[Thông báo tuyển sinh vào trường nội trú trực thuộc LGU]

⟦trang 51⟧

1. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn các số tự nhiên $a$ có tính chất sau: số $z = n^4 + a$ không phải là số nguyên tố với bất kỳ số tự nhiên $n$ nào (CHDC Đức, 5 điểm).

2. Cho $a_1, a_2, \dots, a_n$ là các hằng số thực, $x$ là biến thực và
   $$f(x) = \cos(a_1+x) + \frac{\cos(a_2+x)}{2} + \frac{\cos(a_3+x)}{2^2} + \dots + \frac{\cos(a_n+x)}{2^{n-1}}.$$
   Chứng minh rằng từ $f(x_1) = f(x_2) = 0$ suy ra $x_1 - x_2 = m$, trong đó $m$ là một số nguyên (Hungary, 7 điểm).

3. Với mỗi giá trị $k = 1, 2, 3, 4, 5$, tìm các điều kiện cần và đủ mà số $a > 0$ phải thỏa mãn để tồn tại một tứ diện có $k$ cạnh dài $a$, còn $6 - k$ cạnh kia dài 1 (Ba Lan, 7 điểm).

Ngày thứ hai, các bài toán sau đã được đề nghị:

4. Nửa đường tròn $\gamma$ được dựng trên đường kính $AB$. Điểm $C$ nằm trên $\gamma$ và khác $A$ và $B$. Hình chiếu vuông góc của $C$ lên $AB$ được ký hiệu là $D$. Xét ba đường tròn $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ có $AB$ là tiếp tuyến chung: trong đó $\gamma_1$ nội tiếp tam giác $ABC$, còn $\gamma_2$ và $\gamma_3$ đều tiếp xúc với đoạn $CD$ và $\gamma$. Chứng minh rằng $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ có tiếp tuyến chung thứ hai (Hà Lan, 6 điểm).

5. Trên mặt phẳng cho $n > 4$ điểm, trong đó không có ba điểm nào nằm trên một đường thẳng. Chứng minh rằng có thể tìm được không ít hơn $C_n^2 - 3$ tứ giác lồi có các đỉnh là bốn trong số các điểm đã cho (Mông Cổ, 7 điểm).

6. Chứng minh rằng nếu $x_1 > 0, x_2 > 0$ và $x_1y_1 - z_1^2 > 0, x_2y_2 - z_2^2 > 0$, thì
   $$\frac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1-z_2)^2} \leq \frac{1}{x_1y_1 - z_1^2} + \frac{1}{x_2y_2 - z_2^2}.$$
   Xác định các điều kiện cần và đủ để trong bất đẳng thức này xảy ra dấu bằng (Liên Xô, 8 điểm).
   N. S. Petrakov

Trường nội trú trực thuộc Đại học Leningrad tuyển những học sinh đã tốt nghiệp lớp bảy và lớp tám của trường phổ thông và tỏ ra có năng khiếu học các môn tự nhiên, đang cư trú tại các tỉnh Arkhangelsk, Vologda, Kaliningrad, Kirov, Leningrad, Murmansk, Novgorod, Pskov, các CHXHCN tự trị Karelia và Komi, các nước CHXHCN Xô viết Latvia, Litva và Estonia.

Để vào lớp tám của trường nội trú cần thi tuyển môn toán (viết) và dự phỏng vấn với các đại diện của hội đồng tuyển sinh (với nhà vật lí, nhà toán học hoặc nhà sinh học).

Vào các lớp tám nhận học sinh, chủ yếu sống ở nông thôn, các khu dân cư công nhân, các thành phố nhỏ ở Tây Bắc.

Để vào lớp chín phải thi viết môn toán, thi vấn đáp môn vật lí. Người vào chuyên ngành vật lí-toán học dự phỏng vấn môn toán, vào chuyên ngành hóa-sinh — hoặc môn hóa, hoặc môn sinh học.

Các kì thi tuyển sinh được tổ chức trong kì nghỉ xuân đồng thời với vòng cấp tỉnh (cộng hòa) của Olympic vật lí-toán học, hóa học và sinh học, cũng như vào tháng Sáu tại các trung tâm tỉnh và cộng hòa, dành cho các thí sinh do các cơ quan giáo dục quốc dân giới thiệu.

