人文学科学生学习数学

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人文学科
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数学

鉴于“物理学家”和“抒情诗人”的划分已经很陈旧，“物理学家”不仅包括物理学家，还包括化学家、工程师、生物学家、地质学家、数学家，而“抒情诗人”不仅包括抒情诗人，还包括语言学家、社会科学家以及一般人文学科的代表。
学童的思想复杂性分为两类：一是着迷于化学、物理、数学并积极参加技术建模课程；二是喜欢化学、物理、数学并积极参加技术建模课程。其他感兴趣的主题包括历史、艺术、心理学，并发表在学校文学杂志上。第一个应该去大学，以及物理数学和化学生物学院；第二个是人道主义专业人员的机构和学院。
然而，当高中生在考虑选择继续深造的地方时，他们不应该忘记，在过去的几十年里，数学已经深入渗透到许多传统上被认为是“人道主义”的知识领域。可以说，如今莫斯科大学的经济学系、心理学系以及结构与应用语言学系都教授数学。
这里不是谈论数学在人文研究中的作用，或者至少不是谈论数学学科在莫斯科国立大学这些院系教学中的作用。在本文中，我们仅介绍莫斯科国立大学人文学院在1969年8月笔试入学考试中提出的数学问题。但是，笔试任务的版本部分反映了进入某些院系的数学准备要求。

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笔试的任务选项*)

心理学学院

1. 半径为 $r$ 的球的内部点 $A$ 通过长度为 $l$ 的直线段连接到三分球的表面，并且彼此之间形成角度 $a$。求点 $A$ 到球中心的距离。

2. 找到所有正数$a$，其中所有不同的非负值满足方程$x$
   $$\cos[(5a - 9)x] = \cos[(9a + 17)x]$$
   并按升序排列形成等差数列。

3. 不使用小数证明
   $$\log_2 5 > \log_5 32.$$

4. $A$ 和 $B$ 之间的距离为 7 公里。两个行人同时向对方绣去，一个小时后平等地相遇了。如果第一个走的速度是他实际行走的两倍，而第二个的速度比他的实际速度快了2公里/小时，那么当他们相遇时，第二个已经走了大部分距离。哪位行人的速度最快？

5. 证明
   $$8x^2 + y^2 + 11z^2 + 4xy - 12xz - 5yz > 0,$$
   如果$x^2 + y^2 + z^2 > 0$。

3 项任务
从其他选项

a) 将直径 $AB$ 拉成半径为 $r$ 的球，并以 $a$ 角度绘制三个相等的弦 $AC, AD$ 和 $AF$。求三角形 $ACD, ADF, ACF, BCD, BDF$ 和 $BCF$ 平面所包围的物体体积。

6. 从$A$到$B$，木筏沿着河漂流。木筏从$A$到$B$航行的同时，有一艘船从$B$到$A$驶向它，不到2小时后与木筏相遇，然后到达$A$，全程不到3小时20分钟。如果$A$和$B$之间的距离为20公里，木筏能否在5小时内从$A$到达$B$？

问题解决方案

1. 设$O$为球的中心； $B, D$和$C$是从点$A; O_1$（球的截面中心）到平面$\Delta BCD$所画的直线与球表面的交点。考虑到，

*) 考试时间为：心理学院和经济学院政治经济学系 - 4小时，语言学院和经济学院经济系 - 5小时（一小时等于六十分钟）。

平面$\Delta BCD$垂直于直径$AO_1$（$l = r$情况除外），我们发现
$$OO_1 = \sqrt{r^2 - \frac{4}{3}l^2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}.$$
$$AO_1 = l \sqrt{1 - \frac{4}{3} \sin^2 \frac{\alpha}{2}}.$$

然后
$$AO = OO_1 + AO_1,$$ 如果点 $A$ 和 $O$ 位于平面 $\Delta BCD$ 的相对两侧；
$$AO = OO_1 - AO_1,$$ 如果点 $A$ 和 $O$ 位于平面 $\Delta BCD$ 的同一侧，并且点 $O$ 位于平面 $ABCD$ ($OO_1 > AO_1$) 之外；
$$AO = AO_1 - OO_1,$$ 如果点 $A$ 和 $O$ 位于平面 $\Delta BCD$ 的同一侧，并且点 $O$ 位于 parmida $ABCD$ 内。

2. 使用余弦差公式
   $$2 \sin [(7a + 4)x] \cdot \sin [(2a + 13)x] = 0.$$

由于 $a > 0$，方程的解具有以下形式
$$\frac{\pi k}{7a + 4}, \frac{\pi l}{2a + 13}; k, l - целые.$$

