Гуманитарии сдают математику

35

ГУМАНИТАРИИ
СДАНОТ
МАТЕМАТИКУ

При набившем уже оскомину делении на «физиков» и «лириков» к «физикам» относительно не только физиков, но и химиков, инженеров, биологов, геологов, математиков, а к «лирикам» — не только лирических позтов, но и филологов, обществоведов и вообществе представителей гуманитарных наук.
Сложность представления и о двух полярных категориях школьников — одна увлекательная химия, физикой, математикой и активно участвуют в крупках технического моделирования; другие интересующие истории, искусством, психологии и печатися в школьных литературных журналах. Первые должны идти во втузы, а также на физico-mатематические и химico-bиологические факультеты; вторые — в институты и на факультеты гуманитарного профессионала.
Одноко старшеклассика, думалосьим о выборе места дальнейшей учebы, не следует забывать, что последнее десятилетия ознакомовались глубоким проникновением математики во многие отрасли знания, традиционно считавшиеся «гуманитарными». Достаточно сказать, что математика преподается сегодня на экономическом и психологическом факультетах и на отделении структурой и прикладнойлингвистики филологического факультета Московского университета.
Здесь не место говорить о роли математики в гуманитарных исследований или хотя бы о роли математических дисциплин в преподавании на указанных факультетах МГУ. В этой статье мы приводим лишь задачи по математике, предложенные на гуманитарных факультетах МГУ на письменныхступительных экзаменах в августа 1969 г. Впрочем, в вариантах письменных заданий отчасти отражены требования, предъявляемые к математической подготовке поступающих на те или иные факультеты и отделения.

36

ВАРИАНТЫ ЗАДАЧ ДЛЯ ПИСЬМЕННОГО ЭКЗАМЕНА*)

Факультет психологии

1. Внутренняя точка $A$ шара радиуса $r$ соединена с поверхностью шара трея отрезками прямых, имеющих длину $l$ и проведеными под углом $a$ друг к другу. Найти расстояние точки $A$ от центра шара.

2. Найти все положительные числа $a$, для которых все различные неотрицательные значения $x$, удовлетворяющие уравнению
   $$\cos[(5a - 9)x] = \cos[(9a + 17)x]$$
   и расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию.

3. Доказать, не пользоваться десятичными дробями, что
   $$\log_2 5 > \log_5 32.$$

4. Расстояние между $A$ и $B$ равно 7 км. Два пешекода одновременно вышили навстречу друг другу и встретились равные через час. Если бы первый шел вдвое быстрее, чем он шел на самом деле, а скорость движения второго была бы на 2 км/час больше его фактической скорости, то к моменту встречи второй прошел бы большеную часть пути. Скорость какого пешекода больше?

5. Доказать, что
   $$8x^2 + y^2 + 11z^2 + 4xy - 12xz - 5yz > 0,$$
   если $x^2 + y^2 + z^2 > 0$.

3 адачи
из других вариантов

a) В шара радиуса $r$ проведен диаметр $AB$ и три равные хорды $AC, AD$ и $AF$ проведены под углом $a$ друг к другу. Найти объем тела, ограниченного плоскостями треугольников $ACD, ADF, ACF, BCD, BDF$ и $BCF$.

6. Из $A$ в $B$ по течение реки плявет плот. Одовременно с тем, когда плот начал путь из $A$ в $B$, из $B$ в $A$ навстречу ему плявла лодка, которая встречает плот не ранее чем через 2 часа, и затем прибывает в $A$, затратив на весь путь менее трех часов двацати минут. Успеет ли плот преодолеть путь из $A$ в $B$ за 5 часов, если расстояние между $A$ и $B$ равно 20 км?

Решения задач

1. Пусть $O$ — центр шара; $B, D$ и $C$ — точки пересечения с поверхностью шара прямых, проведенных из точки $A; O_1$ — центр сечение шара плоскостью $\Delta BCD$. Учитывая,

*) На экзамены отводилось: на факультете психологии и отделении политического экономии экономического факультета — 4 часа, на филиологическом факультете и отделении экономического экономического факультета — 5 часов (один час равен шестидесятей минутам).