Nguyện vọng tham gia các kì thi tuyển cần nộp cho các cơ quan giáo dục quốc dân (Sở Giáo dục hoặc Bộ Giáo dục của nước Cộng hòa):

Giấy giới thiệu của hội đồng sư phạm trường mình.

Bản nhận xét (được hội đồng sư phạm phê chuẩn).

Đơn của cha mẹ hoặc người thay thế họ.

Giấy chứng nhận y tế (mẫu số 26).

Việc xét tuyển vào trường nội trú được quyết định tại hội đồng tuyển sinh ở Leningrad. Quyết định của hội đồng tuyển sinh được thông báo trước ngày 10 tháng Bảy.

Địa chỉ của chúng tôi: Leningrad, P—228, phố Savushkin, 61. Trường nội trú chuyên biệt trực thuộc Đại học Leningrad.

53

Lần đầu làm quen với Praha rất ngắn ngủi. Chỉ vài giờ sau khi đến, chúng tôi được đưa lên chuyến tàu Praha — Brno và được chúc thành công. Đúng là có một lời dặn nhỏ: “Chỉ đừng vượt đội Tiệp Khắc!”

Ngày hôm ấy nắng đẹp, và suốt đường chúng tôi ngồi bên cửa sổ. Những lùm cây tối màu đẹp đẽ trên các sườn đồi xanh nhạt lần lượt thay bằng những vách đá xanh vươn cao — một đất nước thanh bình rất đẹp. Chuyến đi dễ chịu nhưng ngắn. Chỉ bốn giờ trên tàu, và chúng tôi đã ở Brno.

Chủ nhà của Olympic cố gắng hết sức để giải trí cho các vị khách của mình. Hôm trước khi khai mạc, các thí sinh được đưa đi quanh Brno, cho xem các lâu đài và những thắng cảnh khác của thành phố. Trên xe buýt, chúng tôi dần làm quen với các bạn từ những đoàn khác — người Ba Lan, người Romania, người Đức. Chúng tôi phát hiện rằng đến Olympic chỉ có một bạn gái — thành viên của đội Romania. Một cuộc trò chuyện sôi nổi diễn ra (pha trộn tiếng Anh và tiếng Nga).

Và buổi tối — lễ khai mạc trọng thể Olympic Quốc tế lần thứ III *. Thể lệ thi được công bố: sẽ có hai vòng, vòng thứ nhất — lý thuyết, vòng thứ hai — thực nghiệm. Ở vòng lý thuyết có bốn bài (về cơ học, nhiệt động lực học, điện học và quang học), ở vòng thực nghiệm — một bài. Thời gian mỗi vòng — năm giờ. Các bài được chấm theo thang điểm đầy đủ. Ở vòng thứ hai, việc thực hiện cả phần thực nghiệm lẫn phần lý thuyết của công việc đều được tính đến. Số điểm tối đa có thể đạt được — 48. Người ta công bố trước cần có bao nhiêu điểm để nhận giải nhất, giải

*) Học sinh Bulgaria, Hungary, CHDC Đức, Ba Lan, Tiệp Khắc và Nam Tư đã tham gia.

nhì, giải ba, bằng khen. Người ta thông báo rằng bắt buộc phải đeo phù hiệu người tham dự Olympic, vì biểu tượng sẽ là giấy thông hành trong khuôn viên học viện quân sự, nơi Olympic sẽ diễn ra.

Trong giờ nghỉ, chúng tôi làm quen với các bạn Bulgaria: “Chúng tôi vừa mới bay đến và muốn nói chuyện bằng tiếng Nga…” Chúng tôi rất rất vui vì điều đó — dù sao thì nói tiếng Anh cũng đã khá chán rồi.

Sáng hôm sau, ngày 24 tháng Sáu, chúng tôi thức dậy, ăn sáng, chạy đến hội trường của học viện quân sự, tập trung, … nhưng hóa ra ban giám khảo chưa xong việc dịch đề bài sang các ngôn ngữ của những người tham dự Olympic, và mọi người đã dành trọn một giờ ngắm các bức tranh về những đề tài từ thần thoại Hy Lạp, chiếm một trong các bức tường của hội trường.

Cuối cùng, vòng thứ nhất đã ở phía sau, ngày mai — vòng thứ hai, và chúng tôi mong chờ một buổi tối hoàn toàn tự do. Nhưng… chủ nhà của Olympic cảm thấy sự say mê nghệ thuật của chúng tôi, và chúng tôi phải đi nghe vở opera của Smetana “Cô dâu bị bán”.

