Bài toán 9—16

32

KVANT 2024/Số. 11–12

CUỘC THI ĐẶT THEO A.P. SAVINA

Chúng tôi tiếp tục cuộc thi tiếp theo về lời giải toán học bài toán. Các nhiệm vụ được thiết kế chủ yếu dành cho học sinh bắt đầu từ lớp 8–9 và chúng tôi khuyên các học sinh nhỏ tuổi hơn nên thử sức mình trong cuộc thi tạp chí «Kvant» (xem trang web kvantik.com). Gửi lời giải bài toán mà bạn có thể xử lý đến địa chỉ: savin.contest@gmail.com. Ngoài họ và tên của bạn, hãy cho biết thành phố, trường và lớp nơi bạn học. Chúng tôi hoan nghênh việc tham gia cuộc thi không chỉ của từng học sinh mà còn của các đội (trong trường hợp này, một tác phẩm sẽ được gửi kèm theo danh sách những người tham gia). Bạn có thể tham gia bắt đầu từ bất kỳ chuyến tham quan nào. Những người chiến thắng sẽ nhận được bằng tốt nghiệp từ tạp chí «Kvant» và các giải thưởng. Bài tập, lời giải và kết quả được xuất bản trên Sites.google.com/view/savin-contest Chúng tôi chúc bạn thành công!

9. Từ một chiếc khăn trải bàn ca rô có cạnh hình vuông 1, người ta cắt ra một hình chữ nhật có các cạnh song song với các cạnh của hình vuông như trong hình. Tổng diện tích phần màu trắng của hình chữ nhật là 10. Tìm chu vi của nó. G. Karavaev

10. Có thể biểu diễn số 202420242024202420242024 dưới dạng tổng của sáu số tự nhiên, mỗi số được viết a) chỉ với các số 0 và 4; b) chỉ có số 4? E. Bakaev

11. Misha xem “Cái gì? Ở đâu? Khi nào?” và ghi điểm, bắt đầu từ 0:0 cho đến khi kết thúc trận đấu (mỗi hiệp tính một điểm; trận đấu kết thúc khi khán giả hoặc chuyên gia ghi được 6 điểm). Nếu khán giả có nhiều điểm hơn thì Misha ghi chú bằng bút xanh, nếu chuyên gia có nhiều điểm hơn thì ghi bằng bút đỏ, nếu hòa thì ghi bằng bút xanh. Có thể nào có số lượng mục màu đỏ, xanh lam và xanh lục bằng nhau không? M. Evdokimov

12. Có thể phủ toàn bộ bề mặt của một số khối đa diện lồi thành một lớp bằng một hình mười giác đều và một vài hình vuông không? E. Bakaev

13. Có 50 bóng đèn trong phòng. Mỗi bóng đèn có hai công tắc nối với nó, mỗi công tắc bật hoặc tắt. Đèn chỉ sáng khi cả hai công tắc được kết nối

với nó, bao gồm. Lúc đầu trong phòng có 15 bóng đèn, khi bật hết 100 công tắc thì 24 bóng đèn bắt đầu sáng. Hỏi bây giờ phải bật bao nhiêu công tắc để tất cả các đèn đều sáng? G. Karavaev

14. a) Cho một hình tam giác có diện tích bằng 4. Đánh dấu một điểm trong đó và nối nó với các đỉnh để được ba hình tam giác. Nếu diện tích của chúng bằng 1, 1, 2 thì chúng ta gọi điểm đó là điểm tốt. Xét một tam giác có các đỉnh tại ba điểm tốt. 1) Chứng minh rằng nó đồng dạng với tam giác ban đầu. 2) Tìm diện tích của nó. b) Cho một hình tam giác có diện tích bằng 6. Đánh dấu một điểm trong đó và nối nó với các đỉnh để được ba hình tam giác. Nếu diện tích của chúng là 1, 2, 3 thì chúng ta gọi điểm đó là điểm tốt. Tìm diện tích của một hình lục giác lồi với các đỉnh của nó tại sáu điểm tốt. E. Bakaev

15. Fedya đặt 16 tờ vé số trước mặt anh ta và bán chúng với giá 1000 rúp mỗi tờ. Hai trong số họ đang chiến thắng - người mua sẽ nhận được giá vé và 1000 rúp khác tiền thắng cược. Fedya hôm nay rất tốt bụng, vì vậy với 100 rúp, bạn có thể hỏi anh ấy bất kỳ câu hỏi nào cho phép đáp số “có” hoặc “không”, và anh ấy sẽ trả lời một cách trung thực. Liệu bằng cách hỏi một số câu hỏi này, liệu có thể đảm bảo kiếm được a) 1200 rúp; b) 1300 rúp? F.Ivlev

16. Một số điểm được đánh dấu trên đường thẳng. Biết rằng với mọi điểm được đánh dấu A, B, C sao cho B trên đoạn AC thì $AB BC d^{3}$ giữ nguyên. Số điểm lớn nhất có thể được đánh dấu là bao nhiêu? E. Bakaev

35

“Lượng tử”

VÌ

TRẺ HƠN

“Ồ, tất nhiên, định lý nổi tiếng này có liên quan đến tên của Pythagoras,” chim gõ kiến ​​Spyatel giải thích. – Trong tam giác vuông bất kỳ có hai chân a, b và cạnh huyền c, đẳng thức

