Học sinh khối xã hội thi toán

35

CÁC NHÀ NHÂN VĂN
THI
TOÁN HỌC

Trong sự phân chia đã trở nên nhàm chán thành “nhà vật lý” và “nhà trữ tình”, người ta xếp vào “nhà vật lý” không chỉ các nhà vật lý, mà còn các nhà hóa học, kỹ sư, nhà sinh vật học, nhà địa chất học, nhà toán học; còn vào “nhà trữ tình” — không chỉ các nhà thơ trữ tình, mà còn các nhà ngữ văn học, nhà khoa học xã hội và nói chung các đại diện của khoa học nhân văn.
Cũng đã hình thành quan niệm về hai loại học sinh đối cực — một số say mê hóa học, vật lý, toán học và tích cực tham gia các câu lạc bộ mô hình kỹ thuật; số khác quan tâm đến lịch sử, nghệ thuật, tâm lý học và đăng bài trên các tạp chí văn học của trường. Những người đầu nên vào các trường đại học kỹ thuật, cũng như các khoa vật lý-toán học và hóa học-sinh học; những người sau — vào các viện và các khoa chuyên ngành nhân văn.
Tuy nhiên, học sinh cuối cấp, khi suy nghĩ về việc chọn nơi học tiếp, không nên quên rằng thập kỷ vừa qua được đánh dấu bằng sự thâm nhập sâu sắc của toán học vào nhiều lĩnh vực tri thức vốn theo truyền thống được coi là “nhân văn”. Chỉ cần nói rằng ngày nay toán học được giảng dạy tại các khoa kinh tế và tâm lý học, cũng như tại bộ môn ngôn ngữ học cấu trúc và ứng dụng của khoa ngữ văn Đại học Moskva.
Ở đây không phải chỗ để nói về vai trò của toán học trong các nghiên cứu nhân văn, hoặc chí ít về vai trò của các môn toán trong giảng dạy tại các khoa nói trên của Đại học Quốc gia Moskva. Trong bài này, chúng tôi chỉ đưa ra các bài toán được đề nghị tại các khoa nhân văn của Đại học Quốc gia Moskva trong các kỳ thi viết tuyển sinh tháng tám năm 1969. Tuy vậy, trong các phương án đề thi viết phần nào phản ánh những yêu cầu đặt ra đối với sự chuẩn bị toán học của thí sinh vào các khoa và bộ môn khác nhau.

36

CÁC PHƯƠNG ÁN BÀI TOÁN CHO KỲ THI VIẾT*)

Khoa tâm lý học

1. Điểm trong $A$ của một hình cầu bán kính $r$ được nối với mặt cầu bằng ba đoạn thẳng có độ dài $l$ và tạo với nhau góc $a$. Tìm khoảng cách từ điểm $A$ đến tâm hình cầu.

2. Tìm tất cả các số dương $a$ sao cho mọi giá trị không âm phân biệt của $x$, thỏa mãn phương trình
   $$\cos[(5a - 9)x] = \cos[(9a + 17)x]$$
   và được sắp theo thứ tự tăng dần, tạo thành một cấp số cộng.

3. Chứng minh, không dùng phân số thập phân, rằng
   $$\log_2 5 > \log_5 32.$$

4. Khoảng cách giữa $A$ và $B$ bằng 7 km. Hai người đi bộ đồng thời đi ngược chiều nhau và gặp nhau đúng sau một giờ. Nếu người thứ nhất đi nhanh gấp đôi so với thực tế, còn tốc độ của người thứ hai lớn hơn tốc độ thực tế của anh ta 2 km/giờ, thì đến lúc gặp nhau người thứ hai sẽ đi được phần đường lớn hơn. Tốc độ của người đi bộ nào lớn hơn?