Với vòng thực nghiệm, dù thiếu ngủ, chúng tôi vẫn hoàn thành thành công và đi xem Austerlitz. Chúng tôi rất thích những hình tượng được thể hiện tài tình của “người mẹ đau buồn” và “cô dâu không thể khuây khỏa”, đứng ở lối vào TÒA NHÀ TƯỞNG NIỆM NHỮNG NGƯỜI LÍNH ÁO VÀ NGA đã hy sinh tại Austerlitz. Tòa nhà có một hiệu ứng âm học thú vị: nếu nói điều gì đó không to, đứng ở một góc, thì ở trung tâm không thể nghe thấy gì, trong khi ở góc đối diện lại nghe rõ mọi thứ. Chỉ một phút sau, tất cả mọi người (dù sao cũng là các nhà vật lý!) đều thì thầm gì đó ở các góc.

Sáng hôm sau, chúng tôi được đưa đến Bratislava. Hướng dẫn viên của chúng tôi trong thành phố là hai bạn — Martin và Ladislav, những người đối xử với chúng tôi chân thành như bạn bè. Chúng tôi đã xem tượng đài người giải phóng và Lâu đài Bratislava. Mặc dù ngày hôm đó âm u, xám xịt, Bratislava đã để lại trong chúng tôi một ấn tượng rất sáng sủa và tươi đẹp.

Sáng hôm sau, trưởng đoàn của chúng tôi, giáo sư Yantsov, thông báo rằng, giành được ba giải nhất, một giải nhì và một giải ba, chúng tôi đã nhường vị trí thứ nhất và thứ hai đồng đội cho các bạn Tiệp Khắc và Hungary.

Ban ngày, chúng tôi tham quan hang Punkva. Khó mô tả vẻ đẹp của nó, cần phải tự mắt nhìn thấy tất cả. Ở đó có một hòn đá đen, người ta đặt tay lên đó và ước một điều, theo truyền thuyết thì điều ước phải thành hiện thực. Hóa ra các thành viên đội Tiệp đã đến hang trước Olympic và ước giành vị trí thứ nhất. Có lẽ vì thế mà họ đã chiến thắng?

Buổi tối — lễ bế mạc trọng thể Olympic. Đội chúng tôi nhận được năm phần thưởng: ba chiếc đồng hồ và hai cuốn sách minh họa. Sau đó là tiệc.

Ngày 29 tháng Sáu, chúng tôi đi Praha bằng xe buýt. Đường đi mệt mỏi, xe xóc, đôi khi chúng tôi bị đánh thức để xem các lâu đài hoặc được dẫn đi ăn trưa. Đến tối thì tới Praha.

Sau ngày đó, chúng tôi đi dạo trong thành phố, nhìn xung quanh và nghĩ: “Ôi, giá mà sớm được về nhà!” Ở Tiệp Khắc, dĩ nhiên, rất tốt, nhưng ở nhà, như người ta nói, vẫn tốt hơn.

A. KLIMOV,
N. KONDRATYEV,
A. CHERNOUTSAN.

54

CÁC BÀI TOÁN OLYMPIC

Bài toán 1

Hệ vật, được biểu diễn trên hình, gồm ba xe đẩy A, B, C, có khối lượng tương ứng $m_1=300$ е, $m_2=200$ е và $m_3=1500$ е.

Lên xe đẩy C tác dụng một lực ngang F có độ lớn sao cho các xe đẩy A và B đứng yên tương đối đối với xe đẩy C.

1. Xác định: a) lực căng của sợi dây không dãn nối các xe đẩy A và B; 6) lực F.

2. Giả sử xe đẩy C đứng yên và xác định: a) gia tốc của các xe đẩy A và B; 6) lực căng của dây.

Khi giải bài toán, bỏ qua sức cản không khí, ma sát, mômen quán tính của ròng rọc và các bánh xe, cũng như khối lượng của dây.

Bài toán 2

Một nhiệt lượng kế bằng đồng, có khối lượng $m_1$, chứa nước có khối lượng $m_2$ ở nhiệt độ chung $t_2$. Cho vào nhiệt lượng kế nước đá có khối lượng $m_3$ và nhiệt độ $t_3<0^\circ$ C.

a) Xác định khối lượng nước và nước đá và nhiệt độ của chúng ở trạng thái cân bằng đối với các giá trị tổng quát nhất của các đại lượng $m_1, m_2, m_3, t_2, t_3$. Viết các phương trình trao đổi nhiệt trong hệ đã cho.