что плоскость $\Delta BCD$ перпендикулярна диаметру $AO_1$ (кроме случая $l = r$), находим
$$OO_1 = \sqrt{r^2 - \frac{4}{3}l^2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}.$$
$$AO_1 = l \sqrt{1 - \frac{4}{3} \sin^2 \frac{\alpha}{2}}.$$

Тогда
$$AO = OO_1 + AO_1,$$ если точки $A$ и $O$ лежат по разные стороны плоскости $\Delta BCD$;
$$AO = OO_1 - AO_1,$$ если точки $A$ и $O$ лежат по одному сторону плоскости $\Delta BCD$, и точки $O$ лежат вне пармиды $ABCD$ ($OO_1 > AO_1$);
$$AO = AO_1 - OO_1,$$ если точки $A$ и $O$ лежат по одному сторону плоскости $\Delta BCD$, и точки $O$ лежит внутри пармиды $ABCD$.

2. По формуле разности косинусов
   $$2 \sin [(7a + 4)x] \cdot \sin [(2a + 13)x] = 0.$$

Так как $a > 0$, то решения уравнения имеют вид
$$\frac{\pi k}{7a + 4}, \frac{\pi l}{2a + 13}; k, l - целые.$$

Ясно, что неотрицательные решения (соответствующие неотрицательным $k$ и $l$) образуют две арифметические прогрессии с первым членом 0 и разностями соответствующего целое число разкладывается в другой, т. е. когда либо $\frac{d_1}{d_2}$ натурально, либо $\frac{d_1}{d_2}$ аналогично получается: $\frac{d_2}{d_1}$ натурально.

Обратно, если, например, $\frac{d_2}{d_1}$ натурально, то в связи с арифметической прогрессии с первым членом 0 и разностю $\frac{d_2}{d_1}$ является также членом арифметической прогрессии с первым членом 0 и разностю $\frac{d_1}{d_1}$, поэтому членов двух прогрессий вместе образуют арифметическую прогрессию с первым членом 0 и разностю $\frac{d_1}{d_1}$.

Итак, $a > 0$ удовлетворяет условиям тогда и только тогда, когда либо $\frac{d_1}{d_2}$ натурально, либо $\frac{d_2}{d_1}$ натурально, либо $\frac{d_1}{d_2}$ является также членом арифметической прогрессии с первым членом 0 и разностю $\frac{d_1}{d_1}$, поэтому членов двух прогрессий вместе образуют арифметическую прогрессию с первым членом 0 и разностю $\frac{d_1}{d_1}$.

38

6. Положив $y = \frac{2x - 1}{2x - x^2 - 4}$, получаем квадратное (относительно $x$) уравнение $yx^2 + 2(1-y)x + 4y - 1 = 0$, дискриминант которого должен быть неотрицательным: $(1-y)^2 + y(4y - 1) \geq 0$, так как $x$ — действительное число, откуда
   $$-\frac{1 + \sqrt{13}}{6} \leq y \leq \frac{-1 + \sqrt{13}}{6}.$$
   Следовательно, наименьшее значение $y$ равно $-\frac{1 + \sqrt{13}}{6}$; соответствующое значение $x$, как легко подсчитать, есть $\frac{1 + \sqrt{13}}{2}$.

