Theo dấu một bài toán

⟦trang 34⟧

4. Trong mạch điện vẽ ở hình 6, cả hai khóa $K$—$K$ lúc đầu đều mở, tụ điện $C_1$ không tích điện; các tụ điện $C_2$ và $C_3$ được tích điện và có cùng điện tích $q$, cực tính của các bản tụ được chỉ trên sơ đồ. Hãy tìm điện tích xuất hiện trên tụ điện $C_1$ sau khi cả hai khóa được đóng. Điện dung của tất cả các tụ điện là như nhau.

5. Trên hai thanh sắt nằm ngang có một khối hộp khối lượng $M$ và một cái nêm khối lượng $m$ tiếp xúc với nó, có thể trượt trên khối hộp (hình 7, nhìn từ trên xuống). Mặt thẳng đứng bên phải của khối hộp được vát nghiêng một góc $\alpha$. Khối hộp có thể chuyển động dọc theo các thanh sắt, mà các thành bên của chúng làm nhiệm vụ dẫn hướng. Một lực $F$ được tác dụng vuông góc với mặt thẳng đứng bên trái của khối hộp. Khối hộp sẽ bắt đầu chuyển động với gia tốc nào? Bỏ qua ma sát giữa mọi bề mặt tiếp xúc.

Trong thời kỳ chiến tranh thế giới thứ nhất, trong số các sĩ quan Pháp vào quân đội từ ghế nhà trường, trong những quãng thời gian đôi khi dài giữa các trận đánh, việc tổ chức các cuộc thi giải bài toán sơ cấp được phổ biến. Người chiến thắng phải tìm được lời giải đúng và, theo ý kiến chung, thú vị nhất.

Đây là một trong những bài toán ấy:
Chứng minh rằng một tam giác là cân nếu các đường phân giác của nó bằng nhau.
Nhiều người đã cố giải bài toán này, nhưng không phải tất cả đều tìm được con đường đúng. Bạn có muốn thử sức không?

Năm 1939, ở vòng hai của kỳ Olympic Toán học Moskva lần thứ 5, những người tham gia được đề nghị bài toán: “Phân tích thành các nhân tử nguyên hữu tỉ biểu thức $a^{10} + a^5 + 1$”.

Bài toán này dễ giải nếu sử dụng định lý: Đa thức $1 + a^{3k+1} + a^{3p+2}$ chia hết cho đa thức $1 + a + a^2$ với mọi $k$ và $p$ tự nhiên.

Hãy thử xác định xem định lý sau có đúng không:
Đa thức $1 + a^{4m+1} + a^{4l+2} + a^{4k+3}$ chia hết cho đa thức $1 + 1 + a + a^2 + a^3$ với mọi $k$, $l$ và $m$ tự nhiên.