5. Chứng minh rằng
   $$8x^2 + y^2 + 11z^2 + 4xy - 12xz - 5yz > 0,$$
   nếu $x^2 + y^2 + z^2 > 0$.

3 bài toán
từ các phương án khác

a) Trong hình cầu bán kính $r$ có đường kính $AB$ và ba dây bằng nhau $AC, AD$ và $AF$ được kẻ tạo với nhau góc $a$. Tìm thể tích khối được giới hạn bởi các mặt phẳng của các tam giác $ACD, ADF, ACF, BCD, BDF$ và $BCF$.

6. Từ $A$ đến $B$ theo dòng sông có một chiếc bè trôi. Đồng thời với lúc bè bắt đầu đi từ $A$ đến $B$, từ $B$ đến $A$ ngược chiều với nó có một chiếc thuyền đi, thuyền gặp bè không sớm hơn sau 2 giờ, rồi đến $A$, tiêu tốn cho toàn bộ hành trình ít hơn ba giờ hai mươi phút. Liệu bè có kịp vượt quãng đường từ $A$ đến $B$ trong 5 giờ không, nếu khoảng cách giữa $A$ và $B$ bằng 20 km?

Lời giải các bài toán

1. Gọi $O$ là tâm khối cầu; $B, D$ và $C$ là các giao điểm với mặt cầu của các đường thẳng kẻ từ điểm $A$; $O_1$ là tâm của thiết diện của khối cầu bởi mặt phẳng $\Delta BCD$. Có tính đến

*) Thời gian dành cho các kỳ thi: tại khoa tâm lý học và bộ môn kinh tế chính trị của khoa kinh tế — 4 giờ, tại khoa ngữ văn và bộ môn kinh tế của khoa kinh tế — 5 giờ (một giờ bằng sáu mươi phút).

rằng mặt phẳng $\Delta BCD$ vuông góc với đường kính $AO_1$ (trừ trường hợp $l = r$), ta được
$$OO_1 = \sqrt{r^2 - \frac{4}{3}l^2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}.$$
$$AO_1 = l \sqrt{1 - \frac{4}{3} \sin^2 \frac{\alpha}{2}}.$$

Khi đó
$$AO = OO_1 + AO_1,$$ nếu các điểm $A$ và $O$ nằm ở hai phía khác nhau của mặt phẳng $\Delta BCD$;
$$AO = OO_1 - AO_1,$$ nếu các điểm $A$ và $O$ nằm cùng một phía của mặt phẳng $\Delta BCD$, và điểm $O$ nằm ngoài hình chóp $ABCD$ ($OO_1 > AO_1$);
$$AO = AO_1 - OO_1,$$ nếu các điểm $A$ và $O$ nằm cùng một phía của mặt phẳng $\Delta BCD$, và điểm $O$ nằm trong hình chóp $ABCD$.

2. Theo công thức hiệu cosin
   $$2 \sin [(7a + 4)x] \cdot \sin [(2a + 13)x] = 0.$$

Vì $a > 0$, các nghiệm của phương trình có dạng
$$\frac{\pi k}{7a + 4}, \frac{\pi l}{2a + 13}; k, l - целые.$$

Rõ ràng, các nghiệm không âm (ứng với $k$ và $l$ không âm) tạo thành hai cấp số cộng có số hạng đầu là 0 và các công sai sao cho một cấp số cộng được chứa trong cấp số kia một số nguyên lần, tức là khi hoặc $\frac{d_1}{d_2}$ là số tự nhiên, hoặc tương tự: $\frac{d_2}{d_1}$ là số tự nhiên.

Ngược lại, nếu, chẳng hạn, $\frac{d_2}{d_1}$ là số tự nhiên, thì liên quan đến cấp số cộng có số hạng đầu là 0 và công sai $\frac{d_2}{d_1}$ cũng là số hạng của cấp số cộng có số hạng đầu là 0 và công sai $\frac{d_1}{d_1}$, vì vậy các số hạng của hai cấp số cộng gộp lại tạo thành một cấp số cộng có số hạng đầu là 0 và công sai $\frac{d_1}{d_1}$.

