考虑无限小数...

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让我们考虑一个无限
小数…

S.G.金迪金

4,92617231248,9
7,16214301695743,0
1,7

2

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没有人会拥抱这巨大的事物。
其他人实际上声称每个人的生活都写在创世记中。

科兹玛·普鲁特科夫

“实数被称为无限小数。”*给出这个定义后，我们时不时地开始在统计数据的标题中读出这句话。这是什么意思？当我们打算考虑无限小数分数时，我们是否不与科兹马·普鲁特科夫的世俗智慧相矛盾，或者与伟大的法国数学家庞加莱（A. Poincaré）的类似陈述相矛盾，这些陈述以雕像的铭文形式出现？最终的小数部分可以通过例如将其写在黑板上并查看所写内容来“检查”。在无限分数的情况下，我们当然被剥夺了这样的机会。这在不同程度上是由于黑板、生命之人、我们的银河系等尺寸的限制。然而，让我们同意，在这座雕像中，我们将重点关注神话巨人，它不关心所有这些限制，任何有限的考虑都在我们的能力范围内。

另一方面，也不难理解，小数的无穷大并不一定与“巨大”相识。因此，在研究有理数时，有时会使用无限周期小数形式的表示形式，并且为了指定后者，指示句点之前的有限数量的小数位数以及周期本身（相同的有限位数）就足够了。因此，我们可以在不与我们的“有限性”冲突的情况下考虑这些分数。算术和几何级数（无限数列！）由两个数字（第一项和差或分母）决定。您可能知道有限序列的其他示例，其定义仅需要有限的信息（例如，常用术语的公式）。所有这些都表明，从科兹马·普鲁特科夫的角度来看，标题中给出的短语的罪犯并不是完全无条件的，因此需要进行更彻底的研究，我们将继续进行。

所以，我们知道有有限的小数可以被有限地描述。如果有一个无限小数分数的“口头描述”，我们同意将其称为“包含”——俄语中唯一定义的有限描述（即，只有一个分数满足该描述）。如果一个分数没有“口头肖像”，那么这个分数就被称为“巨大”。我们的目标是证明“巨大”分数的存在。

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让我们仅限于 0 和 1 之间的加法，即以下形式的表达式

$$0, \alpha_1 \alpha_2 \dots \alpha_k \dots,$$

(1) 其中 $\alpha_k$, $1 \leq k < \infty$ 是一些数字 0, 1, …, 8, 9。在实数理论中，任何“尾部”为 9 的附加数（所有符号，从某个位置开始都等于 9）等于某个“尾部”为 0 的附加数（例如，0.099… = 0.100…）。为了避免它们，我们不会考虑条目中包含 9 的多比鸟。因此，我们将考虑形式 (1) 的多贝，即数字 $0, \alpha_1 \alpha_2 \dots \alpha_k \dots$ 的序列，其中 $\alpha_k$ 可以等于 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8*)。我们要知道，即使是这样伟大的人，也有“伟大的人”。

你如何证明这一点？

然而，让我们首先考虑与有限集相关的类似情况（为了更好地理解，我们以幽默的形式描述它）。电影院的导演得知放映现场有观众，卖家的票房有九十张票。通过比较这两个事实，他得出结论，大厅里有人搭便车，你可能不会感到惊讶。他只是注意到观众比门票还多，而且门票不可能满足所有观众。请注意，这种推理只能证明无票观众的存在，而删除特定的“野兔”需要额外的研究（例如，在出口处检查门票）。

在过去的几个世纪里，G. Cantor **) 提出了一种奇妙的方法来对搭便车时代进行类似的推理 G. Cantor **) 提出了一种奇妙的方法来对搭便车时代进行类似的推理 G. Cantor (1845-1918) - 搭便车集合理论的创建者。

*) 敏锐的读者在阅读后续文本时肯定会注意到，只有当我们将它们限制为两个数字（例如 0 和 1）时，所有考虑因素才有意义。

**) G. Cantor (1845-1918) - 搭便车理论的创始人。

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例子。
编号分数 β = 0，

1. 0, $\frac{1}{2}$ 2 3 4 5 6 7 8 0 1…
2. 0, $\frac{1}{3}$ 6 1 4 5 3 2 1 4…
3. 0, 1 $\frac{2}{3}$ 4 5 3 1 7 8 2…
4. 0, 0 1 $\frac{4}{3}$ 7 2 7 8 0 1…
5. 0, 4 2 3 $\frac{1}{2}$ 1 4 5 6 0…
6. 0, 5 6 7 2 $\frac{4}{5}$ 8 0 1 2…
7. 0, 2 4 3 5 6 7 $\frac{8}{10}$ 0 2 4…
8. 0, 7 5 4 6 2 1 $\frac{2}{10}$ 0 1 2…
9. 0, 8 0 8 0 1 0 2 $\frac{2}{20}$ 2…

