Геометрия столкновений

18

ГЕОМЕТРИЯ
СТОЛКНОВЕНИЙ

Я. А. СМОРОДИНСКИЙ,
Е А СУРКОВ

НЕБОЛЬШОЕ ВВЕДЕНИЕ.

Одна из задач, с которой часто приходит встречася в современной физике, это задача об упругом рассеянии. Она обычно ставится так: надо определить скорости (по величины и направлению) двух части после того, как они столкнуты и разлетлись (как говорят, рассеялись), если направления их движения и энергии до столкновения были известны.

Столкновение называется упругим, если оно не сопровождается выделением теплла, и можно считать, что суммы кинетических энергий части до и после столкновения равны. Кроме того, частицы подчиняются закону сохранения количества движения.

Когда столкваются друг с другом две частицы — молекулы газа или два нуклона, то результат столкновения может быть различным. Если частицы прополетают на достаточно большом расстоянии друг от друга,

19

Вверху: фотографика нецентрального удара движущегося шара о такой же неподвижный. Шары разделяются под прямым углом. Неподвижный шар после стокновения движется вправа. Освечение строкосоппическое, частота вспышек — 25 в секунду.

то направления их движения могут почти не измениться и путь частиц лишь слегка отклонится от прямолинейного; в других случаях, когда частицы стalkиваются, так сказать, «в лоб», направление их движения может сильно измениться. Если мы знаем начальное состояние частиц (векторы их скоростей), то скорости частиц после стокновения определяется, если мы зададим угол рассеяния — угол, на которой отклонится одна

Внизу: последовательные стокновения протона с другими протонами, первоначально покоящимся. Фотография получена в пузырьковой камере с жидким водородом. Следы летяших протонов видны в виде цепочки мелчайших пузырьков.

из частиц при стокновении (ниже мы определим это понятие точнее).

Хотя найти связь между скоростями частиц и углом рассеяния задача принципиально нетрудная, тем не менее вычисления надо проводить вправильно последовательности — иначе в них довольно легко запутаться.

Очень наглядный и удобный геометрический метод решения задача на стокновении основан на том, что

20

каждому процессу столковения можно сопоставить четырехугольник, составленный из векторов скоростей. Определение углов и скоростей можно свести при таком методе к известному из тригонометрики решения треугольников. Этот метод удобен еще и тем, что его можно обобщить и на более сложные процессы, например на ядерные реакции, и даже — на решение задач в механике теории относительнойности. Здесь мы рассакаем лишь о простейших задачах.

Для того чтобы воспользоваться геометрическим методом, надо вести понятие о пространстве скоростей. Так как скорости — это векторы, то операции, которые можно с ним проделывать, очень похожи на операции, которые проделываются с векторами перемещений (расстояний). Поэтому, подобно тому как все возможные перемещения образуют (или, если хотите, заполняют) общное пространство (мы будем называть его координатным пространством), так все возможные скорости образуют похожий геометрический объект — пространство скоростей. Именно в пространстве скоростей мы будем строить и решать треугольники.

О свойствах пространства скоростей удобнее всего расссказывать, исходя из аналогии с координатным пространством. Поэтому мы наполним сначала некоторые свойства последнего.

КООРДИНАТНОЕ ПРОСТРАНСТВО.

Рассмотрим двумерное пространство, например пол комнаты, продолженный во все стороны до бесконечности.

Если на плоскости имеется несколько точек (предметов на полу), то для того, чтобы говорить о положении этих точек, нам нужно выбрать тело отсечета — одну из точек, например $O$ (рис. 1). тогда положение любой точки $A$ относительно $O$ задается радиусом-вектором $\vec{OA}$, ищим в эту точку из точки $O$, или, как еще можно сказать, вектор перемещения из точки $O$ в точку $A$.

Если бы мы захотели расссказать комун-нибудь, как найти точку $A$, то нам пришлось бы выбрать, кроме тела отсечета $O$, еще какую-нибудь точку $C$ (рис. 2), для того, чтобы сказать, какой угол $\alpha$ составляет вектор $\vec{OA}$ с направлением $OC$. Этот угол вместе с длиной радиуса-вектора $\vec{OA}$ и определяет точку $A$.

