[习题 M6—M10; F7—F11]

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在本节中，我们从一个问题到另一个问题，布置了几项任务，这些任务通常非常困难。读者提交的这些问题的最佳解决方案将在几个月后发表在期刊上。

在数学方面

M6。你面前有一个时钟。除非知道哪只手是时针、哪只手是分针，否则有多少指针位置无法用来确定时间？

（人们相信每个箭头的位置都可以准确确定，但无法根据箭头的移动方式确定。）

M7。 a、b、c 是三角形的边。证明

$$\frac{a}{b+c-a} + \frac{b}{c+a-b} + \frac{c}{a+b-c} \geq 3.$$

S·贝尔科莱科

M8。两个人玩这个游戏。从一堆 25 根火柴中，每个人轮流拿一根、两根或三根火柴。获胜者是在游戏结束时（在所有比赛都已解决之后）结果证明只有比赛的人。

如果比赛正确，谁会获胜——先发球员还是他的搭档？他应该怎样打才能获胜？如果我们假设赢得奇数场比赛的人获胜，答案会如何变化？

在一般情况下探索此游戏，即有 2n+1 场比赛，并且您可以参加从 1 到 m 的任意数量的比赛。

M9。考虑四面体的以下属性（我们将任意三角形参数称为四面体）：

a) 所有面的大小相同；
b) 每条边都等于相对的边；
b) 所有面都是平等的；
d) 外接球和内接球的中心重合；
d) 四面体每个顶点的平面角和相等。

证明所有这些性质都是等价的。

尝试找到四面体的其他等效性质。

M10。以凸四边形的顶点为圆心的四个圆完全覆盖该四边形。证明可以从中选择三个圆来覆盖一个三角形，并且顶点位于这些圆的中心。

G·加尔佩林

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F7。长度为 $l$ 的水平杆 $O_1A$ 绕垂直轴 $O_1$ 旋转（参见 图 1）。半径为 $r$ 的轮子安装在连杆$O_1A$ 末端的轴上。轮轴水平，与杆成$\alpha$角$O_1A$。轮子在轴上无摩擦地旋转并沿地面滚动。车轮与土壤之间的摩擦力更大。当杆$O_1A$绕垂直轴转一圈时，轮子会转多少圈？

G·科姆金

F8。将末端带有螺纹孔的长杆$AB$拧到垂直螺丝上（参见图2）。杆被释放。螺杆和杆之间的摩擦力可以忽略不计。杆脱离螺钉后将如何移动？

物理和数学奥林匹克 MIEM

图 1

图 2

F9。在水平桌子上，有一个使用长弹簧连接到桌子上的重物。起初弹簧没有被拉伸。然后重物从其平衡位置移动 20 厘米并释放。重物开始沿着弹簧摆动。由于摩擦，其每个周期的振荡幅度减少 7%。重量在停止前会振动多少次？它会在距平衡位置多远的地方停止？

1967年重量级函授物理数学奥林匹克竞赛

F10。如何用四个电阻分别为 10 欧姆、20 欧姆、30 欧姆和 40 欧姆的细螺旋线构造一个尽可能高功率的加热器，如果有一个电流源，每个螺旋线的功率不超过 2 W。华盛顿特区20V，内阻20欧姆？ B·布霍夫采夫

F11。三个开口桶装满水并安装在不同高度（见图3）。从每个桶中，毛坯被向上输送并连接在一起。重物中也充满了水。如果$K_1$、$K_2$、$K_3$同时打开，水会流向哪里？