β = 0,253736013…

问题1.证明构造的分数β不包含在原始序列中。

那么，第二个事实已经证明了，让我们继续第一个事实。

让我们首先讨论一下通用图书馆的古老故事。

一个图书馆应该藏多少册书，包括曾经写过的、现在正在写的或将来会写的各种书籍？通常，第一次听到这个问题的人会惊讶于这样一个通用图书馆由有限数量的书籍组成（参见 K. Prutkov 的第二条格言）。这些都与我们关于人类无限进步的想法相矛盾……但让我们转向计算。我们假设所有书籍都有 500 页（否则我们会将它们分成几卷），并且每页包含 40 行，每行 50 个字符。现在我们来讨论一下印刷基底的问题。我们会对俄语书籍感兴趣。在打字时，您将需要与字母相对应的字符（字母）、标点符号以及用于输入特殊文本的一些字符（但是，如果您不节省空间，则可以用其口头描述来替换公式、表格等）。不管怎样，我们假设大写字母就足够了。为了方便我们在单词之间引入特殊的空格字符。通过连续多次输入该字符，您可以创建任意长的空格（部分地，由于这一点，在五页书籍中，您可以包括由较少数量的非空白页组成的书籍）。因此，一本书可以想象为 50 × 40 × 500 = 10⁶ 个字符的序列，每个字符都是排版字母表（字母）的 100 个字符之一，即，就像字母表由 100 个字母组成的语言中的一百万个字母中的一个单词。请注意，这种减少是通过损害空格字符来实现的，否则字符序列可能无法唯一地标识这本书（可以以不同的方式将其分解为单词）。

问题2. 证明字母表由k 个字母组成的语言中长度为n 的不同单词的数量等于kⁿ*)。

建议。首先，考虑十进制数字系统的一个示例：有 10 个不同的 n 位数字（从 000…0 到 999…9）。

从问题 2 可以看出，通用图书馆的卷数“仅”写为带有 200 万个零的一。这些书将包含所有智慧的高度，包括那些人类无法理解的智慧，但大多数书籍将包含无意义的文本。将会有一本仅由字母“a”组成的书（然而，一本只有一个点的书，一本书和一本“空”书，完全是空格字符的状态）。

现在让我们商定以书的形式形成小数分数的“口头肖像”。这些书会包含在通用图书馆中吗？一般来说，没有。事实是，谈到通用图书馆，我们都从这样的假设出发：书籍具有从现实角度来看的尺寸……

*) 单词只是字母的有限序列。我们对其意义的问题不感兴趣。

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我们的日常实践。
然而，如果我们拒绝在这个最后的避难所中实现（记住，我们关注的是一个并非固有的巨人），我们就不能排除一些“口头肖像”可能占据比通用图书馆的书籍更大的书籍的可能性。在这方面，我们引入了超普适库的概念。这就是我们所说的包含尽可能多尺寸的所有书籍的图书馆。一本书的大小是指其中的字符数。我们同意按照以下原则排列书籍：编号为$N$的书架上将有所有尺寸为$N$的书籍。特别是，整个通用图书馆将谦虚地占据一个编号为$N=10^6$的书架。因此，超普及的图书馆将已经包含无限数量的图书：它将拥有无限数量的书架。然而，每个书架上的书籍数量是有限的。从问题 2 可以清楚地看出，编号为$N$ 的书架上有$100^N$ 本书。由此可见，所有书籍都可以重新接线！

我们来进行如下盘点。我们首先确定超普及图书馆书架上的书籍顺序。为此，我们首先指出字母表中字母的顺序（字母的数量有限 - 100），然后按照字典中采用的所谓词典顺序排列书籍（对于两个 kigg 单词，第一个字母的编号较小；如果第一个字母重合，则比较该单词的第二个字母，依此类推）。将书放在书架上后，让我们从第一个书架开始数（上面有由一个字母组成的书！）。完成减少下一个架子后，我们继续进行下一个架子。既然每个书架上都有书，当然，每本书迟早都会收到一个编号。库存完成！现在让我们注意到，超普遍图书馆包含所有“全面”十进制分数的口头肖像，因此，通过图书馆中书籍的编号，我们可以阅读所有这些肖像，从而阅读“全面”分数（我们必须记住，一个分数可以有多个“口头肖像”，并看看这个分数是否已经被分配了号码；但是，如果我们多次使用同一个分数，并不可怕）。