Vậy, $a > 0$ thỏa mãn các điều kiện khi và chỉ khi либо $\frac{d_1}{d_2}$ là số tự nhiên, либо $\frac{d_2}{d_1}$ là số tự nhiên, либо $\frac{d_1}{d_2}$ cũng là một số hạng của cấp số cộng có số hạng đầu là 0 và công sai $\frac{d_1}{d_1}$, do đó các số hạng của hai cấp số cộng gộp lại tạo thành một cấp số cộng có số hạng đầu là 0 và công sai $\frac{d_1}{d_1}$.

38

6. Đặt $y = \frac{2x - 1}{2x - x^2 - 4}$, ta được phương trình bậc hai (đối với $x$) $yx^2 + 2(1-y)x + 4y - 1 = 0$, biệt thức của nó phải không âm: $(1-y)^2 + y(4y - 1) \geq 0$, vì $x$ là số thực, do đó
   $$-\frac{1 + \sqrt{13}}{6} \leq y \leq \frac{-1 + \sqrt{13}}{6}.$$
   Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của $y$ bằng $-\frac{1 + \sqrt{13}}{6}$; giá trị tương ứng của $x$, dễ dàng tính được, là $\frac{1 + \sqrt{13}}{2}$.

Bộ môn điều khiển học kinh tế thuộc khoa kinh tế

1. Giải phương trình
   $$\left( \sqrt{\cos x} - 4 \sqrt[4]{2} \sqrt[4]{\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)} + 5 \sqrt[4]{2}\right)^2 - 2 \sqrt{\cos x} \times \left( \sqrt{\cos x} - 4 \sqrt[4]{2} \sqrt[4]{\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)} + 5 \sqrt[4]{2}\right) - \sin x = 0.$$
2. Bốn nhóm du lịch đã đi dã ngoại vào chủ nhật theo bốn tuyến đường có độ dài khác nhau. Tổng các quãng đường mà nhóm thứ nhất và thứ tư đi được lớn hơn tổng các quãng đường mà nhóm thứ hai và thứ ba đi được 6 km. Nhóm thứ hai đi ít hơn nhóm thứ nhất 2 km. Số du khách của nhóm thứ ba bằng quãng đường mà nhóm thứ nhất đã đi, còn số du khách của nhóm thứ hai bằng quãng đường mà nhóm thứ tư đã đi. Tổng bình phương các quãng đường mà mỗi nhóm đi được bằng 494. Mỗi nhóm đã đi bao nhiêu kilômét?
3. Trong đường tròn bán kính $R$ nội tiếp một lục giác ABCDEF. Biết rằng $\angle A = \angle C = \angle E$, cạnh $AB = a$, CD = b, EF = c. Tính diện tích lục giác ABCDEF.
4. Giải bất phương trình
   $$\left( 4x - x^2 - 3 \right) \log_2 \left( \cos^2 \pi x + 1 \right) \geq 1.$$
   Bài 3
   từ các phương án khác
   a) Đoạn thẳng $AB = a$ vuông góc với đoạn thẳng $BC = 3a$. Trong mặt phẳng chứa cả hai đoạn thẳng này, dựng hai đường tròn bán kính $a$ có tâm tại các điểm $A$ và $B$, và một đường tròn bán kính $3a$ có tâm tại điểm $C$. Tính diện tích phần của ba đường tròn đã dựng.

