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肖像
地球
肖像、模型、地图
方案、图纸、平面图、fomo-
图形、肖像、执行
由艺术家和马匹制作
建设者-这一切都是时尚-
他们所描绘的主题是否是
mov（“oricenals”）。有一个模型
一种图像替代品
他想要的主题。每一种时尚
l，通过以下信息削弱我们
被描绘成他的“出身”
le”，同时，多张图是“起源——
la" 不会复制、省略它们，或者，如
他们说，他把自己从他们中抽象出来。是的，这是可以理解的：
“完整”模型，是“原始”模型的精确复制品
zienala”，从轻盈的角度来看不会有
与此相比，学习没有任何优势。
为了简化认知过程，就必须牺牲认知的完整性。一般来说，平面图像是
物体的陌生性扭曲了原来的形式。到号码
最重要的物体包括地球仪、插图方式
创作“肖像”，即简单的地理绘图
物理地图，本文专门讨论。方式
这些（取决于卡的用途）由于
很重。但由于其多样性
所有这些都以一种或另一种方式包括 varbi-
有两个主要的“动机”：设计-
旋转并在平面上展开。
V.N.贝雷津，
M·L·斯莫良斯基
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“地球半身像”——地球仪
在继续讨论在地图上描绘地球表面的各种方法（或者称为制图投影）之前，让我们先谈谈地球的“雕塑肖像”，这可以被认为是获得其他“肖像”的中间阶段 - 换句话说，关于众所周知的地球。
古希腊科学家主要基于水手和旅行者的观察，清楚地了解了我们的星球的形状接近球体的事实。当然，这些观察本身只能让我们断言希腊人所知道的地球部分，即紧邻地中海、黑海和大西洋东部的欧洲、亚洲和非洲部分，是一个凸起。毫不奇怪，考虑到希腊人高度发达的抽象思维文化，这些相当间接的数据使当时的科学家能够提出关于地球封闭表面的大胆假设。月食期间地球体在月球表面的形状（认识到这是地球的影子本身就是一项难以高估的成就），然后是推测性的论证，
以一种或另一种形式蕴涵对称性的观念，导致人们相信地球是一个球体。
希腊人如何想象地球的“面貌”可以从流传至今的最古老的地理地图（后来的拉丁文版本）来判断，该地图由著名的希腊科学家克劳迪斯·托勒密（大约公元前 150 年）编制。托勒密使用喜帕恰斯在他之前引入的坐标网格，试图将地球的球面扩展到一个平面（图1）。子午线用二维虚线表示，纬度圈用圆弧表示，其上半部分大致对应于极圈，下半部分对应于赤道，而将截头温带圆锥体与圆柱赤道圆锥体（纬度0°）分开的那一圈对应于北回归线。沿子午线保持恒定的比例（纬线的同心弧以相等的间隔每隔 10° 彼此分开）。了解赤道以南的纬线必须再次收缩，因此扫描的下半部分必须通过切口与他描绘的上半部分分开。托勒密并不想描绘南半球。他必须从南部继续非洲，从东部继续亚洲，假设印度洋以南的未知土地（Terra incognita）变成了“星空之地”（澳大利亚土地；这个名字后来被用来指代在同一地区发现的第五块大陆）。正如现代制图师所说，托勒密地图是通过“任意投影”制作的。更引人注目的是它上面绘制的许多城市和港口的坐标（尤其是纬度）的准确性。
托勒密还给出了另一种投影，从他的角度来看更美观、更正确，但实际构造起来不太方便。
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图 2.
让我们把发言权交给波勒麦本人*)：“……人们只能以直线的形式想象出中间子午线，与视轴重合的平面。位于中间子午线两侧的子午线似乎以其凹面面对着它，当它们远离它时又返回(图2)。
最后一张图传达了这一点，同时保持了曲线的正确对齐。此外，每条平行线的相互比例尽可能准确地传达了一条平行线与另一条平行线的真实关系……
由于这一切，第二种方法也许比第一种方法有优势，但在绘图执行的容易性方面不如第一种方法。在那里，可以仅绘制一条纬线，将其分成几部分，并通过应用和移动标尺在地图上绘制任何点。在这里，这种便利性不可用，因为线性子午线通过弯曲接近平均子午线，此外，需要绘制所有圆，并且必须通过计算从地图上绘制的点确定落在网格间隙上的点相对于正方形周围边的位置。位置_
*) 《古代地理》，教授编着。 M.S.博德纳尔斯基，地理学，1953。
图 3.