Можно было бы поступить иначе: проведсти через точку $O$ две взаимно перpendикулярные прямые $OX$ и $OY$ (оси координат), одна из которых проходит через точку $C$, и задать два числа $A_x$ и $A_y$ — проекции вектора $\vec{OA}$ на оси координат.

В дальнейшем мы будем рассматривать только те величины, которые не зависит от системы координат, —

21

рассстояния между точками и углы между прямыми. Поэтому нам не нужно будет вводить систему координат.

Если в качестве тела отчета выбрать не точку $O$, а какую-нибудь другую точку плоскости, например точку $B$ (рис. 1), то положение точки $A$ относительно $B$ будет определяться радиусом-вектором $\vec{BA}$, равным сумме векторов $\vec{BO}$ и $\vec{OA}$. Иными словами, если мы переходим к новому телу отчета — точке $B$, которая задается вектором $\vec{OB}$, то для того, чтобы найти радиус-вектор $\vec{BA}$, определяющий положение тела $A$ относительно $B$, нужно к вектору $\vec{OA}$, определяющей положение тела $A$ относительно первого начального тела отчета $O$, прибавить вектор $\vec{BO} = -\vec{OB}$.

Obviously правильное сложение векторов изображается графически несколько иначе. Складываемые векторы рисунется исходящими из одной точки, то есть строй вектор $\vec{BD}$, параллельный вектор $\vec{OA}$ и равный ему по длине (рис. 3). Вектор $\vec{BA}$ считается суммой $\vec{BO} + \vec{BD}$. Но складывать векторы можно и так, как показано на рисунке 1. В дальнейшем нам пона-

добится именно такой способ для сложения скоростей.

Do such pins go horizontally or vertically, определяющих относительные положения тела, лежащих на плоскости. Теперь нас будет интересовать относительные скорости тела, равномерно и прямолинейно движущся по плоскости.

ПРОСТРАНСТВО СКОРОСТЕЙ

Поставим на плоскости точку, обозначим ее $V_0$, и векторы скоростей любых тел, движущихся относительно тела отчета $O$, будем рисовать так, чтобы начала этих векторов были в точке $V_0$. Пусть $V_A$ — точка, в которой приходит конец вектора скоростей тела $A$ (рис. 4). Так как скорость — это вектор перемещения за единицу времени, то векторы скоростей складываются точно так же, как векторы перемещений. Поэтому, если в качестве тела отчета выбрать не точку $O$, а какое-нибудь другое тело, например $B$, вектор скорости которого относительно $O$ — это вектор $\vec{V}_0\vec{V}_B$, то вектор скорости тела $A$ относительно $B$ можно найти, воспользоваться правилом сложения векторов, о котором мы говорили, когда рассматривали координатное пространство. Скорость тела $A$ относительно $B$ равна сумме векторов $\vec{V}_B\vec{V}_O$ и $\vec{V}_O\vec{V}_A$, то есть вектор-

22

ру $V_B V_A$. По существу нам просто нужно проверить вектор из точки $V_B$ в точку $V_A$.

Ясно, что скорости любого тела $C$ на нашей плоскости должна соответствовать некоторая точка $V_c$, являющаяся концом вектора $\vec{V}_o V_c$ — скорость тела $C$ относительно тела $O$. Вектор, проведенный из точки $V_c$ в любую другую точку плоскости, например—в $V_A$, представляется собой вектор скорости тела $A$ относительно тела $C$.

Это позволяет нам изобразать скорости тел не только векторами, но и точками на плоскости в пространстве скорости. Любая точка этой плоскости означает скорость тела, а вектор, идущий из одной точки в другую, — вектор относительной скорости тела. Ясно, какой смысл имеет точка $V_o$, с которой мы начали. Это скорость тела $O$.

Конечно, пользоваться пространством скорости, мы не различаем тел, находящихся в разных точках координатного пространства, но имеющих одинаковые скорости. Всем им в пространстве скоростей соответствует одна и та же точка. Поэтому по рисунку 4 мы не можем сказать, договорет ли тело $C$ тело $O$ или удаляется от него. Это определяется общно условием задачи, которое мы решаем, и положениями тел в координатном пространстве.

КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ДИАГРАММА

Перейдем теперь к решению задачи о рассеянии. Пусть частица с массой $m_1$ и скоростью $v_1$ стальвается с другой частицей, имеющей массу $m_2$ и скорость $v_2$, и пусть после стольновения скорости частиц соответствующего равны $v_1'$ и $v_2'$). Задча состоит в том, чтобы найти скорости

*) Мы считаем, что частицы стальваются, как билиардные шары: сам удар длится очень небольшое время, а все остальное время частицы движутся как свободные. Тогда выражения «до стольновения» и «после стольновения» имеют волне понятный смысл.

$v_1'$ и $v_2'$, если векторы $v_1$ и $v_2$ и массы частиц известны.

Скорости $v_1'$ и $v_2'$ не могут, конечно, иметь произвольные значения. Они, во-первых, должны удовлетворять закону сохранения импульса (количества движения):

$$m_1 v_1' + m_2 v_2' = m_1 v_1' + m_2 v_2' ,$$

(1) во-вторых, они должны удовлетворять закону сохранения энергии:

$$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m_1 v_1'^2}{2} + \frac{m_2 v_2'^2}{2} .$$

В том случае, когда частицы до и после удара движутся по одной прямой (такой удар называется центральным), эти уравнения решаютсядовольно проще. Вместо векторного уравнения (1) мы можем написать точно такое же скалярное уравнение для длин векторов. Тогда мы получим два скалярных уравнения с двумя неизвестными: $v_1'$ и $v_2'$. Но гораздо чашце приходится иметь дело с нецентральным ударом, при котором частицы разделяются под разными углами. Спроектировав векторы скоростей частиц на два взаимно перpendикулярных направления, одно из которых удобно выбрать параллельным скорости какой-нибудь из частиц до рассеяния, вместе уравнения (1) можно записать два точных же скалярных уравнения для проекций векторов. Поэтому законы сохранения в случае нецентрального удара должны пригодиться для частиц после рассеяния и двух углов, которые составляют эти векторы с выбранным нами направлением. Если одну из величины задать, то уравнение можно решить.

Столковенная часть в любой системе отчета. Возьмем, например, такую, в которой частица 1 до сударения покопалась (такая система называется лабораторной). В ней $v_1 = 0$, а закон сохранения импульса выглядает так:

$$m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2' .$$

Это означает, что три вектора

23

$m_2v_2, m_1v_1'$ и $m_2v_2'$ образуют треугольник. В плоскости этого треугольника лежат любые относительные скорости частиц (до и после столковения). Поэтому нам достаточно рассматривать лишь двумерное пространство скорости.

Отметим на плоскости скоростей $v_1, v_2, v_1'$ и $v_2'$. Соответствующие точки будем обозначать просто цифрами 1, 2, 1’ и 2’ (рис. 5). Докажем, что эти точки лежат в вершинах равновой трапеции. Для этого введем новую систему отчета: системы центра масс. Она выбирается так, чтобы в ней имплусы стalkивающих частицы были одинаковы по величины и противоположны по направлению. Для частиц 1 и 2 точка $C$ — скорость центра масс — лежит на прямой, соединяющей эти точки, и делит эту прямую на отрезки, обратно пропорциональные массам частиц. Если обозначить величины скоростей частицы в системе центра масс через $u_1$ и $u_2$, то $m_1u_1 = m_2u_2$.

Это равенство похоже на правило равновесия рычага. Точка, которая отвечает легкой частице, находится дальше от центра. Ясно, что суммарный имплусы частицы в системе центра масс равен нулю. В силу закона сохранения количества движения в этой системе и сумма имплусов частицы после рассчета также будет равна нулю. Это означает, что точка $C$ лежит на прямой, соединяющей эти точки, и делит эту прямую на отрезки, обратно пропорциональные массам частиц.

Нетрудно показать, что в силу закона сохранения энергии в системе центра масс не меняются величины имплусов каждой из частиц, а меняются только их направления. Для этого энергии частиц надо выразить через величины их имплусов и, записав закон сохранения энергии в виде

$$\frac{(m_1u_1)^2}{2m_1} + \frac{(m_2u_2)^2}{2m_2} = \frac{(m_1u_1')^2}{2m_1} + \frac{(m_2u_2')^2}{2m_2},$$

заменить в этом уравнении имплусы частицы 2 на равные им по величины имплусов частицы 1 или наоборот. В первом случае мы получим, что $m_1u_1' = m_1u_1$ или $u_1' = u_1$, а во втором, что $m_2u_2' = m_2u_2$ или $u_2' = u_2$. А это и означает, что на рисунке 5 получилась равновой трапеция.

