数学归纳法的案例

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数学归纳法的案例

有一天，一位老师给十年级的学生布置了以下家庭作业：

尝试用数学归纳法证明对于任意自然数$n$不等式成立

$$P_n = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \dots 2n} < \frac{1}{\sqrt{n+1}}.$$

Kolya V. 在家里找到了以下解决方案；

a) 对于$n = 1$，不等式成立，因为

$$P_1 = \frac{1}{2} < \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

6. 让我们证明不等式 $P_{n+1} < \frac{1}{\sqrt{n+2}}$ 的有效性源自条件 $P_n < \frac{1}{\sqrt{n+1}}$。要做到这一点就足以表明

$$\frac{P_{n+1}}{P_n} < \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}},$$

或者

$$\frac{2n+1}{2n+2} < \sqrt{\frac{n+1}{n+2}},$$

或者

$$(2n+1)^2(n+2) < 4(n+1)^3.$$

或者

$$4n^3 + 12n^2 + 9n + 2 < 4n^3 + 12n^2 + 12n + 4,$$

或者

$$0 < 3n + 2,$$

这显然是正确的。因此，从数学归纳原理可以得出一个相当可证明的不等式。

然而，在学校讲述这个解决方案时，Kolya 忘记在分母中加上一个，并开始证明一个更“严重”的不平等：

$$P_n < \frac{1}{\sqrt{n}}.$$

这是他得到的：

a) 对于$n = 1$，不等式成立，因为

$$P_1 = \frac{1}{2} < \frac{1}{1}.$$

6. 让我们证明条件 $P_n < \frac{1}{\sqrt{n}}$ 蕴涵 $P_{n+1} < \frac{1}{\sqrt{n+1}}$。要做到这一点就足以表明

$$\frac{P_{n+1}}{P_n} < \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}},$$

或者

$$\frac{2n+1}{2n+2} < \sqrt{\frac{n}{n+1}},$$

或者

$$(2n+1)^2(n+2) < 4(n+1)^3n,$$

或者

$$4n^3 + 12n^2 + 9n + 2 < 4n^3 + 12n^2 + 12n + 4,$$

或者

$$0 < 3n + 2,$$

这显然是正确的。因此，从数学归纳原理可以得出一个相当可证明的不等式。

对于那些理解这个问题的人，我们建议证明两个不等式：

1. $P_n < \frac{1}{\sqrt{3,1n}}$.

有趣的是，在这个不等式中，系数 3.1 不能用 3.2 代替。保持正确的最大系数是 π（周长与直径的比率）。

2. $\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{n^3} < \frac{1}{4}$.