显然，非负解（对应非负$k$和$l$）形成两个算术级数，第一项为0，对应整数的差因式分解为另一项，即当$\frac{d_1}{d_2}$是自然数或$\frac{d_1}{d_2}$时，类似的结果是：$\frac{d_2}{d_1}$是自然数。

相反，例如，如果$\frac{d_2}{d_1}$是自然数列，则就第一项为0且差$\frac{d_2}{d_1}$的等差数列而言，也是第一项为0且差$\frac{d_1}{d_1}$的等差数列的成员，因此这两个级数的项一起形成了第一项为0且差$\frac{d_1}{d_1}$的等差数列。

因此，$a > 0$满足条件当且仅当$\frac{d_1}{d_2}$是自然数列，或者$\frac{d_2}{d_1}$是自然数列，或者$\frac{d_1}{d_2}$也是第一项为0且差$\frac{d_1}{d_1}$的等差数列的成员，因此这两个级数的项一起构成第一项为0且差$\frac{d_1}{d_1}$的等差数列。

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running_head:
folio:

因此我们必须考虑两种情况：

1. $\frac{d_1}{d_2}$自然。 $\frac{\pi}{7a+4} = n \cdot \frac{\pi}{2a+13}$、$n$自然。 $a = \frac{13-4n}{7n-2}$。 $7n-2 > 0$代表自然$n$。因此，$a > 0$当且仅当$13-4n > 0$，即当$n=1, 2, 3$、$a = \frac{9}{5}, \frac{5}{12}, \frac{1}{19}$时。
2. $\frac{d_2}{d_1}$自然。类似地，1）我们得到$a = \frac{9}{5}, \frac{22}{3}, 35$。
   $a = \frac{1}{19}, \frac{5}{12}, \frac{9}{5}, \frac{22}{3}, 35$.

3. 从$\log_2 5 \cdot \log_5 32 = \log_2 32 = 5$开始，我们只要证明$\log_2 5 > \sqrt{5}$就足够了。由于$81 > 80$，即$\frac{81}{16} > 5$，然后是$\frac{9}{4} > \sqrt{5}$，并且为了证明假设的不等式，验证$\log_2 5 > \frac{9}{4}$或$5 > 2^{\frac{9}{4}}$就足够了。但是$5^4 = 625 > 512 = 2^9$；取四次方根，我们得到所需的不等式。
4. 第二个行人的速度更快。
5. $8x^2 + y^2 + 11z^2 + 4xy - 12xz - 5yz = 2\left(2x + \frac{y}{2} - \frac{3}{2}z\right)^2 + \frac{1}{2}(y - 2z)^2 + \frac{9}{2}z^2$.

因此，原始表达式是非负的，可以简化为平方和，如果它消失，则$x=y=z=0$，即$x^2+y^2+z^2=0$。
波兹尼，如果$x^2+y^2+z^2>0$，那么
$8x^2+y^2+11z^2+4xy-12xz-5yz>0$.
a) 所需体积为$\frac{1}{\sqrt{3}}(2r)^3\left(3-4\sin^2\frac{\alpha}{2}\right)\sin^2\frac{\alpha}{2}$。
6) 设$x$为河流速度，$y$为船在静水中的速度。根据条件我们有：$\frac{20}{(y-x)+x} \geq 2$，$\frac{20}{y-x} < 3\frac{1}{3}$，由此还有$y \leq 10$，$x < y-6$； $x<4$、$\frac{20}{x} > 5$。因此，木筏将没有时间在 5 小时内走完从 $A$ 到 $B$ 的路径。

经济学院政治经济学系

1. 需要铺设长28.5公里的Nauchsky单线铁路。有30m和15m长的钢轨可供铺设。如果30m长的钢轨全部铺设完毕，则需要增加15m长的钢轨，占总数的40%。如果铺设所有15m长的钢轨，则必须添加30m长钢轨总数的60%。确定两种类型的导轨数量。
2. 解决不等式$|x^2-1|-2x<0$。
3. 在从顶点$B$开始的锐角三角形$ABC$中，绘制了等于$m$的中心$BD$。角度$A$等于$a$，角度$C$等于$y$。计算三角形$ABC$的面积。
4. 解方程
   $$\sin x \cdot \mathrm{ctg}^2 \frac{x}{2} + 4(1+\cos x) - 5\sin x = 0$$
5. 解方程
   $$\sqrt{x} + \sqrt{x(x+2)} - \sqrt{(x+1)^2} = 0$$
   其他选项中的 3 个任务
   a) 在书店，一套古董作品的售价为 350 卢布。相同数量的项目可享受两倍折扣。如果已知在双倍降价后，藏品售价为 283 卢布，请查找此数字。 50戈比

6. 表达式 $\frac{2x-1}{2x-x^2-4}$ 在什么实际值 $x$ 时取最小值？

问题解决方案

1. 计算公式时，应考虑28.5公里单线铁路的轨道长度为57公里。需铺设钢轨：30m长1500根，15m长2000根。
2. $-1 + \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}$.
3. $m^2 \frac{\sin \alpha \cdot \sin \gamma \cdot \sin (\alpha+\gamma)}{4\sin^2 \alpha \cdot \sin^2 \gamma + \sin^2 (\alpha-\gamma)}$.
4. $x_1 = (2k+1)\pi$, $x_2 = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$.
5. $x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
   a) 10%.

