[习题 F42—F47; M36—M40]

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问题工人

第一章

图 1.

F42。绳子将被扔到方块上，绳子的一部分放在桌子上，一部分放在地板上。绳子松开后，它开始移动。求绳索稳定匀速运动的速度。桌子的高度为h。

F43。如果液体不可压缩且密度为 ρ，则求半径为 R 的液体中心的压力。

加权物理奥林匹克竞赛，1969 年

F44。两只海豚向对方游去。其中一个发出频率为 ω 的声音。如果海豚相对于水的速度相同且等于 v，另一只海豚听到的频率是多少？水中的声速和。

加权物理奥林匹克竞赛，1968 年

F45。球形电容器充满电介质并充电到一定的电势差，通过其电介质放电。球体之间的空间中放电电流的磁场是多少？

F46。一个立方体从 1 m 的高度落到一个球上，然后跳跃近 1 m。球跳到什么高度？如果同一个球从 1 m 的高度落到球上，球会跳到多高？

G·L·科姆金

F47。如果对理想气体进行 ABC 过程 (图 1)，则会向其传递热量 Q。在 ADC 过程中向气体传递了多少热量？

莫斯科市体能奥林匹克竞赛，1970 年

M36。证明不可能在一个平面上排列七条线和七个点，使得三条线穿过每个点，并且每条线上有三个点。

M37。在无限张方格纸的每个单元格中刻有一定的数字，使得任何正方形（其边沿网格线）中的数字之和的绝对值不超过1。证明存在一个数字 c，使得任意矩形（其边沿直线）中的数字之和

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网格）不超过$c$；换句话说，所有矩形 ik 中的数字总和是有限的。证明可以取$c=4$。也许你可以证明这个估计有罪（例如，证明我们的陈述对于$c=3$甚至对于$c=2$是正确的）？
于。 I. 爱奥宁

M38。以直角三角形 $ABC$ 的高度 $AD$ 为直径构造的圆，与边 $AB$ 相交于点 $K$，并与边 $AC$ 相交于点 $M$。线段 $KM$ 与高度 $AD$ 相交于点 $L$。已知线段$AK$、$AL$和$AM$形成几何级数（即$AK/AL=AL/AM$）。求三角形 $ABC$ (图 2) 的锐角。
L·M·洛波沃克

图 2.

M39。证明非负整数$x, y$满足方程
$$x^2 - mxy + y^2 = 1$$
（其中 $m$ 是给定的大于 1 的整数）当且仅当 $x$ 和 $y$ 是序列的相邻数

$$\varphi_0 = 0, \quad \varphi_1 = 1, \quad \varphi_2 = m,$$
$$\varphi_3 = m^2 - 1, \quad \varphi_4 = m^3 - 2m,$$
$$\varphi_5 = m^4 - 3m^2 + 1, \quad \dots,$$
其中$\varphi_{k+1} = m\varphi_k - \varphi_{k-1}$代表所有$k \geqslant 1$。

例如，方程 $x^2 - 3xy + y^2 = 1$ 对于数字 $0 \leqslant x < y$ 的所有解都是对 $(0, 1)$； $(1, 3)$； $(3, 8)$；对于所有$k \geqslant 1$，由条件$\varphi_0 = 0, \quad \varphi_1 = 1, \quad \varphi_{k+1} = 3\varphi_k - \varphi_{k-1}$定义的序列$0, 1, 3, 8, 21, 55, \dots$的$(8, 21)$相邻成员。 （这个红色事实在 Yu. Matiyasevich 的著作中使用，与希尔伯特第十个问题有关，该问题在上一期«Kvant»中讨论过。）

M40。查找金额
$$1 \cdot n + 2 \cdot (n - 1) + 3 \cdot (n - 2) + \dots$$
$$\dots + (n - 1) \cdot 2 + n \cdot 1.$$

尝试解决以下更普遍的问题：求和
$$S_n, k = [1 \cdot 2 \dots k] \times$$
$$\times [n(n - 1) \dots (n - k + 1)] +$$
$$+ [2 \cdot 3 \dots (k + 1)] \times$$
$$\times [(n - 1)(n - 2) \dots (n - k)] +$$
$$+ [3 \cdot 4 \dots (k + 2)] \times$$
$$\times [(n - 2)(n - 1) \dots (n - k - 1)] + \dots$$
$$\dots + [(n - k)(n - k + 1) \dots (n - 1)] \times$$
$$\times [(k + 1)k \dots 2] +$$
$$+ [(n - k + 1)(n - k + 2) \dots n] \times$$
$$\times [k(k - 1) \dots 1].$$

V·N·贝雷津