Отделение экономической кибернетики экономического факультета

1. Решить уравнение
   $$\left( \sqrt{\cos x} - 4 \sqrt[4]{2} \sqrt[4]{\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)} + 5 \sqrt[4]{2}\right)^2 - 2 \sqrt{\cos x} \times \left( \sqrt{\cos x} - 4 \sqrt[4]{2} \sqrt[4]{\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)} + 5 \sqrt[4]{2}\right) - \sin x = 0.$$
2. Четыре группы туристов отправились в воскрестный подход по четырем маршрутом разной длины. Сумма расстояний, проиденних первоя и четверой группами, на 6 км больше суммы расстояний, проиденних второй и третьей группами. Вторая группа прошла на 2 км меньше первого. Число туристов третьей группы равно расстоянию, проиденному первоя группой, а число туристов второй группы равно расстоянию, проиденному четверой группой. Сумма квадратов расстояния, проиденних каждой группой, равна 494. Сколько кибернетки просила каждый группа?
3. В круг радиуса $R$ виссан шестугольник ABCDEF. Известно, что $\angle A = \angle C = \angle E$, сторона $AB = a$, CD = b, EF = c. Вычислить площадь шестугольника ABCDEF.
4. Решить неравенство
   $$\left( 4x - x^2 - 3 \right) \log_2 \left( \cos^2 \pi x + 1 \right) \geq 1.$$
   3 задание
   из других вариантов
   a) Отрезок $AB = a$ перпендикулярен отрезку $BC = 3a$. В плоскости, содержащей оба эти отрезка, построены два круга радиуса $a$ с центрами в точках $A$ и $B$ и круг радиуса $3a$ с центром в точке $C$. Вычислить площадь части трех построенных кругов.

6. Решить неравенство
   $$\left| \sqrt{2} | x | - 1 \right| \cdot \log_2 \left( 2 - 2x^2 \right) \geq 1.$$

Решения задач

1. Область допустимых значений (ОД3):
   $$-\frac{\pi}{4} + 2k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi,$$
   $k = 0, \pm 1, \dots$

Положим
$$y = \sqrt{\cos x} - 4 \sqrt[4]{2} \sqrt[4]{\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)} + 5 \sqrt[4]{2},$$
тогда
$$y^2 - 2 \sqrt{\cos x} y - \sin x = 0,$$
откуда
$$y = \sqrt{\cos x} \pm \sqrt{\sqrt{2} \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)},$$
т. е. имеем
$$\sqrt{\cos x} - 4 \sqrt[4]{2} \sqrt[4]{\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)} + 5 \sqrt[4]{2} = \sqrt{\cos x} \pm \sqrt[4]{2} \sqrt{\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)}.$$

Положив $z = \sqrt[4]{\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)}$, получим $-4z + 5 = \pm z^2$. После уравнения имеет корни $z_1 = 1, z_2 = -5, z_3 = 2 \pm i$. Корни $z_2, z_3, z_4$, очень/no, построение.
Из $z_1 = 1$ следует $\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = 1$. Таим образом, $x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi, k = 0, \pm 1$.

2. Пусть $x_i$ — расстояние, проиденное $i$-группой, $i = 1, 2, 3, 4$. Из условия задачи имеем $x_1 + x_4 - 6 = x_2 + x_3, x_1 - x_2 = 2, x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 494$, откуда
   $$(x_1 - 1)^2 + (x_4 - 2)^2 = 242,$$
   $$x_1 = 1 + \sqrt{242 - (x_4 - 2)^2}.$$

По условиях $x_1$ и $x_4$ — натуральные числа ($x_1$ — число туристов в 3-й группе, а $x_4$ — число туриста легкого подбором, исходя из последнего соответствия (и заменяя, что в силу этого же соответствия $x_4 < 18$). Перебирая последовательно
$x_4 = 1, 2, 3, \dots, 17,$ находим единственное решение:
$x_4 = 13, x_1 = 12.$
В этом случае $x_2 = 10, x_3 = 9.$

3. $$\frac{3 \sqrt{3}}{4} R^2 + \frac{\sqrt{3}}{8} a \left( \sqrt{12R^2 - 3a^2} - a \right) + \frac{\sqrt{3}}{8} b \left( \sqrt{12R^2 - 3b^2} - b \right) + \frac{\sqrt{3}}{8} C \left( \sqrt{12R^2 - 3C^2} - C \right).$$

40

$$\frac{\cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ - 1}{\sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ} = 2 + \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{6}.$$

В заключение предлагаем решить самостояльно по одному варианту каждой таблицы.