6. Giải bất phương trình
   $$\left| \sqrt{2} | x | - 1 \right| \cdot \log_2 \left( 2 - 2x^2 \right) \geq 1.$$

Lời giải các bài toán

1. Miền giá trị cho phép (OD3):
   $$-\frac{\pi}{4} + 2k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi,$$
   $k = 0, \pm 1, \dots$

Đặt
$$y = \sqrt{\cos x} - 4 \sqrt[4]{2} \sqrt[4]{\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)} + 5 \sqrt[4]{2},$$
khi đó
$$y^2 - 2 \sqrt{\cos x} y - \sin x = 0,$$
suy ra
$$y = \sqrt{\cos x} \pm \sqrt{\sqrt{2} \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)},$$
tức là có
$$\sqrt{\cos x} - 4 \sqrt[4]{2} \sqrt[4]{\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)} + 5 \sqrt[4]{2} = \sqrt{\cos x} \pm \sqrt[4]{2} \sqrt{\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)}.$$

Đặt $z = \sqrt[4]{\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)}$, ta được $-4z + 5 = \pm z^2$. Sau đó phương trình có các nghiệm $z_1 = 1, z_2 = -5, z_3 = 2 \pm i$. Các nghiệm $z_2, z_3, z_4$, rất/no, dựng hình.
Từ $z_1 = 1$ suy ra $\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = 1$. Như vậy, $x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi, k = 0, \pm 1$.

2. Gọi $x_i$ là quãng đường đi được của nhóm $i$, $i = 1, 2, 3, 4$. Từ điều kiện bài toán có $x_1 + x_4 - 6 = x_2 + x_3, x_1 - x_2 = 2, x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 494$, suy ra
   $$(x_1 - 1)^2 + (x_4 - 2)^2 = 242,$$
   $$x_1 = 1 + \sqrt{242 - (x_4 - 2)^2}.$$

Theo điều kiện $x_1$ và $x_4$ là các số tự nhiên ($x_1$ là số khách du lịch trong nhóm thứ 3, còn $x_4$ là số khách du lịch dễ tìm bằng cách thử, xuất phát từ tương ứng cuối cùng (và thay rằng do chính tương ứng ấy $x_4 < 18$). Lần lượt thử
$x_4 = 1, 2, 3, \dots, 17,$ ta tìm được nghiệm duy nhất:
$x_4 = 13, x_1 = 12.$
Trong trường hợp này $x_2 = 10, x_3 = 9.$

3. $$\frac{3 \sqrt{3}}{4} R^2 + \frac{\sqrt{3}}{8} a \left( \sqrt{12R^2 - 3a^2} - a \right) + \frac{\sqrt{3}}{8} b \left( \sqrt{12R^2 - 3b^2} - b \right) + \frac{\sqrt{3}}{8} C \left( \sqrt{12R^2 - 3C^2} - C \right).$$

40

$$\frac{\cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ - 1}{\sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ} = 2 + \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{6}.$$

Cuối cùng, chúng tôi đề nghị tự giải một phương án trong mỗi bảng.

Khoa Ngữ văn

1. Có ba ống dẫn nước vào một bể bơi. Ống thứ nhất và thứ hai cùng nhau làm đầy bể nhanh hơn 35/18 giờ so với ống thứ nhất và thứ ba cùng nhau làm đầy bể trong 10 giờ. Ống thứ hai làm đầy bao nhiêu phần bể trong một giờ, nếu một mình nó làm đầy bể lâu hơn $\frac{7}{5}$ lần so với một mình ống thứ nhất?
2. Giải phương trình:
   $$\log_{\sin x} \left( \sin x - \frac{1}{4} \cos x \right) = 3.$$
3. Giải bất đẳng thức:
   $$2\log_3 x - \log_1/5 (4 - x) \leq \log_3 (x - 1)^2 + 2\log_2 (10 - x).$$
4. N người bắt tay nhau. Có bao nhiêu cái bắt tay?
5. Chỉ ra ít nhất một cặp số nguyên dương $k_1$ và $k_2$ sao cho $36 \cdot k_1 - 25 \cdot k_2 = 1$.
6. Không dùng bảng, chứng minh rằng $\log_4 9 > \log_5 11$.
7. Tam giác có các cạnh lần lượt bằng 10, 14 và 17 có góc tù không?

