【ABABAB形式的数能被7整除的问题】

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任务

1. 让每个男生与不少于$m$个女生交友，每个女生与不超过$m$个男生交友（$m$为任意自然数）。证明在这种情况下满足匹配定理的条件。

2. 小学生围成一圈解决问题。结果，每个人解决了 4 个问题，每个问题由 4 个小学生解决。证明可以组织问题的分析，使每个学生只解决一个问题，并且分析所有问题（一次）。

3. 给出了传输网络。包含输出但不包含输入的顶点集称为网络切割。切割$B$的能力是数量$c(B)$，等于$B$中包含的打击数​​量。如果 $\phi$ 表示流量，则 $|\phi|$ 将表示流量的大小。证明对于任意流 $\phi$ 和任意割 $B$，以下变换成立：$|\phi| \leq c(B)$。

4. 切 $B$ 调用最小值，如果其容量 $c(B)$ - 所有切割的吞吐量中最小的。使用Ford-Falkerson算法，推导出最小割的吞吐量等于最大流的值 - max $|\phi| = \min c(B)$ （福特-福克森定理）。

5. 检查如果$\phi$是最大流，则统一所有未标记顶点（使用Ford-Falkerson方法基于流$\phi$制作标签）获得的割是最小的。

6. 证明任意两个最小割的并集和交集也是最小割。

7. 证明未标记顶点的割（对于最大流）是所有最小割的并集。由此推断，该切割不依赖于用于产生流的最大切割。

文学

1. A. Kofman、R. Faure，威尔从事运筹学，《世界》，1966 年。
2. K. Berge，图论及其应用，伊利诺伊州，1962 年。
3. L. Ford、D. Folkerson，网络流动，世界，1966 年。
4. O. Ore，图论，Hayka，1968。
5. D. Gale，线性经济模型理论，伊利诺伊州，1963 年。

数学和物理学家巴黎

在巴黎，许多建筑都与过去几个世纪杰出科学家的记忆有关。此外，卢浮宫曾经是国王的据点，在 1789 年革命之前成为学者们的聚会场所。尽管后来在拿破仑一世的统治下，卢浮宫成为了一座博物馆，但即便如此，一些科学家仍驻扎在那里。勒让德的一封信被保存下来，在信中这位数学家请求住在宫殿的旧部分。

巴黎有一些街道以数学家、物理学家和天文学家的名字命名，但这些科学家并不都是法国人。这些名字是：勒让德、罗莫尔、帕斯卡、皮埃尔·居里、玛丽·居里、兰伯特、布丰、富兰克林、卡诺、阿拉戈、笛卡尔、莱布尼茨……

短语“数字$z$是两个数字$x$和$y$中较大的一个”可以使用以下公式编写：

$$z = \frac{1}{2} (|x - y| + x + y).$$

“数字$u$是三个数字$x, y$和$z$中最大的”这句话怎么写？

证明单词 ABABAB 可以被 7 整除（A 和 B 是任意数字）。

足球问题

如您所知，足球杯比赛是按照所谓的奥林匹克制度进行的：负者被淘汰，如果负者则进行重赛。

那一年没有重赛，有75支球队参加了比赛。

进行了多少场杯赛？

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F19。连通容器的形状如图 1 所示。如果加热其中一个容器中的水，水会流过连接容器的管子吗？

F20。平行于半径为 $R$ 的圆柱体的轴线，距圆柱体中心距离 $\frac{R}{2}$ 处钻孔。孔半径为$\frac{R}{2}$。圆柱体放在一块板上，该板的一端慢慢提起 (图 2)。求出圆柱体仍处于平衡状态时板的最大倾斜角度。圆柱体在板上的摩擦系数为0.2。

全联盟信件奥林匹克竞赛，1967 年

F21。两个相同的直流电机的电枢轴彼此刚性连接。如果电流源与 e 相同。连接到电枢绕组。 d.s. ε，则锚无载时的旋转角速度等于$\omega_0$；如果电机减速而不旋转，则电流 $I_0$ 流过电枢绕组。切换电流源之一，使发动机的旋转扭矩相反。必须向锚的轴施加什么外部力矩才能使它们受力旋转？