$a^{2} b^{2} c^{2}$. - Không thể được! - Kuzka kêu lên. – Trong tam giác vuông nào? - Bằng mọi cách! – Chim gõ kiến ​​Spyatel xác nhận. - Tôi phải kiểm tra cái này! Đưa cho tôi lá cờ của bạn! - Kuzka nói rồi chạy đi lấy thước dây. Busenka, chim gõ kiến ​​Spyatel và Ogryza đặt cờ của họ lên bàn, và Kuzka bắt đầu thực hiện các phép đo, chạy bằng thước dây từ lá cờ này sang lá cờ khác. Thỉnh thoảng anh ấy đặt thước dây xuống và xoay người một chỗ như đang khiêu vũ. Busenka khen ngợi: “Tuy nhiên, đó là một cảnh tượng hấp dẫn khi Kuzka tính toán điều gì đó”. “Những kỹ thuật đếm này của anh ấy trên bàn chân của anh ấy đôi khi trông giống như múa ba lê thực sự. - Sẵn sàng! - Kuzka báo cáo, - Tôi đã kiểm tra mọi thứ. Chẩn đoán rất rõ ràng: bạn quá tin vào quyền lực. Định lý Pythagore là sai! - Thật không trung thành? Tại sao nó không chính xác? - Busenka và chim gõ kiến Spyatel đồng thanh hỏi. “Có vẻ như một trong chúng ta đã phát điên rồi,” Ogryza gợi ý. – Tôi đã tính toán rất cẩn thận các cạnh của lá cờ của bạn tính bằng milimét và cho từng người trong số họ Tôi đã tính giá trị $c^{2} a^{2} b^{2}$. Đối với lá cờ đính cườm, giá trị này là 220, đối với lá cờ mập mạp là 265, và đối với lá cờ chim gõ kiến Spyatla là 317. Mọi người ngạc nhiên nhìn Kuzka. “Thật buồn cười,” Woodpecker Spyatel cuối cùng nói – Tôi chỉ trả 3 rúp 17 kopecks cho lá cờ của mình. Ogryza. “Và tôi là của tôi,” Busenka chậm rãi nói, đảo mắt đầy kịch tính, “2 rúp 20 kopecks!” Bây giờ Kuzka nhìn những người khác như thể họ là những cánh cổng mới. “Một loại chủ nghĩa thần bí nào đó,” anh nói. Busen nói: “Ít nhất theo tính toán của bạn, rõ ràng là các lá cờ của chúng tôi không phải là hình tam giác vuông”.

TRẺ EM HỌC SINH

à. – Góc mà chúng ta tưởng là đúng thực chất chỉ là một chút $больше^{90q}$. Sự khác biệt gần như không thể nhìn thấy được bằng mắt. Không biết đồng nghiệp của Sproodle định giá như thế nào? “Theo khu vực,” Ogryza nói. “Anh ta đo các cạnh của lá cờ trước mặt tôi, nhân chúng, chia cho 2 và nói: “Diện tích của lá cờ bằng bao nhiêu cm vuông,” rồi tính giá của lá cờ bằng cách nhân diện tích với giá của một cm vuông. “Nhưng lá cờ không phải là hình chữ nhật,” chim gõ kiến ​​Spyatel phẫn nộ, “diện tích của nó nhỏ hơn một nửa tích các cạnh!” Điều này có nghĩa là anh ta đã thổi phồng diện tích và kéo theo đó là giá cả! “Có lẽ anh ấy nhầm vì nghĩ rằng lá cờ của mình có hình chữ nhật,” Busenka gợi ý. – Và việc mọi sai lầm đều có lợi cho anh ấy là một phản xạ mà anh ấy đã hình thành trong nhiều năm. Làm thế nào để anh ta cắt những lá cờ? Sử dụng hình vuông? - Ahhhh… Tôi nghĩ tôi biết cách rồi! - Chim gõ kiến Spyatel đoán. – Sử dụng tam giác Ai Cập! Chính xác hơn, không phải người Ai Cập mà là người Sumer cổ đại! - Cổ… cái gì cơ? – Kuzka không hiểu. - Người Sumer cổ đại! Gargoyle buộc 71 nút vào một sợi dây cũ và bán nó cho đồng nghiệp Sprudle với giá một món đồ cổ. Như thể nó là một công cụ cổ xưa để tạo các góc vuông. Các nút thắt được buộc ở khoảng cách bằng nhau. Bằng cách kết hợp nút thắt đầu tiên với nút cuối cùng, chúng ta tạo thành một hình tam giác có các cạnh 20, 21 và 29 bằng một sợi dây. “$20^{2} 21^{2} 29^{2}$,” Kuzka nhanh chóng tính toán. - Đây thực sự là một tam giác vuông! Có cổ xưa không? “Rất cổ xưa,” Busenka xác nhận, “và khá đậm chất Sumer.” Nhưng đối với tôi, có vẻ như rất bất tiện khi kết hợp nút đầu tiên và nút cuối cùng. Tại sao không buộc hai đầu sợi dây ở chỗ nút giao nhau? “Nó thực sự bất tiện,” Ogryza đồng ý. “Rõ ràng là đồng nghiệp Sproodle đã làm điều đó.” Nhưng nếu cùng lúc đó anh ta kết hợp những nút thắt cực chất, thì cuối cùng anh ta lại có được một nút thắt đôi hoặc thậm chí là nút thắt ba - một thiết kế rất vụng về.