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6. 代入$y = \frac{2x - 1}{2x - x^2 - 4}$，我们得到一个二次（相对于$x$）方程$yx^2 + 2(1-y)x + 4y - 1 = 0$，其判别式必须为非负：$(1-y)^2 + y(4y - 1) \geq 0$，因为$x$是实数，因此
   $$-\frac{1 + \sqrt{13}}{6} \leq y \leq \frac{-1 + \sqrt{13}}{6}.$$
   因此，$y$的最小值为$-\frac{1 + \sqrt{13}}{6}$；容易计算，$x$对应的值为$\frac{1 + \sqrt{13}}{2}$。

经济学院经济控制论系

1. 解方程
   $$\left( \sqrt{\cos x} - 4 \sqrt[4]{2} \sqrt[4]{\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)} + 5 \sqrt[4]{2}\right)^2 - 2 \sqrt{\cos x} \times \left( \sqrt{\cos x} - 4 \sqrt[4]{2} \sqrt[4]{\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)} + 5 \sqrt[4]{2}\right) - \sin x = 0.$$
2. 周日，四组游客沿着四条不同长度的路线出发。第一组和第四组的行程总和比第二组和第三组的行程总和大6公里。第二组比第一组少走了2公里。第三组游客人数等于第一组行程距离，第二组游客人数等于第四组行程距离。每组行走距离的平方和为 494。每组要求多少控制网络？
3. 在半径$R$的圆中有一个六边形ABCDEF。已知$\angle A = \angle C = \angle E$，边$AB = a$，CD = b，EF = c。计算六边形ABCDEF的面积。
4. 解决不平等问题
   $$\left( 4x - x^2 - 3 \right) \log_2 \left( \cos^2 \pi x + 1 \right) \geq 1.$$
   3 任务
   从其他选项
   a) 线段$AB = a$垂直于线段$BC = 3a$。在包含这两个线段的平面中，构造两个半径为 $a$、中心位于点 $A$ 和 $B$ 的圆以及一个半径为 $3a$、中心位于点 $C$ 的圆。计算所构造的三个圆的部分面积。

6. 解决不平等问题
   $$\left| \sqrt{2} | x | - 1 \right| \cdot \log_2 \left( 2 - 2x^2 \right) \geq 1.$$

问题解决方案

1. 可接受值范围（OD3）：
   $$-\frac{\pi}{4} + 2k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi,$$
   $k = 0, \pm 1, \dots$

让我们把
$$y = \sqrt{\cos x} - 4 \sqrt[4]{2} \sqrt[4]{\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)} + 5 \sqrt[4]{2},$$
然后
$$y^2 - 2 \sqrt{\cos x} y - \sin x = 0,$$
在哪里
$$y = \sqrt{\cos x} \pm \sqrt{\sqrt{2} \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)},$$
即我们有
$$\sqrt{\cos x} - 4 \sqrt[4]{2} \sqrt[4]{\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)} + 5 \sqrt[4]{2} = \sqrt{\cos x} \pm \sqrt[4]{2} \sqrt{\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)}.$$

输入$z = \sqrt[4]{\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)}$，我们得到$-4z + 5 = \pm z^2$。方程有根$z_1 = 1, z_2 = -5, z_3 = 2 \pm i$后。词根 $z_2, z_3, z_4$，非常/不，结构。
从 $z_1 = 1$ 开始，接着$\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = 1$。因此，$x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi, k = 0, \pm 1$。

2. 令 $x_i$ 为$i$ 组$i = 1, 2, 3, 4$ 行驶的距离。从问题条件我们有 $x_1 + x_4 - 6 = x_2 + x_3, x_1 - x_2 = 2, x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 494$，因此
   $$(x_1 - 1)^2 + (x_4 - 2)^2 = 242,$$
   $$x_1 = 1 + \sqrt{242 - (x_4 - 2)^2}.$$

