Lời giải bài toán M2742—M2745; F2749—F2752

28

KVAN T 2023/№7

Cơm. 2

Cơm. 1

Khoảng cách thẳng đứng tối đa mà trục đối xứng của hình trụ di chuyển là khoảng $L 10 D_{1} 1$ m. Khối lượng m của con lắc như vậy là 1 kg. Con lắc bắt đầu từ vị trí trên cùng khi các sợi dây được quấn quay lại làm quay một hình trụ có đường kính nhỏ hơn và các hình trụ được buộc chặt không chuyển động. Khi con lắc di chuyển, các phần thẳng của sợi gần như thẳng đứng. Độ căng cực đại của sợi dây trong những khoảng thời gian đó là bao nhiêu khi: a) con lắc được hạ xuống, b) con lắc được nâng lên, c) sự nâng lên của trục của con lắc được thay thế bằng sự hạ xuống, d) sự hạ thấp của trục lần đầu tiên được thay thế bằng sự đi lên? Xét g 10 m $с^{2}$.

F2762. Giáo viên thổi phồng vỏ cao su của quả bóng bằng không khí từ phổi và buộc nút cổ vỏ. Quả bóng chứa 10,0 lít không khí ở nhiệt độ 20 °C và áp suất lớn hơn áp suất khí quyển khoảng 4%. Sau đó quả bóng được đổ cẩn thận bằng nitơ lỏng từ phích nước. Chất lỏng làm ướt toàn bộ bề mặt của quả bóng và khi nguội đi, thể tích của nó giảm đáng kể. Ước tính, càng chính xác càng tốt, thể tích tối thiểu của quả bóng khi tiếp tục tưới nước. Thông tin về thành phần của hỗn hợp khí trong quả bóng có thể được tìm thấy trên Internet.

F2763. Mạch điện được lắp ráp từ các đoạn dây đồng có đường kính d và 2d khác nhau và có độ dài khác nhau L và 2L (Hình 2). Tất cả các phần của mạch đều ở trong không khí ở nhiệt độ phòng 20 q C. Các cực của mạch A và B được nối với nguồn dòng điện mạnh trong thời gian rất ngắn và tắt. Ngay sau khi tắt, một đoạn dây ngắn có đường kính lớn hơn có nhiệt độ cao hơn nhiệt độ phòng 1 q C. Nhiệt độ của hai đoạn dây khác có cùng đường kính nhưng chiều dài khác nhau ở cùng một thời điểm là bao nhiêu?

F2764. Trong khu trường học mới có một căn phòng hình lập phương với sàn và trần nằm ngang. Một hộp các tông, cũng có hình khối, được đặt ở giữa sàn của căn phòng này. Ngay phía trên tâm của chiếc hộp này, một bóng đèn nhỏ đang phát sáng trên trần nhà. Bóng từ chiếc hộp chiếm 1 4 phần diện tích sàn trong phòng. Nếu chuyển bóng đèn xuống 1 m thì bóng trong hộp sẽ che toàn bộ sàn nhà nhưng không có bóng trên tường. Thể tích của căn phòng này là bao nhiêu?

Lời giải bài toán M2742–M2745, F2749–F2752 M2742. Cho một số nguyên h! 1. Chúng ta gọi một phân số dương thông thường (không nhất thiết là tối giản) là tốt nếu tổng của tử số và mẫu số của nó bằng h. Chúng ta nói rằng một số h là đáng chú ý nếu mọi phân số dương có mẫu số nhỏ hơn h có thể được biểu diễn dưới dạng các phân số tốt (không nhất thiết phải phân biệt) bằng cách sử dụng các phép cộng và trừ. Chứng minh rằng h là đáng chú ý khi và chỉ khi nó là số nguyên tố. (Hãy nhớ rằng một phân số thông thường là tỉ số của một số nguyên với một số tự nhiên.)

