Учебное пособие «математический анализ»

58

Учебное пособие
«математический анализ»*)

М. Л. СМОЛЯНСКИЙ

Бурное развитие вычислительной техники, внедрение быстродействующих вычислительных машин во все области народного хозяйства, науки и техники, привело к появлению новых специальностей. Одной из них является специальность «программист-вычислитель». И по мере увеличения парка вычислительных машин будет все время возрастать необходимость в программистах, вычислительных и других специальных, обслуживающих эти машины. Подготовкой программы и вычислительной запоминаются и вычисление учебные заведения и техническими. Готовят их и в некоторых школах. Сейчас уже существует несколько десятиков, если не сотен, школ и классов, в которых ведется преподавание математики на повышенном уровне. Однако полное преподавание в этих школах сильно осложняет из-за отсутствия учебников, специально предназначенных для таких школ. Школьник приходилось или пользоваться книгами, написанными для вычисления учебных заведений, или ограничивать материалом, даваемым в школе на уроках.

Сейчас вышили в свет две книги: «Алгебра»**) и решенияруемая книга, основная цель которых исправить эту ситуацию. Обе эти книги составляют неразрывное целое.

*) Н. Я. Виленкин, С. И. Шварцбург, Математический анализ, учебное пособие для IX, X классов средних школ с математическим специальным, «Просвещение», 1969 г.
**) Н. Я. Виленкин, Р. С. Гутер, С. И. Шварцбург, Б. В. Овчинский и В. Г. Ашкинез, Алгебра, «Просвещение», 1968 г.

Кому же адресованы эти книги? Конечно, в первую очередь авторы имели в виду учащихся школ с математической специализцией. Но не только им будет полезны эти книги. Много почерпнут в них все ученики, интересы которых выходит за рамки школьной программы. Найдет в ней много материалов и учитель математики средних школ, и студенты педагогическихузов.

Книги, излагающие расширенный курс математики, можно писать в разном ключе. Можно удалить особое внимание сложным алгебраическим преобразованиям, запутанным трионометрическим тождествам, решению глобоволомных уравнений. С другой стороны, можно излагать без существенных изменений математические дисциплины, которые преодолаются в вычислях учебных сведений. Авторы книги «Matематический анализ» по иному пути. Конечно, изучив эту книгу, школьник научится и решать трионометрические и показательные уравнения, и доказывать различные трионометрические тождества, и дифференцировать и интерпровать различные функции. Но, в отличие от большинства книг по математическому анализу для школьников, в решенияруемой книге большое внимание уделяется выяснению смысла основных понятий, с которых сталкивают учащиеся.

Книга начинается с изложения теории действияных чисел. Возможно, что авторы удовлетворяют этому вопросу слишком много места. Но без ясного понимания, что такое действительное число, нельзя до конца понять ни что такое предел, ни даже что такое по-

60

выпадает из общего стиля книги. Надо думать, что включение этой главы связано с необходимостью наряду с основными задачими обучения решить задачу подготовки учащихся к вступительным экзаменам вузы по математике. А на этих экзаменах, как известно, экзаменаторы часто увлекаются всевозможными показательными, логарифмическими и тригонометрическими уравнениями, тождестами и т. д. Оdnako и здесь авторы дают не только решить по решению всевозможных уравнений, но рассматривают и общее вопросы, связанные с этим уравнениями, вопросы о приближенных методах решения уравнений. Включение последнего вопроса связано с тем, что в некоторых школах с математической специализцией не изучается вычислительной математика, а знакомство с методами хорд и касательных, с методом последовательных приближений полезно для всякого оканичивающего среднюю школи. Далее в школах, где есть особый курс вычислительной математики, может оказаться полезным изучение соответствующих вопросов по данной книге.

Восьмая глава трактует об интерграле (как неопределенном, так и определенном), а девятая — о рядах. К сожалению, глава, посвященная интерграмам, оказывась излишне тяжеловесной. Здесь надо было пожертвовать строгостью изложения, не определять понятия объема, а считать его оченьным.

Значительное место в книге занимают упражнения. Наряду с обычными задачими в нее включено довольно много задач повышенной трудности. Упражнения расположены, как правило, в порядке возрастания трудности. Оdnako темп возрастания трудности задач довольно высоком, он значительное быстрое приводит учащихся к трудным упражнениям, чем обычные учебники массовой школи. Упражнения приввают хорошее навыки решения трудных задач и позволяют подготовиться к вступительным экзаменам в высшие учебные заведения с углубленным изучением математики. Большые упражнения помещены звездочкой и могут служить материалом для крупковой работы.

В целом книжка вышла полезной и интересной. Несолькоудивляет малый тираж (30 000). Будем надеяться, что второе издание книги не заставит себя долго ждать.

60

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ.

К статье «Геометрия столковеней»

1. Кинематическая диаграмма столковеня приведена на рисунке 1. Треугольник $2C1'$ прямогоугольный и $tg\alpha = \frac{u_1}{u_2} = \frac{u_1}{u_2} = \frac{m_2}{m_1} = 3$. Из прямогоугольного равноведренного треугольника $2'2C$ найдем $v'_2 = \frac{u_2}{\cos\beta}$, и так как $u_2 = \frac{m_1}{m_1 + m_2} v_1$, то
   $$v'_2 = v_1 \frac{m_1}{m_1 + m_2} \cdot \frac{1}{\cos\beta} = v_1 \frac{\sqrt{2}}{4}.$$
   Из треугольника $2C1'$ найдем, что
   $$v'_1 = \frac{u_2}{\cos\alpha} = v_1 \frac{m_1}{m_1 + m_2} \sqrt{1 + tg^2\alpha} = v_1 \frac{\sqrt{10}}{4}.$$

2. Из диаграммы рассеяния части с одинаковыми массами (рис. 6 на стр. 23) найдем, что угол отдачи равен $30^\circ$, скорость $\alpha$-частицы после рассеяния $v'_\alpha = v_\alpha \cos 60^\circ = \frac{1}{2} v_\alpha$, а скорость ядра отдачи $v_\alpha = v_\alpha \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} v_\alpha$ ($v_\alpha$ — скорость $\alpha$-частицы до столковеня с ядром). Поэтому энергия $\alpha$-частицы после рассеяния

62

то хотя бы одно из чисел $n_1, n_2$ не больше, чем $\sqrt{N}$. Отсюда уже легко следует результат.