Khoa Tâm lý học

1. Trong một mặt cầu, đường kính $AB$ và hai dây bằng nhau $AM$ và $AN$ được vẽ, mỗi dây tạo với đường kính một góc $a$. Tìm góc giữa các dây, nếu đoạn $MN$ được nhìn từ tâm mặt cầu dưới góc $\beta$.
2. Tìm tất cả các số dương $a$ sao cho mọi giá trị không âm phân biệt của $x$, thỏa mãn phương trình $\cos [(8a-3)x] = \cos [(14a+5)x]$ và được sắp theo thứ tự tăng dần, tạo thành một cấp số cộng.
3. Chứng minh, không dùng phân số thập phân, rằng $\log_3 16 > \log_16 729$.
4. Khoảng cách giữa các ga $A$ và $B$ bằng 360 km. Cùng một lúc, từ $A$ và từ $B$ có hai đoàn tàu đi ra gặp nhau. Đoàn tàu xuất phát từ $A$ đến ga $B$ không sớm hơn sau 5 giờ. Nếu vận tốc của nó lớn hơn 1,5 lần so với thực tế, thì nó sẽ gặp đoàn tàu thứ hai chưa đến 2 giờ sau khi rời $A$. Đoàn tàu nào có vận tốc lớn hơn?
5. Chứng minh rằng
   $$2x^2 + 5y^2 + 3z^2 - 6xy - 2xz + 5yz > 0,$$
   nếu $x^2 + y^2 + z^2 > 0$.

Ban kinh tế chính trị

1. Năm lều du lịch và hai mươi túi ngủ có giá 490 rúp. Sau khi giảm giá mười phần trăm cho một lều và năm phần trăm cho một túi, cùng số lều và túi đó có giá 457 rúp. Trước khi giảm giá, một lều có giá bao nhiêu và một túi có giá bao nhiêu?
2. Giải bất phương trình: $x^2 + x - 10 < 2/x - 2$.
3. Trong tam giác nhọn $ABC$, góc $A$ bằng $a$, cạnh $AC$ bằng $b$. Từ đỉnh $B$ kẻ trung tuyến $m$. Tính diện tích tam giác $ABC$.
4. Giải phương trình: $(3 - \text{ctg}^2 x)\sin 2x = 2(1 + \cos 2x)$.
5. Tìm giá trị lớn nhất của phân thức $\frac{3x - 2}{4x - x^2 - 6}$, nếu $x$ có thể nhận mọi giá trị thực.

Ban thư viện kinh tế

1. Giải phương trình
   $$\left( 4\sqrt{\cos \frac{x}{2}} - 5 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + \sqrt{2} \left( 4\sqrt{\cos \frac{x}{2}} - \frac{\sqrt{2}}{2} - 5 \right) - \frac{\cos x}{2} = 0.$$
2. Trong trại thiếu nhi có bốn câu lạc bộ mỹ thuật. Mỗi thành viên câu lạc bộ mang theo cùng một bộ màu. Tổng số thiếu nhi ở câu lạc bộ thứ nhất và thứ tư, cũng như ở câu lạc bộ thứ hai và thứ tư, nhiều hơn tổng số thiếu nhi ở câu lạc bộ thứ nhất và thứ ba là bốn em. Ở câu lạc bộ thứ ba có không quá mười thiếu nhi. Có bao nhiêu thiếu nhi ở mỗi câu lạc bộ, nếu giá một hộp màu tính bằng số thành viên của câu lạc bộ thứ nhất chia cho mười, còn tiền mua màu là 52 rúp 80 cô-pếch?
3. Một đường tròn nội tiếp hình thang $ABCD$. Tìm hiệu độ dài các đoạn của đường chéo $AC$ nằm trong đường tròn, nếu chiều cao hình thang bằng $h$, còn các góc ở đáy $AD$ bằng $a$ và $\delta$.
4. Giải bất đẳng thức: $2^{-1}x - 2^1\log_2(4x - x^2 - 2) \geq 1$.

A. S. KUZICHEV
V. S. USPENSKY