Đầu tiên chúng ta chứng minh rằng nếu n là hợp số thì không phải mọi phân số có mẫu số nhỏ hơn n đều có thể biểu diễn được. Nếu trong số

30

KVAN T 2023/№7

cách đều tâm O, tức là có độ dài bằng nhau. Nhưng, như đã biết, độ dài của đoạn AP tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp bằng nửa chu vi của tam giác ABC, tức là 1 2. Bài toán đã được giải. Có các hình học lời giải khác, trong đó có các mô tả thú vị sau đây về các điểm giao nhau của đường giữa với đường tròn:. Hóa ra giao điểm Y nằm trên phân giác ngoài của góc C, có nghĩa là (theo AYJ 90 q) Y là hình chiếu của đỉnh A lên phân giác ngoài của góc C. Hình chiếu của các đỉnh của một tam giác lên các phân giác trong hoặc phân giác ngoài xuất hiện trong nhiều cấu trúc hình học; Những điểm này còn được gọi trong dân gian là “điểm từ bài toán 255 trong cuốn sách vấn đề của I. Sharygin”. Ngoài ra, đường thẳng PY song song với phân giác của góc B và đi qua điểm tiếp tuyến của đường tròn Z với BC. D. Brodsky

M2744. Một 100 giác thông thường được cắt thành nhiều hình bình hành và hai hình tam giác. Chứng minh rằng các tam giác này bằng nhau.

Hãy chọn một hướng tùy ý và sau đó xem xét nó theo chiều ngang. Đối với mỗi hình bình hành có cạnh nằm ngang, tô màu mặt trên màu xanh lam và mặt dưới màu đỏ. Chúng ta sẽ làm tương tự với tất cả các cạnh ngang hiện có của hình tam giác (nếu hình tam giác nằm dưới cạnh, hãy sơn màu xanh lam, nếu không - màu đỏ). Và nếu hình 100 có các cạnh nằm ngang thì chúng ta sẽ sơn chúng theo cách ngược lại: mặt trên màu đỏ và mặt dưới màu xanh lam. Bây giờ, mỗi đoạn ngang trong hình được tô một lần bằng màu xanh lam (“dưới cùng”) và một lần bằng màu đỏ (“ở trên”), vì vậy chúng tôi đã sử dụng số lượng màu xanh lam và đỏ bằng nhau. Nhưng trong mỗi hình bình hành và trong 100 giác của chúng ta, màu xanh lam và màu đỏ được sử dụng như nhau. Do đó, nếu bạn xóa chúng và chỉ để lại hai hình tam giác thì chúng cũng chứa lượng màu xanh lam và đỏ bằng nhau. Nói cách khác, nếu người ta có một đường chân trời màu xanh

cạnh tal có chiều dài nào đó thì cạnh kia có cạnh nằm ngang màu đỏ có cùng chiều dài! Ta chứng minh tương tự rằng các cạnh còn lại của các tam giác bằng nhau. Do đó, các tam giác có ba cạnh bằng nhau. Bài toán đã giải quyết. Bình luận. Các vết cắt từ điều kiện tồn tại và chúng có thể được sắp xếp theo cách khá bất đối xứng (ví dụ: không phải tất cả các cạnh của hình tam giác đều song song với các cạnh của 100-giác, các hình tam giác không nhất thiết phải tạo thành hình bình hành, liền kề với các cạnh của 100-giác, đối xứng với tâm của 100-giác). Hình này cho thấy một trong nhiều ví dụ có thể có về việc cắt hình thập giác. A.Yuran, Y.Tikhonov

M2745. Cho hai dãy chữ cái A và B, mỗi dãy có 100 chữ cái. Trong một thao tác, bạn có thể chèn một hoặc nhiều chữ cái giống nhau vào một vị trí nào đó trong chuỗi (có thể ở đầu hoặc cuối) hoặc xóa một hoặc nhiều chữ cái giống nhau liên tiếp khỏi chuỗi. a) Chứng minh rằng từ dãy thứ nhất bạn có thể thu được dãy thứ hai sau không quá 100 phép tính. b*) Với k nhỏ nhất nào từ bất kỳ chuỗi đầu tiên nào, chúng ta có thể thu được bất kỳ giây nào trong không quá k phép toán?

a) Trước tiên, hãy giải một bài toán tương tự cho các chuỗi gồm hai chữ cái, cụ thể là chúng ta sẽ chứng minh rằng từ một chuỗi này chúng ta có thể thu được một chuỗi khác chỉ sau không quá 2 thao tác. Nếu một trong các chuỗi là AA và chuỗi còn lại là BB, hãy loại bỏ tất cả các chữ cái của chuỗi đầu tiên và sau đó thêm các chữ cái của chuỗi thứ hai. Mặt khác, các chuỗi chứa giống hệt nhau