Филологический факультет

1. В бассейн проведено три трубы, по которым в него течет вода. Первая и вторая трубы вместе наполняют бассейн на 35/18 часа быстрее, чем первая и третья трубы вместе наполняют его за 10 часов. Какую часть бассейна в час наполняет вторая труба, если она одна наполняется его в $\frac{7}{5}$ раза долше, чем одна первая труба?
2. Решить уравнение:
   $$\log_{\sin x} \left( \sin x - \frac{1}{4} \cos x \right) = 3.$$
3. Решить неравенство:
   $$2\log_3 x - \log_1/5 (4 - x) \leq \log_3 (x - 1)^2 + 2\log_2 (10 - x).$$
4. N человек обменялись рукопажатями. Сколько было рукопажатей?
5. Указать хотя бы одну пару целых положительных чисел $k_1$ и $k_2$ таких, что $36 \cdot k_1 - 25 \cdot k_2 = 1$.
6. Доказать, не пользоваться таблицами, что $\log_4 9 > \log_5 11$.
7. Есть ли тупой угол у треугольника, стороны которого равны соответственно 10, 14 и 17?

Факультет психологии

1. В шаре проведен диаметр $AB$ и две равные хорды $AM$ и $AN$, каждая под углом $a$ к диаметру. Найти угол между хордами, если отрезок $MN$ виден из центра шара под углом $\beta$.
2. Найти все положительные числа $a$, для которых все различные неотрицательные значения $x$, удовлетворяющие уравнению $\cos [(8a-3)x] = \cos [(14a+5)x]$ и расположенные в порядке возрастания, образуют арифметический прогрессию.
3. Доказать, не пользоваться десятичными дробями, что $\log_3 16 > \log_16 729$.
4. Расстояние между станциями $A$ и $B$ равно 360 км. В одно и то же время из $A$ и из $B$ настречу друг другу выездят два поезда. Поезды выехали из $A$, прибывает на станцию $B$ не ранее чем через 5 часов. Если бы его скорость была в 1,5 раза больше, чем на самом деле, то он встретил бы второй поезд еще чем через 2 часа после своего выхода из $A$. Скорость какого поезда больше?
5. Доказать, что
   $$2x^2 + 5y^2 + 3z^2 - 6xy - 2xz + 5yz > 0,$$
   если $x^2 + y^2 + z^2 > 0$.

Отделение политической экономии

1. Пять туристских палаток и двадцать спальных мешков стопли 490 руб. После десятипроцентной скидки на одну палатку и пятипроцентной скидки на один мешок за то же количество палаток и мешков нужно платьть 457 руб. Сколько до скидки стопли одна палатка и сколько стопли один мешок?
2. Решить неравенство: $x^2 + x - 10 < 2/x - 2$.
3. В остругольном треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $a$, сторона $AC$ равна $b$. Из вершины $B$ проведена медиана $m$. Вычислить площадь треугольника $ABC$.
4. Решить уравнение: $(3 - \text{ctg}^2 x)\sin 2x = 2(1 + \cos 2x)$.
5. Найти наиболее значение дроби $\frac{3x - 2}{4x - x^2 - 6}$, если $x$ может принимать любые действительные значения.

Отделение экономической библиотекки

1. Решить уравнение
   $$\left( 4\sqrt{\cos \frac{x}{2}} - 5 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + \sqrt{2} \left( 4\sqrt{\cos \frac{x}{2}} - \frac{\sqrt{2}}{2} - 5 \right) - \frac{\cos x}{2} = 0.$$
2. В пionерском лагере работают четыре художественные кружка. Кажdomу члену кружка привести по одинаковому набору красок. В первом и четвертом кружках вместе, а во втором и четвертом кружках вместе на четые пionера больше, чем в первом и третьем кружках вместе. В третьем кружке не больше десяти пionеров. Сколько пionеров в каждом кружке, если цена в рублей одного краска равна количество членов первого кружка, поделенному на десять, а за краски запалатили 52 руб. 80 коп.?
3. В трапецю $ABCD$ вписан круг. Найти разность длины отрезков диагонали $AC$, расположенных в круга, если высота трапеци равна $h$, а углы при основании $AD$ равны $a$ и $\delta$.
4. Решить неравенство: $2^{-1}x - 2^1\log_2(4x - x^2 - 2) \geq 1$.

А. С. КУЗИЧЕВ
В. С. УСПЕНСКИЙ