几何不等式

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几何不等式

M·I·巴什马科夫

数学研究从我们杂志的页面开始。他的研究主题主要适合八年级学生，但我们希望所有读者都能感兴趣«Kvant»。
krupka 的第一课专门讨论几何不等式。

在学习几何学的一开始，我们就知道一个重要的事实：三角形的边小于其他两条边的总和（图1）。然而，称为三角不等式的不等式使我们能够解决许多有趣的几何问题。

问题1. 证明三角形内任意点到其顶点的距离之和大于该三角形周长的一半。

解决方案。考虑三角形 AOB、BOC 和 COA (图 2) 并写出三个不等式

三角形：
$$AO + OB > AB,$$
$$BO + OC > BC,$$
$$CO + OA > CA.$$

将这些不等式相加并除以两半，我们得到
$$AO + BO + CO > \frac{1}{2}(AB + BC + CA),$$

Q.E.D.

尝试自己解决更多证明不等式的问题。有必要明智地选择三角形，写出它们的边的不等式，并将这些不等式转换为所需的形式。

证明：
问题2.凸五边形的对角线之和小于周长的两倍。
问题3. 凸五边形的对角线之和大于周长。

图 1
$$AC < AB + BC$$

图 2

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问题 4. 三角形的中线小于三角形所围边之和的一半。

问题5.三角形的中线之和小于周长，但大于周长的四分之三。

您可能注意到，在每个问题中，您都必须以自己的方式选择如何以及向哪个方向进行评估（建立不平等）。然而，并不总是能够立即获得期望的结果。例如，在最后一个问题中，很容易发现中位数之和大于楼层和周长。 （考虑图 3上的三角形ABD、BCF和CAE就足够了。）同时，从其他三角形可以得到问题所需的更准确的估计。问题出现了：最准确的估计是正确的吗？

$$k_1 p < m_a + m_b + m_c?$$

（这里$m_a, m_b, m_c$是边$a, b$和$c$的中线，$p$是三角形的周长）。以同样的方式，从另一侧获得精确估计是很有趣的：找到不等式的最高常数 $k_2$

$$m_a + m_b + m_c < k_2 p$$

对于任何三角形都成立。

问题6. 证明在比较三角形中线之和时，我们还可以考虑，例如，等距三角形，ver-

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轮胎接近底座（图4）。很明显，它们的周长接近底边的两倍，中位数之和接近底边的$\frac{3}{2}$。当顶点落在底面上时，就会出现相等，并且三角形“退化”为双线段。

一般来说，对于区间中的任何数字 $x$
$$\frac{3}{4} < x < 1$$

可以指定一个等边三角形
$$\frac{m_a + m_b + m_c}{p} = x.$$

这使我们能够解决问题 6。

问题3 7. 证明三角形内任意点到其顶点的距离之和小于周长。

问题 3 8. 比较问题 1 和 7、2 和 3；提出并研究一个与我们讨论的有关中位数的问题类似的问题。

问题3 9. 考虑所有可能的凸$n$边形（$n$是某个数字）。让我们在这样的多边形内取一点，并计算其到顶点的距离之和与周长的比率。这种关系有什么意义？ *)

在下面的问题中，除了三角不等式外，还需要用到一些其他简单的不等式，例如三角形的两条边的不等式、大角对面的不等式、部分直角三角形的斜边大于边等。

问题 3 10. 证明对于所有直角三角形

*) 周三。第一期«Kvant»第59页第4题。

以下不等式成立：
$$0,4 < \frac{r}{h} < 0,5, где r — радиус вписанного кругга, h — высота, опущенная из вершины прямого угла. Являются ли написанные границы точными?$$

问题3 11. 在三角形$ABC$ 的外角$C$ 的二等线上，取一点$M$，与$C$ 不同。证明它到顶点$A$和$B$的距离之和大于点$C$到相同顶点的距离之和。

问题3 12. 为了使三角形$ABC$中的角$A$为锐角，从顶点$A$引出的中线必须大于边$BC$尺寸的两倍。

问题3 13. 在锐角三角形$ABC$ 中，最高高度（我们用$AH$ 表示）等于中线$BM$。证明角$ABC$小于$60^\circ$。

问题3 14. 在三角形$ABC$的最长边$AC$的延长线上，线段$CD=BC$不同。证明$ABD$是钝角。

问题3 15. $A, B, C, D$ 是凸四边形$ABCD$ 的连续顶点。证明如果
$$AB+BD \leq AC+CD,$$
那
$$AB \leq AC.$$

文学

V. Delaunay 和 O.zhitomirsky，几何问题。菲兹马吉兹，1959。

3. A. Skopet，V. A. Zharov，几何问题和定理。平面测量法。乌赫里吉兹，1962。

I. E. Sivashinsky，问题中的不平等。

到本世纪末，它在物理和化学领域建立起来，正如他们当时所说的那样，
关于原子和分子的假设 - 构成的最小粒子
我们周围世界的所有物体。在化学中，原子假说使我们能够理解
并且描述化学反应非常方便：每一个反应——
它只是原子结合成分子，或者相反，分子分解
成原子或原子团。从各种分子的组成分析
化学家发现不同元素的原子具有不同的质量。
他们甚至设法找出一个原子比另一个原子重或轻多少倍；
到了 19 世纪下半叶，所谓的
当时发现的所有化学元素的原子量，
也就是说，数字显示给定化学元素的原子出现了多少次
比最轻的原子——氢更重。俄罗斯著名化学家
D. I. Mendleev，按升序排列化学元素
原子尺度，1869年表明它们形成了一个特定的系统，
其中重复周期元素的属性（周期系统）。
在物理学中，原子和分子的假设发挥着同样重要的作用。
它使物理学家能够清楚地了解该集合
各种各样的现象。她帮助理解了什么是热和冷，为什么身体
受热膨胀，为什么任何物质都可以是固体或液体？
和气态等等。为了理解这一切，有必要
另外想象一下原子和分子是连续的