因此，尽管我个人在这件事和本节中更喜欢更好和更困难的事情，而不是更糟糕和更容易的事情，但仍然有必要坚持这两种既定方法，并记住那些被差异所吸引而不是更容易的人……”
第一个已知地球仪的制造显然可以追溯到大约同一时间（公元前 2 世纪中叶）。这个由哲学家马洛斯的克拉特制作的地球仪没有幸存下来，人们从后来的描述中得知，其示意性性质使得在评估其准确性时有必要做出不可避免的考虑。这个时代的知识与欧库曼（Oecumene）大陆（“有人居住”）地球上的形象完全一致，该大陆由欧亚大陆和非洲组成（克拉特斯这样做当然是有原因的，因为苏萨渡口被运河切断了，事实上，是在稍后的一段时间）。通常的海岸线轮廓（特别是外围地区）的比例明显被打乱，但地中海、黑海、红海、白海、波斯湾、阿拉伯半岛和南欧半岛等特征地图元素的相对位置总体上正确传达。
克拉特斯的地球仪（与更详细的 Pto 地图相反）
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图 4.
Lemeya）在很大程度上主要起到了示范作用。它上面出现的一些奇妙的细节，例如相对于赤道与普世星对称的大陆，据说居住着“Anteks”，以及相反半球的北部和南部的大陆（“Perizki”和“Antipodes”的栖息地）可以用无意识的“对称”欲望来解释，顺便说一下，这是现代科学的一个非常特征。 (图3)
纽伦堡居民马丁·比海姆 (Martin Biheim) 制作的地球仪至今仍留存至今（请参阅文章的简介），该地球仪是在很久以后的 1492 年制作的，为了纪念哥伦布发现美洲，该地球仪开始被视为中世纪与现代之间的传统边界。在比海姆的聚合仪地球仪上，尤其是在该地球仪的帮助下制作的地图（参见图4）上，可以清楚地看到当时的地理学家超过了亚洲的大小，因此从西班牙到其东海岸（中国和印度）的路线估计几乎是现实的一半。
当然，错误就是错误，但客观上，这些想法无疑促进了哥伦布的乐观情绪，激励他制定了到达东部农田的大胆计划。
亚洲的统治者总是把他们的轻快帆船移向西方。
从“模特”到“肖像”
但既然地球仪正在做一波好事，那么当您需要地图时，是什么阻止您在所有情况下使用它们呢？或者它们是否也没有摆脱扭曲——例如，它们是否没有考虑到地球在条纹或其山区附近是否是平坦的？不，这在这里并不是很重要：地球的极地和赤道半径之间的差异不超过其中任何一个的0.3％，而最高峰珠穆朗玛峰的高度约为地球半径的0.1％（并且大致相同的量级 - 比海底的凹陷更大），因此在制造尺寸精度的限制内，这些因素通常实际上是不可见的；使用所谓的“水平线”在地图或地球仪上描绘浮雕要方便得多，为了清晰起见，用不同的颜色对它们之间的设计进行着色。问题的本质非常简单：地球仪不如地图方便 - 护照不会因所有者的半身像和浅浮雕而被削弱！
但是，有了一个地球仪，你就可以考虑“扩展”它——至少大约是这样。为了拍摄地球的肖像，我们需要一个它的微型模型。
了解了地球如何“展开”成地图后，顺便说一下，我们将了解一个同样有趣的反问题：如何使用通过航空摄影获得的地球表面碎片的平面图像来重建原始地球的真实面貌。
现在让我们回顾一下表面开发是如何进行的。例如，在多边形中，您可以切割几乎所有边，只在每个面上留下一条未切割的边，这样表面就不会变成碎片。圆柱体和圆锥体更容易部署。您将收到圆柱体的模型（更准确地说，圆柱面），
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图 5.
