两个生活场景

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答案、说明、解决方案

对于任务“只有 2 个？”
（见«Kvant»第6条）

从等式$a + b = ab$我们找到$a$：

$$a = \frac{b}{b - 1}.$$

注意$b \neq 1$。

1. 设 $a - \text{целое число}.$ 由于数字 $b$ 和 $b - 1$ 互质（它们的差除以它们的 gcd，但等于 1），则$b - 1 = 1$ 或 $b - 1 = -1$。

因此$b_1 = 2$，$a_1 = 2$； $b_2 = 0$，$a_2 = 0$。

2. 如果$b$是不等于1的任意有理数，则利用公式(*)我们可以确定$a$。

3. 如果$ab = p$，则$p = \frac{b^2}{b - 1}$，从何而来

$$b^2 - pb + p = 0, \quad b = \frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - p},$$

$$b = \frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p(p - 4)}{2}}.$$

a) 对任何$p \geq 4$或$p \leq 0$使用公式()找到相应的$b$并使用公式()$a$；

6. 我们需要找到是否存在一个数字 $p$ 使得

$$p(p - 4) = \frac{q^2}{s^2},$$

(***)

其中 $\frac{q}{s}$ 是不可约分数。我们用整数 $(p, q, s$ 和 $m$ - 整数求解方程 (*)：

$$q^2 = s^2p(p - 4),$$，但根据分数的不可约性，可以得出$s = 1$。

$$p^2 - 4p - q^2 = 0, \quad p = 2 \pm \sqrt{4 + q^2},$$

$$4 + q^2 = m^2,$$

$$(m - q)(m + q) = 4 \cdot 1 = 2 \cdot 2.$$

整数 $m = \pm 2$、$q = 0$ 的唯一解得出解 (1)。

两个生活场景

“知识渊博”的导游

指南：……牛顿定律适用于行星，因此它们围绕科隆运行。开普勒定律也适用于它们，但我不会告诉你，因为它很复杂，你什么也不会明白……要飞离地球，你需要有第二个逃逸速度。正如你在海报上看到的，它等于11.2公里/秒，去年是11.4公里/秒……这对宇航员来说很难。当他们飞过大气层时，会给飞船带来很大的压力，宇航员会经历超载，但在大气层后面情况更糟——失重的空间从那里开始……

在一个研究所

研究生：我认为压路机在沥青中下垂是因为其压力增加了分子的速度，并且它们从压路机下方逃逸。

科学主管：你现在具体在做什么？

研究生：计算沥青分子的速度与压路机对它们的压力的关系。

科学主管：好的。你需要什么来完成这项工作？

研究生：我想要一台液压机！

科学主管：写一份申请。我想我们会得到它。