Если массы обиха частицы равны, то эта трапеция превращается в прямогольник. (Так как $m_1 = m_2$, то $u_1 = u_2 = u_1' = u_2'$.)

НЕСКОЛЬКО ЗАДАЧ

Рассмотрим несколько задач, которые можно решать с помощью кинематических диаграмм.

Нанhem со случай нецентрального удара частиц с равными массами (рис. 6). Если точка 1 до столкове-

24

покупать, то угол 212’ есть угол, на который отклоняется траектория частицы 2 при рассеянии. Частца 1 отлетает в направлении 1’. Угол 211’ называют углом отдачи. Из диаграммы видно, что в системе координат, в которой одна из частиц (частица 1) до столковения покупалась, частицы 1 и 2 после удара разлетаются под прямым углом в направлениях 11’ и 12'.

Рассмотрим две системы координат: α — угол рассеяния в системе центра масс, β — угол рассеяния в системе, где частица 1 до сударения покупалась. Из диаграммы видно, что α = 2β, так как α — внешний угол, не смежный с углом β в равноведренном треугольнике 12’C. Угол рассеяния, измененный влабораторной системе, вдвое меньше угла рассеяния в системе центра масс.

Если мы будем врашать отрезки 12 и 12’ вокруг точки C — удобнее, впрочем, оставив отрезок 12 неподвижным, врашать только отрезок 12’, — то мы опишем все возможные случаи рассеяния при заданных энергиях (или, что то же, при заданных величины скоростей) частиц до рассеяния, то есть все возможные случаи сударений.

При этом мы увидим, что угол рассеяния α в системе центра масс изменяется на 360°: на 180° по и 180° против часов стрелки. Так как влабораторной системе угол рассеяния β вдвое меньше угла рассеяния β вдвое меньше угла рассеяния β: v₂’ = v₂cosβ, где v₂—начальная скорость частицы 2 в этой системе.

Рассмотрим теперь задачу о столковении части с неравными массами. Чтобы увеличить все возможные случаи рассеяния, будем опять врашать отрезок 12’ вокруг точки C. Частца 1 более легкая, то точка 1 описывает большую окружность, чем

25

точка $2'$ (рис. 7, а). (Так как $m_1u_1 = m_2u_2$, то при $m_1 < m_2$, $u_1 > u_2$.) Из диаграммы 7, а видно, что в системе отсчета, в которойяжелая часть 2 до рассеяния покоплась, легкая часть 1 может рассеять на любой угол (угол рассеяния — $121'$).

Иначе обстоит дело, если покоплась более легкая часть 1. Так как точка $2'$ лежит на окружности маленького радиуса, то ясно, что отрезок $C2'$ обязаетлено расположен в угле, под которым эта окружность видна из точки 1 (рис. 7, б). Это означает, что максимальный угол рассеяния частицы 2 в системе координат, где частица 1 до рассеяния покоплась (угол $212'$), равен углу, под которым из точки 1 видна поливна окружности, получающейся при выражении отрезка $2'C$ вокруг точки $C$. Из рисунка 8 (это увеличенная деталь рисунка 7, б) найдем, что

$$\sin \alpha_{\max} = \frac{u_2'}{u_1} = \frac{u_2}{u_1} = \frac{m_1}{m_2}.$$

Еслияжелая часть рассеивает на легкой, то она не может отклониться на слишком большой угол. Максимальный угол определяется отношением масс.

Таким образом, надо научиться читать диаграммы, а далее дело свойства к простой тригонометрии, которая дает ответ на любой вопрос. Мы можем теперь не решать каждой раз уравнения, выражающие законы сохранения энергии и импульса, а сразу рисовать в пространстве скоростей kinematического диаграмму (для нее эти законы выполняются автоматически) и рассматривать ее потом с точки зрения наблюдаемой, движущихся с разными скоростями. На рисунке 9 один и тот же процесс столкновения изображен с точки зрения трех разных систем отсчета: a) в системе центра масс, b) вLABораторной системе, в которой до рассеяния покоплась часть 1, b) в произвольной системе отсчета O.

Решите самостояльно следующие задачи.