斯莱德是一张直纸的两个相对面，圆锥模型只是一个纸函数。根据图像切割任何这些模型并将所得的纸放在桌子上就足够了 - 开发已准备就绪！原始表面上绘制的线的长度也保留在开发中（除了该线 - 如果它与切割所沿的母线相交 - 将展开为两部分）。
但我们的地球是一个球。正如莱昂哈德·欧拉 (Leonhard Euler) 在 1777 年证明的那样，球面的任何部分（无论角度多么小！）都不能在保持所有距离的情况下转变成平面。欧拉证明背后的想法非常简单。无论我们占据地球球面的哪一小部分，我们都可以在其内部隔离出一个圆形“帽子”。由于球体的每个点完全相等（每个直径都是对称轴），我们可以认为这个“帽子”的中心是一条带，而边界是一条平行线（纬度圆）。当然，帽的点之间的距离必须沿着帽的表面改变。在某种程度上，从架子到帽子边界上任意点的距离将等于相应经线弧的长度 (图 5)。这意味着，在不扭曲尺寸的展开中，该平行线应在平面上由半径为 的圆描绘，因此长度为 。但很容易证明（自己做！）事实上我们的圆的长度小于 。由此产生的矛盾证明，即使是球体中部的最小盖（通常是球面的下部），也不可能精确地展开到平面上。
“微型卡”——计划
从欧拉定理的证明（以及简单地从“常识”的信息）可以清楚地看出，当我们谈论地球表面的非常小的区域时，用扁平的圆代替如此小的“帽子”会扭曲传输到地图上的尺寸，圆的直径越小，尺寸就越小。最终这取决于我们真正需要什么样的图像精度。估计误差幅度非常简单（参见第 25 页的问题），并且允许您在每种具体情况下以合理的方式回答这个问题。
让我们面对现实吧，规划城市发展的建筑师对地球的形状根本不感兴趣——一些峡谷当然让他担心，这远比这些“普遍”问题更重要！对特定矿床进行勘探的人很少关心地球的圆度和地质；他们只关心地球的圆度和地质情况。各种当地的斜坡和其他“不正确”的决定对他来说更为重要，这可能会影响越来越多的钻井地点的选择。简而言之，在绘制小区域地图时，我们可以放心地像古埃及人一样，五千年前，他们绘制了地球表面部分地图（通常称为“微型地图”），完全忽略了整个地球的凸度。该计划的唯一要求是
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图 6.
对于地球所描绘区域表面上的任意点和及其在平面图上的图像 - 点和，具有足够的精度，将满足上面的等式。
比率的大小自然称为区域的图像比例；因此，我们的条件表达了尺度不变的原理。当然，根据欧拉定理，地球表面的一部分不能以严格恒定的比例来描绘。因此，在每种具体情况下，都会建立允许误差的可接受值，并且如果误差不超过既定标准，则该计划被认为是“正确的”。
非常简单且直观的几何距离（参见图 6）使我们相信所有经线（恒定经度的线）彼此相等，并且所有平行线（恒定纬度的线）从赤道到极点从减小到零（“第90条纬线”退化为一个点 - 极点）。由此可见，地球上相邻经线之间的经线段是相等的，并且相邻经线之间的平行线段从赤道到两极的方向递减。
还可以轻松检查平行线和子午线在其交点处的所有角度（即这些曲线在这些点处的切线之间的角度）是否正确。
更多历史
这些著名的地理事件（十五世纪）的制图学如果发展起来，是相当自发的。幸存的中世纪地图甚至常常代表着与上述托勒密地图相比的重大倒退。一个例子是所谓的赫里福德地图（1280），这是一幅相当奇妙的圆形平坦地球图像，不需要特殊注释，仅具有历史意义（图7）。
然而，对于海员来说，当时已经编制了特殊的航海图（图8） - 所谓的portulans（或portolans），配备了坐标网格（除了纯粹的经验技术之外，他们是否使用它以及他们使用了什么，编译了portulans - 很难准确地说）和所谓的“风玫瑰” - 与cartushka（圆形）的划分相对应的“恒向线”的方向磁罗盘的刻度），与
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自 12 世纪以来欧洲发生了变化 (图 9)。他们可以使用所谓的导航标尺（顺便说一下，至今仍然存在）直接通过船舶的位置点，平行于相应的伦巴线（图10），在地图上绘制船舶的航线，而无需任何额外的计算。
当然，水手们有兴趣确保航线方向（偏离子午线一定度数）在地图上的任何点都相同。为此，有必要（当然，这还不够）将子午线和纬线直接绘制在地图上。杰拉德·墨卡托（Gerard Mercator）的名字常常与科学制图学的开端联系在一起，他是第一个满足这一要求并具有良好图像精度的人。 1569 年以 18 张单页形式出版的墨卡托世界地图至今仍具有重要意义。 （第 18 页上的图 显示了该地图的片段。）
地理知识的快速进步，尤其是制图学的快速进步是 16 至 17 世纪的特征：数学时钟的发明（X. Huygens，1675），
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图 12.