给定角速度$\omega$？发动机的摩擦可以忽略不计；定星的磁场是由永磁体产生的。

第三届全联盟物理奥林匹克竞赛，1969

F22。两个铁匠打成一块铁。首先，他们把它放在铁砧上，一次锤击一个，然后把它挂在天花板上，同时从不同的侧面敲击它。在这两种情况下，每个铁匠的打击力量都是相同的。什么情况下，一块铁一击就会升温更多？

A.M.巴德克

F23。在水平面上有两根相同的细管，每根质量为$m$。它们的轴平行，半径等于$R$。首先，其中一根管子结束，第二根管子滚动，但不会滑向第一根管子，直到发生碰撞。管道的平移速度为$v_0$。管道旋转的平移速度和角速度如何随时间变化（画图）？管道在水平面上滑动的摩擦系数为$k$，碰撞时管道之间的摩擦力可以忽略不计，冲击是绝对弹性的。

第三届全联盟物理奥林匹克竞赛，1969

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M16。证明具有目标系数的多项式$p(x)$，对于$x$的三个不同目标值取值1，不能有单个整数根。

M17。一位农民来到$60^\circ$分岔的两条路的岔路口问道：“怎么去$NN$村？”他们回答他：“沿着左边的路到村子$N$ - 距离这里有八俄里 - 在那里你会看到一条大平坦的道路以直角向右延伸 - 这正是通往$NN$的路。或者你可以走另一条路：现在沿着右边的路;当你到达铁路时，这意味着一半的路更容易;在这里左转，沿着枕木直走直到$NN$。 - “那么，哪条路会更短呢？” ——“无论这是什么，那是什么，都没有什么区别。”农民们走上了正确的道路。

他需要步行多少英里才能到达$NN$？大十还是少？如果从岔路口直接走到$NN$会怎样？ （所有道路均被视为笔直。）

M18。 a) 证明对于正三角形$ABC$外接圆的任意一点$M$，三段$MA, MB, MC$之一等于另外两段之和。

6. 三个相等的圆$\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$成对地相互接触，并在它们周围描述一个圆$\gamma$，它接触所有三个：$\gamma_1, \gamma_2$和$\gamma_3$。证明对于圆$\gamma$的任意一点$M$，从点$M$到三个圆$\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$之一所画的切线等于从点$M$到另外两个圆所画的切线之和。

M19。在无尽的神经细胞链中，每个细胞都可以处于两种状态之一：“休息”和“兴奋”。如果某个细胞此时处于兴奋状态，那么它会发送一个信号，经过一个时间单位（例如一毫秒）后，该信号会到达两个相邻的细胞。当且仅当每个细胞接收到来自其相邻细胞之一的信号时，每个细胞才会被兴奋；

如果信号同时从两侧到达，则它们会被熄灭并且细胞不会被激发。例如，如果在初始时间 $t=0$ 细胞的三个邻居被激发，其余细胞保持不变，那么激发将如 图 3) 所示传播。 （兴奋的细胞呈蓝色）。

在第一时刻只让一个细胞兴奋。 15个月后有多少细胞会处于兴奋状态？ 65个月内？ 1000个月后？在$t$个月内？

如果链条不是无限的，而是仅包含 $N$ 个单元格连接成一个圆圈 (图 4)，会发生什么 - 兴奋会继续无限长时间还是会消失？

N·瓦西里耶夫

M20。是否有可能将一个正三角形分成一百万个凸多边形，使得任何直线与这些多边形的相交不超过四十个？ （如果一条线与多边形至少有一个公共点，我们就说它与多边形相交。）

第三十一届莫斯科数学奥林匹克竞赛

*) 这一假设并不反映生物体神经系统中细胞的真实行为。