6. Xác định nhiệt độ và khối lượng nước và nước đá, nếu $m_1=1,00$ ке$^*$), $m_2=1,00$ ке,$m_3=2,00$ ке,$t_2=10^\circ$ C, $t_3=-20^\circ$ C.

Khi giải bài toán, bỏ qua sự mất mát năng lượng. Coi áp suất khí quyển là bình thường. Nhiệt dung riêng của đồng $c_1=0,094$ ккал ке$^{-1}$ ерад$^{-1}$, nhiệt dung riêng của băng $c_3=0,492$ ккал ке$^{-1}$ ерад$^{-1}$, nhiệt nóng chảy riêng của băng $l=70,7$ ккал ке$^{-1}$.

Bài toán 3

Một viên bi khối lượng $m$, mang điện tích $q$, được gắn vào một đầu

*) Hai số 0 sau dấu phẩy cho biết rằng phải đưa ra đáp số chính xác đến một phần trăm.

của một sợi chỉ không dẫn điện. Đầu kia của sợi chỉ được gắn vào điểm cao nhất của một vòng bán kính $R$, nằm trong mặt phẳng thẳng đứng. Vòng được làm bằng dây cứng, có thể bỏ qua đường kính của nó. Trên vòng phân bố đều điện tích $Q$ cùng dấu với $q$. Hãy xác định độ dài $l$ của sợi chỉ để sau khi lệch, viên bi nằm trên trục của vòng, vuông góc với mặt phẳng của nó.

Giải bài toán trước hết ở dạng tổng quát, rồi với các giá trị số $Q=q=9,0\cdot10^{-8}$ C, $R=5,0$ cm, $m=1,0$ g, $\varepsilon_0=8,9\cdot10^{-12}$ Fm$^{-1}$. Bỏ qua khối lượng của sợi dây.

Bài toán 4

Phía trên một khối lập phương thủy tinh đã mài, có cạnh dài 2,00 cm, đặt một bản mài sao cho trong khoảng không giữa bản và khối lập phương hình thành một lớp không khí giao thoa mỏng. Nếu chiếu vuông góc từ trên xuống bản bằng bức xạ có bước sóng từ 400,0 nm đến 1150 nm, mà bản trong suốt đối với chúng, thì điều kiện cực đại cường độ ánh sáng phản xạ từ lớp giao thoa chỉ được thỏa mãn đối với hai sóng trong khoảng đã nêu: với $\lambda=400,0$ nm và với một bước sóng nữa. Hãy xác định bước sóng này. Tính cần tăng nhiệt độ của khối lập phương bao nhiêu để nó chạm vào bản. Hệ số nở dài của thủy tinh $\alpha=8,0\cdot10^{-6}$ K$^{-1}$, chiết suất của không khí $n=1$. Khoảng cách từ đáy khối lập phương đến bản không đổi trong khi nung nóng.

Bài toán 5 (thực nghiệm)

Sử dụng: hai ắc quy sắt-niken, một pin khô, một dây đo điện thế (một dây đồng chất có điện trở chưa biết $X$, căng dọc theo thước chia milimét và có tiếp điểm trượt), một hộp điện trở có giá trị $R$, một điện kế (có vạch không ở giữa thang đo) và một điện trở bảo vệ.

Xét: a) một mạch kín gồm hai ắc quy mắc nối tiếp, hộp điện trở và điện trở chưa biết $X$ (dây đo điện thế), 6) pin khô mắc nối tiếp với điện kế và điện trở bảo vệ.

Hãy đề xuất và giải thích cách nối nhánh «b» vào mạch «a» sao cho có thể tìm được vị trí của tiếp điểm trượt trên dây đo điện thế $X$, tại đó không có dòng điện qua điện kế. Theo sơ đồ đã lập, hãy lắp mạch.

Bằng các phép đo, hãy xác định: 1) tỉ số giữa hiệu điện thế ở các cực của hai ắc quy mắc nối tiếp và suất điện động của pin khô (coi hiệu điện thế ở các cực của hai ắc quy là không đổi), 2) điện trở chưa biết $X$.

Hãy tìm giá trị điện trở $R$ để bài toán có nghiệm.