根据条件，$x_1$、$x_4$为自然数（$x_1$为第3组游客人数，$x_4$为根据上一对应关系选择的轻游客人数（并利用相同对应关系$x_4 < 18$替换），依次排序
$x_4 = 1, 2, 3, \dots, 17,$我们找到唯一的解决方案：
$x_4 = 13, x_1 = 12.$
在这种情况下$x_2 = 10, x_3 = 9.$

3. $$\frac{3 \sqrt{3}}{4} R^2 + \frac{\sqrt{3}}{8} a \left( \sqrt{12R^2 - 3a^2} - a \right) + \frac{\sqrt{3}}{8} b \left( \sqrt{12R^2 - 3b^2} - b \right) + \frac{\sqrt{3}}{8} C \left( \sqrt{12R^2 - 3C^2} - C \right).$$

40

$$\frac{\cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ - 1}{\sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ} = 2 + \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{6}.$$

语言学院

1. 水池中安装了三根管道，水通过这些管道流入。第一根和第二根管道加在一起注满水池的速度比第一根和第三根管道加起来需要 10 小时的时间快 35/18 小时。如果第二根管子单独填充的话，每小时会填充泳池的多少部分 $\frac{7}{5}$ 比第一根管子长几倍？
2. 解方程：
   $$\log_{\sin x} \left( \sin x - \frac{1}{4} \cos x \right) = 3.$$
3. 解决不等式：
   $$2\log_3 x - \log_1/5 (4 - x) \leq \log_3 (x - 1)^2 + 2\log_2 (10 - x).$$
4. N个人互相握手。一共握手了几次？
5. 指定至少一对正整数 $k_1$ 和 $k_2$ 这样 $36 \cdot k_1 - 25 \cdot k_2 = 1$.
6. 无需使用表格即可证明 $\log_4 9 > \log_5 11$。

心理学学院

1. 球的直径是 $AB$ 和两个相等的和弦 $AM$ 和 $AN$，各有一个角度 $a$ 到直径。求弦线之间的角度，如果线段 $MN$ 从球中心以一定角度可见 $\beta$.
2. 找出所有正数 $a$，其中所有不同的非负值 $x$，满足方程 $\cos [(8a-3)x] = \cos [(14a+5)x]$ 并按升序排列，形成等差数列。
3. 不使用小数证明 $\log_3 16 > \log_16 729$。
4. The distance between stations $A$ and $B$ is 360 km. At the same time, two trains leave from $A$ and from $B$ towards each other. Trains left $A$ and arrive at station $B$ no earlier than 5 hours later. If his speed had been 1.5 times higher than it actually was, then he would have met the second train more than 2 hours after he left $A$.哪趟火车更快？
5. 证明
   $$2x^2 + 5y^2 + 3z^2 - 6xy - 2xz + 5yz > 0,$$
   如果$x^2 + y^2 + z^2 > 0$。

政治经济学系

1. 五个露营帐篷和二十个 stopley 睡袋 490 卢布。购买一顶帐篷可享受 10% 的折扣，购买一件行李可享受 5% 的折扣，对于相同数量的帐篷和行李，您需要支付 457 卢布。一顶帐篷一站多少钱，一件行李一站多少钱？
2. 解决不等式：$x^2 + x - 10 < 2/x - 2$。
3. 在锐角三角形$ABC$中，角$A$等于$a$，边$AC$等于$b$。从顶点 $B$ 绘制中线 $m$。计算三角形$ABC$的面积。
4. 解方程：$(3 - \text{ctg}^2 x)\sin 2x = 2(1 + \cos 2x)$。
5. 如果 $x$ 可以取任意实数，则求分数 $\frac{3x - 2}{4x - x^2 - 6}$ 的最大值。

经济图书馆系

1. 解方程
   $$\left( 4\sqrt{\cos \frac{x}{2}} - 5 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + \sqrt{2} \left( 4\sqrt{\cos \frac{x}{2}} - \frac{\sqrt{2}}{2} - 5 \right) - \frac{\cos x}{2} = 0.$$
2. 先锋营里有四个艺术俱乐部。为圆圈中的每个成员提供相同的颜色集。第一圈和第四圈加在一起，第二圈和第四圈加在一起，先驱者的数量甚至比第一圈和第三圈加起来的还要多。第三圈的拓荒者不超过十人。如果一种油漆的卢布价格等于第一个圈子的成员数量除以 10，并且为油漆支付了 52 卢布，那么每个圈子中有多少位先锋？ 80戈比？
3. 梯形 $ABCD$ 内接圆。如果梯形的高度为 $h$，底角 $AD$ 为 $a$ 和 $\delta$，求圆内对角线段 $AC$ 的长度之差。
4. 解决不等式：$2^{-1}x - 2^1\log_2(4x - x^2 - 2) \geq 1$。

A.S.库齐切夫
V.S.乌斯宾斯基