“巨大”分数的存在已被证明。

对于那些读过《N.Ya》的人来说。在维伦金的《关于集合的故事》一书中，我们对所获得的结果的解释有些不同。还记得 Shchon Tikhim 发现的非凡电话是如何传输由无限的点序列等组成的电话信息的吗？想象一下，在另一部电话上，我们收到这些电话，他们想想出一种方法来破译它们，以便每个无尽的电话对应于某个字母表中的有限单词。我们已经证明这种方法不存在（文字总是会被混淆，但电话却不能）。我们也可以说，没有办法给单个线段的所有点赋予不同的名称（点）。

我们已经证明了“巨大”分数的存在，但是，就像电影导演一样，我们无法呈现一个具体的“巨大”分数。如果你尝试一下怎么办？让我们使用曾经帮助我们解决问题的对角线过程。毕竟，我们引入了图书馆的图书顺序，这意味着“广泛”分数的数量已经变得固定。利用事实 2，我们将构造一个无限的无限小数$\beta$。

因此，我们去找了书剧院的导演，呈现了一个特定的“巨大”部分。但发生了什么？对于“巨大”分数，按照定义，不应该有一个有限的描述，但是对于“巨大”分数$\beta$，已经构造了这样的描述；这是本文的前文（毕竟，您毫不怀疑它是有限的？）。只有拼写出来的字母表没有呈现，但这也是毫无疑问的。

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说真话，否则你可能会陷入准确定义“说谎者”概念的困难中。上述说法不可能是真的，因为那时的批评家埃庇米尼德斯就无法说出真相。所以，这是一个谎言，这意味着它证明了至少一个真实的克里特岛的存在。发生了什么？由于一个克里特人（他是否是圣人这一事实现在并不重要）说出了一个不可能是真实的想法，因此得出了一个关于真实的克里特人存在的结论。我们真的能确定它的存在吗？在此之后值得说的是，我们不是在谈论确定一个特定的真实批评者的可能性吗？

如果埃庇米尼德斯（像其他陈述一样）直接说：“我是个骗子”或“我现在在说谎”，那就更糟糕了。这些陈述既不真实也不虚假。而这里混乱的根源在于，为了解决一个陈述的真实性问题，人们必须已经知道这个问题的答案（一个恶性循环！）。

为了消除“言语肖像”恶性循环的可能性，我们会额外提出一个效率要求，即要求“肖像”提供明确构造分数的“机会”。更准确地说，我们假设它必须包含一种方法（或者，正如他们所说的，一种算法），允许我们的机器具有无限的内存，从中它可以使用任意大但有限的部分，在有限的时间内找到连续的分数符号。具有无限内存的数学机器的想法很棒，分数的描述是计算其连续符号的有限程序。当然，我们不必严格定义这台伟大的机器，读者理解这一点很重要。然后我请他相信可以给出这样的定义（将其放在另一篇文章中），并利用他的直觉来讨论一些一般原则。

现在我们将通过“包含”分数来理解有计算符号的程序的分数。让我们看看发生了什么变化。由于程序可以以书籍的形式出版，它们被包含在一个超通用的图书馆中，因此

1. 存在“巨大”分数。

此外，尽管我们从痛苦的经历中吸取了教训，但我们拒绝尝试教自行车写出特定分数是错误的。是什么阻止了这一点？如果我们有足够的记忆和时间，我们就能够计算出超宇宙图书馆中一本书的编号（也可以使用该编号写一本书），这意味着教授这个是很棒的。 Teger 只会审阅包含分数计算程序的书籍。为了找到“大”分数β的第k个符号，我们将第k个程序输入到机器中，等到它计算出第k个符号，然后根据表连接用于替换符号的程序（这已经很容易了）。那么，是不是又矛盾了呢？看看，我们真的构建了这个程序吗？当然，你已经发现了一个弱点：你需要使用这本书来确定它是否是一个计算无限小数符号的程序。谁应该做这件事？机器需要接受这一点。让我们弄清楚一下。如果有一种方法或程序（算法）来找出给定的程序文本（算法）是否用于计算无限小数的连续数字。

想想这个结果吧！假设算法的概念有一个正确的定义，没有任何关于这个定义的附加信息，我们