số k phép nhân. Hóa ra trong ký hiệu thập phân của số ban đầu và k số thu được không có chữ số 7. Chứng minh rằng có một số tự nhiên có thể nhân với 2 k lần và một lần nữa, không một số nào có chữ số 7 trong ký hiệu thập phân của nó. A. Gribalko 2 (4). Trên Cánh đồng kỳ tích, có 8 đồng tiền vàng mọc lên, nhưng người ta biết rằng chính xác 3 trong số đó là giả. Tất cả các đồng tiền thật đều có trọng lượng như nhau, tất cả các đồng tiền giả cũng vậy, nhưng chúng nhẹ hơn tiền thật. Fox Alice và Pinocchio thu thập tiền xu và bắt đầu chia chúng. Alice định đưa cho Pinocchio ba đồng xu, nhưng cậu ấy muốn kiểm tra trước xem chúng có phải là tiền thật hay không. Anh ta có thể làm điều này trong hai lần cân trên cân cốc mà không cần tạ không? A. Gribalko 3 (5). Cho n là một số tự nhiên. Chúng ta gọi dãy $a_{1}, a_{2}$, … $, a_{n}$ thú vị nếu với mỗi i 1, 2,…, n một trong các đẳng thức $a i^{i}$ hoặc $a i^{i} 1$ là đúng. Hãy gọi một dãy thú vị ngay cả khi tổng các số hạng của nó là số chẵn và lẻ nếu ngược lại. Đối với mỗi chuỗi thú vị kỳ lạ, hãy tìm tích của các số của nó và viết nó ra mảnh giấy đầu tiên. Với mỗi số chẵn, các em làm tương tự và viết nó ra tờ giấy thứ hai. Trên tờ giấy nào có tổng các số lớn hơn và bằng bao nhiêu? (Cho đáp số tùy theo n.) A. Glebov 4 (5). Xem bài toán 5 cho lớp 8–9. 5 (6). Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Z tâm tại điểm O.

51

CV VÀ MP VÀ QUẢNG CÁO

7. Con tàu vũ trụ nằm trong một nửa không gian cách ranh giới của nó một khoảng a. Phi hành đoàn nhận thức được điều này nhưng không biết phải di chuyển theo hướng nào để đến được mặt phẳng ranh giới. Tàu vũ trụ có thể bay trong không gian theo bất kỳ quỹ đạo nào, đo chiều dài của quãng đường đã đi và có cảm biến đưa ra tín hiệu khi đạt đến ranh giới. Liệu một phi thuyền có thể được đảm bảo đến được biên giới bằng cách bao phủ một đường đi có chiều dài a) (6) không quá 14a; b) (6) không quá 13a? M. Evdokimov

Vòng miệng lớp 11

1. Một đa thức bậc ba có ba nghiệm khác nhau nằm trong khoảng từ 0 đến 1. Giáo viên nói với học sinh hai trong số các nghiệm này. Ông cũng đã báo cáo cả bốn hệ số của đa thức, nhưng không cho biết các hệ số này xuất hiện theo thứ tự nào. Có cần thiết phải khôi phục root thứ ba không? B.Frenkin

2. Ta gọi tam giác ABC nằm trong không gian thuận tiện nếu với bất kỳ điểm P nào nằm ngoài mặt phẳng của nó đều có thể tạo thành một tam giác từ các đoạn PA, PB và PC. Một hình tam giác thuận tiện có thể có những góc nào? D. Brodsky

3. Dan ca rô $квадрат^{n} u^{n}, где^{n}$! 1. Chúng tôi sẽ gọi một ô chữ là bất kỳ tập hợp ô không trống nào và một từ - bất kỳ dải ngang và bất kỳ dải dọc nào (hình chữ nhật ca rô rộng một ô), bao gồm toàn bộ các ô ô chữ và không chứa trong bất kỳ dải ô ô chữ lớn hơn nào (không phải ngang cũng không phải dọc). Gọi x là số từ trong trò chơi ô chữ, y là số từ nhỏ nhất có thể che được trò chơi ô chữ. Tìm giá trị lớn nhất của tỷ số x y đối với n cho trước. B.Frenkin

4. Hàm sin x cos x được viết trên bảng. Bạn được phép viết lên bảng đạo hàm của bất kỳ hàm số nào đã viết trước đó, cũng như tổng và tích của hai hàm số bất kỳ.

các hàm đã được viết trước đó, việc này có thể được thực hiện nhiều lần. Tại một thời điểm nào đó, xuất hiện trên bảng một hàm số bằng hằng số c với mọi x thực. c có thể bằng bao nhiêu? M. Evdokimov

5. Cho tam giác đều ABC. Chúng ta chọn đường tròn Z tùy ý tiếp tuyến nội tiếp với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm B và không cắt đường thẳng AC. Đánh dấu các điểm P và Q trên Z sao cho các đường thẳng AP và CQ tiếp xúc với Z, các đoạn AP và CQ cắt nhau bên trong tam giác ABC. Chứng minh rằng mọi đường thẳng PQ thu được theo cách này đều đi qua một điểm cố định không phụ thuộc vào việc chọn đường tròn Z. A. Mardanov

6. Chữ A được viết trên bảng. Được phép, theo bất kỳ thứ tự và số lượng nào: a) gán A ở bên trái; b) thuộc tính B ở bên phải; c) đồng thời gán B ở bên trái và A ở bên phải. Ví dụ: Có thể lấy BAAB theo cách này $(^{A} o$ BAA o BAAB ), nhưng không thể lấy ABBA. Chứng minh rằng với bất kỳ số tự nhiên n nào cũng có thể thu được một nửa số từ có độ dài n, còn nửa còn lại thì không. Văn học dân gian, do A. Shen đề xuất

Tài liệu được chuẩn bị bởi: E. Bakaev, N. Belukhov, I. Bogdanov, D. Brodsky, A. Glebov, A. Gribalko, S. Dorichenko, M. Evdokimov, A. Zaslavsky, P. Kozhevnikov, E. Liu, M. Malkin, A. Mardanov, L. Mednikov, V. Retinsky, M. Svyatlovsky, A. Terteryan, A. Tolpygo, B. Frenkin, I. Frolov, A. Shen