然后，天文钟使精确确定一个点的地理经度成为可能（纬度是由古希腊人明确定义的），出现了各种投影系统，适应不同的需求并基于不同的原理。一张地图可以追溯到那个时代（图11），以两个“半球”的形式描绘了整个地球表面（de Wit，1700）。下面我们就来认识一下几种比较简单的制图流程。当然，这些只是卡托夫的个人财富——与欧拉、高斯、切比雪夫、兰伯特等词相关的科学。
方形投影
让我们想象一个由规则球形球体制成的地球仪，其外壳由织物制成，该织物可以在一个方向上轻松拉伸，但在垂直于该方向的方向上完全不可拉伸。例如，我们可以假设水平螺纹是橡胶，垂直螺纹是钢，橡胶螺纹闭合并沿平行方向拉动球体，垂直于它们的细柔性钢棒沿着聚合物紧密贴合球体，彼此相邻，末端呈条纹。由于经线的末端彼此不相连，因此您可以将橡胶平行线拉伸到靠近条带的位置，然后将细硬的编织针插入孔中。不过，不一定要瘦。谁在阻止我们进一步拓展相似之处？让我们这样做，然后推入孔中，拉伸到赤道的大小，即“粗辐条”，它是一个与我们的球形地球仪半径相同的直圆柱体（图12）。
这样我们就“克服”了欧拉定理：最终，沿着正面半子午线切割得到的圆柱体（可以想象，橡胶平行线在切割前经过了特殊的热处理，使它们在切割前经过了特殊的热处理，剥夺了它们进一步压缩和拉伸的能力，从而使它们在这次操作后不会再次收紧），完美地展开到一个平面上！当然，这只不过是一个笑话——“克服”的奇迹并没有发生：毕竟，所有平行线（赤道除外）都被拉伸了，接下来的大陆和岛屿也被横向拉伸了。当然，这种拉伸在副极地地区尤其明显。
我们收到了一张直线树形式的地球图像，其底部（等于赤道），
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图 14.
当你接近极点时，地球上的菱形轨迹看起来像这样，它的“不断增长”的无限可能不再让你感到惊讶。
又是一次伸展。墨卡托投影
现在让我们想象一下自己扮演墨卡托的角色，不满地看着方形投影中斯堪的纳维亚半岛和加拿大的尴尬扁平轮廓（南极洲，上帝知道，他们还不知道 - 我希望他能欣赏谁的形象！）。但地图不美观的问题最终可能会被克服。沿平行线拉伸距离不会产生误导，因为我们已经知道获得真实距离的规则。可怕的不是扭曲的镜子，而是对其正确性的信心。
另一件更糟糕的事情是：方形投影的地图对于水手来说很不方便，他们对测量距离的准确性不太感兴趣，而是对在地图上轻松“绘制”恒定航线的能力感兴趣，换句话说，对等角航线的直线度感兴趣。 （让我们记住，即使在古老的“马齿苋”中，尽管他们有各种手工艺，但这一要求在实际用途中也得到了足够的准确性满足。）因此，图 14 上令人不安的不是地图的“连续性”，而是韵律的出现。
可以矫正吗？怎么结果就歪了？因为地图在纬度上拉伸了 倍？——太棒了！谁能给我们放置一个方形坐标网格的拉伸经线，同样次！？原来的坐标网格的正方形现在已经伸展成矩形，并且地图沿经线不再具有恒定的比例（参见图15，其上的所有圆圈都描绘了相等的截面；蓝线描绘了菱形）。但在墨卡托地图上，地球上相交的两条线之间的角度保持不变。 （尝试证明这一点！）地球表面的相当小部分“几乎”保留了相似性（例如，半径为 500 公里的圆在墨卡托地图上被描绘为封闭的椭圆形，在视觉上与圆形没有区别）。当然，斜向飞行也很简单。
当接近条纹时，墨卡托投影中垂直比例的拉伸无限增加，因此，该投影中的完整地球地图将是
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图 15.
开发一个具有无限高度的圆柱体，并且需要无限张纸来显示其图像。因此，这些地图上没有描绘极地地区（当然，地图的上下边界纯粹是根据方便消息随意确定的；例如，图15从上方受到第85纬度和第30纬度的限制）。
还有两条评论。首先，我们对墨卡托思路的重建可能与他的推理的实际过程完全不相符；在我们看来，这是谈论它的最简单的方式。此外，应该指出的是，关于地图沿经线拉伸 倍的结论，我们“在我们的手指上”获得，为了严格（尽管并不复杂）的论证，需要数学分析要素的知识，包括自然对数以及微分和积分的基础 *)。顺便说一句，墨卡托本人实际上并没有这样做——仅三十年后，理查德就获得了“拉直菱形”问题的严格解决方案
*) 例如，此信息可以在 P. Courantan G. Robbins 所著的《什么是数学？》一书中找到。 (M., 1967) 或 N. Ya。 Vilenkina S. I. Shvartsburg 和“数学分析”（M.，1969）。
来自剑桥的赖特（其编辑出版了我们所说的“墨卡托投影”的现代版本）。
兰伯特圆柱投影
让我们考虑另一个带有矩形网格的投影；事实证明非常简单。让我们描述一个围绕地球的正圆柱体（沿着赤道并以条纹接触它）并将地球表面（没有条纹！）投影到其侧面，以便该表面的每个点的投影射线都是垂直于地球轴（图16）穿过它的通道。
使用学校立体测量学的常用公式，很容易证明（尝试一下！）地球表面任何截面的面积及其在圆柱体侧面上的投影都是相等的，因此该圆柱体的展开（沿任何子午线切割）被称为等体积圆柱投影（或兰伯特投影）。正确传达区域时，兰伯特投影会极大地扭曲投影表面的小部分的形状（将 图 17 上的椭圆与 图 15 上相应的圆形进行比较）：此处，极地区域被固化
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图 17.
比方形投影更强，从中可以通过沿垂直轴压缩来获得朗伯投影。完美的经络和平行线图像的直线度是显而易见的。
直行属
到目前为止，我们几乎理所当然地认为，在地图上绘制航线的简单性对水手来说很重要，但他们对船只必须行驶的距离不太感兴趣。嗯，在帆船时代，抱歉，事情就是这样。但如今，当航行距离很长时，根本无法持续数月甚至数年，更不用说长途（包括跨大陆和国际）航空飞行，轨迹的最小化问题变得至关重要。
可以证明（我们在这里不会尝试这样做），在球的表面上，连接球的任意两个点的最短线（或者，正如数学中通常所说的，测地线）是穿过这些点的每个大圆中的较小者。 （对于球面上直径相对的点，穿过它们的大圆的两条弧相等，并且
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lokompnya 和 orthodrome 之间可能存在差异。当然，对于长途飞行，在温带地区旅行时差异可能会更大；例如，从莫斯科到纽约沿跑道机场的路径为 8500 公里，沿跑道机场的路径为 7500 公里。
心射投影
将正交点描绘为直线的投影是通过从地球球心进行中心投影获得的：在这种情况下，指向正交点（正如我们所看到的，是一个大圆）的点的所有光线都位于同一平面中，与任何投影平面以直线相交。如果投影平面接触在极点投影到其上的地球，则经线和纬线的网格在这种所谓的心投影 (图 19) 中看起来最简单。 （晷针是日晷的杆；如果我们把它插入到投影平面上，并将地球的半径视为晷针，那么投射光线的投影在我们看来确实就是这支晷针的影子。）
很容易证明（自己做），在这种类型的心轴投影中，经线被描绘为直线，平行线被描绘为同心圆。在 图 19 上（由于显而易见的原因，屏幕上没有图像：它“进入无限远”），日针投影中极点附近的螺旋形轨迹非常清晰。
适用于长途海运和空运
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日射投影非常方便。当然，这样的地图无法描绘出整个地球表面，因此必须选择不同的投影平面，投影平面的位置决定了其上描绘的坐标网格的形状。图 20,a 和 20,b 描绘了日针投影，其图像平面接触地球而不是在极点。
任务。通过将给定截面（形状像半径为 100 公里的“帽子”）投影到与中心（ km）与“帽子”相切的平面上来描绘地形平面图。求图像的准确性，即找出在“帽”的任意点绘制的经线和平行线的小段扭曲的百分比：
a) 心轴投影（从地球中心的中心投影）；
b) 正交投影（垂直于给定切面的方向的平行投影）。参见图21，a，b。
而不是下结论
这就是在地图上描绘地球表面的基本原理和具体方法的全部内容。对于任何想更深入、更详细、更系统地了解“地球肖像”科学——制图学的人，我们建议，首先仔细阅读一些大型地图集，特别注意其中使用的投影的差异，并尝试独立地理解（也许可以借助地图集中通常给出的相当简短的注释）这种差异的原因。确实，这样做时，你可能不会因为答案而变得丰富，而是因为新问题而变得丰富。但这样就更好了！
您会在最新版《苏联大百科全书》的“制图投影”一文中找到对该主题的系统（但非常丰富，因此比在这个国家困难得多）的报道。在“地理地图”一文中，历史资料非常丰富，您可以找到更多文献参考资料。