3. 6. $n^2+n+1=n(n+1)+1; n^2+n+1=(n-1)(n+2)+3$ (при $n=1$, остаток 0).
      b) $n^4+1=(n^3-3n^2+9n-27)(n+3)+82$.

4. При $n=-1, 0, 1, 2$. Воспользуйтесь тем, что
   $$\frac{n^2+1}{n-1}=n+1+\frac{2}{n-1}.$$

5. Из трех последовательных чисел одно обязательное делится на 3, а одно (или два) — на 2.

6. $a^2+b^3+c^3-(a+b+c)=a(a-1)(a+1)+b(b-1)(b+1)+c(c-1)(c+1)$.

7. Рассмотрим простые числа вида $p, p+d, p+2d, \dots, p+14d$. Легко доказать, что $d$ должно делиться на 2, 3, 5, 7, 11, 13 (если $d$ не делится, например, на 13, то средние чисел $p, p+d, \dots, p+14d$ найдется число, делящейся на 13), значит,
   $$d > 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 = 30000.$$

8. $n \equiv 1$ (mod 3).

9. $n \equiv 5$ (mod 7).

10. Рассуждайте так же, как в задаче 3.

11. Запишем число $a=\overline{a_n a_{n-1} a_{n-2} \dots a_0}$ ($a_0, a_1, \dots, a_n$ – цифры) в виде $a=a_2 a_1 a_0+1000 a_5 a_4 a_3+1000^2 a_8 a_7 a_6+ \dots$. Так как $1000 \equiv -1$ (mod 7) и $1000 \equiv 1$ (mod 37), то
    $$a \equiv \overline{a_2 a_1 a_0}-\overline{a_5 a_4 a_3}+\dots$$
    $$a \equiv \overline{a_2 a_1 a_0}+\overline{a_5 a_4 a_3}+\dots$$

12. Если число $5A$ и $A$ имеют одинаковую сумму цифр, то число $5A-A=4A$ делится на 9.

13. Пусть $15x^2-7y^2=9$, тогда $y \equiv 0$ (mod 3), значит, $x \equiv 0$ (mod 3); разделив на 9, получаем $15\left(\frac{x}{3}\right)^2-7\left(\frac{y}{3}\right)^2=1$, но равенство $15x^2-7y^2=1$ выполняется не может (убедитесь в этом).

14. Рассмотите сравнение
    $$n^2+3n+5 \equiv 0$$ (mod 11).

15. Рассмотите, какие остатки дают квадраты натуральных чисел при делении на 3, 5, 7.

16. Доказите, что в 9-арithmetic $x^3+y^3+z^3 \neq 5$ ни при каких $x, y, z$.

17. Если $ab$ делится на простое число $p$ и $a$ не делится на $p$, то $b$ делится на $p$, т. е. $b=0$.

18. Это остаток $m-a$. Ясно, что $a+(m-a)=0$.

Прибавляя $-a$ к обеим частям уравнения $a+x=b$, получаем $x=b+(-a)$.

21. Пусть $m=pq$, где $1<p<m$ и $1<q<m$. Тогда $pq=0$ в $m$-арithmetic.

22. Воспользуйтесь тем, что в 31-арithmetic $30=-1$; $29=-2; \dots; 16=-15$, а также тем, что для любого остатка $a$ и нечетного $n$ будет $(-a)^n=-a^n$.

К статье «О приемных экзаменах по математике в техническихузах в 1969 г.»

Вариант 1.

1. 10 м.
2. $\frac{6 \pm \sqrt{100-\pi^2}}{4}$.
3. $4 < x \leq 7; -3 \leq x < -1; -17 < x < -16$.
4. $\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$;
   $$\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{3\pi}{4} + \pi n.$$
5. $\frac{3}{2} h$.

Вариант 2.

1. 6 час., 9 час.
2. $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$.
3. $1 < x < 2^4; 2 < x < 2^4; 2^4 < x < 2^{15}$
4. $x = \pm \alpha + 2\pi n; \frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{3}$.
5. $\frac{7a \sqrt{3} \pi a^3}{576}$.

Вариант 3.

1. 5 час. 10 час; 13 час, 20 минут; 4 часа 26 минут 40 сек.

2. Решенный нет.

3. $\frac{1}{3} < x < 1; \frac{1}{3^7} < x < \frac{1}{3^{12}}$.

4. $2\pi n < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$;
   $$2\pi n - \frac{\pi}{3} < x < 2\pi n.$$

5. $\frac{4\sqrt{3} \pi a^3}{27 \sin^3 2\alpha}$.

Вариант 4.

1. 3 часа, 2 часа.
2. $x = \pi n \pm \frac{\pi}{3}$.
3. $\frac{5}{2} < x < 3; x > 4$.
4. $\frac{\pi}{3} + 4\pi k < x < 3\pi + 4\pi k$.

63

5. $a^2 \sin \alpha \left[ 1 + \frac{1}{\cos \beta} \right]$.

К статье
«Кто-то теряет, кто-то находит…»

1. $x = 13$.

2. $x = 2$.

3. $x = -1$.

4. $x = 9$.

5. $x = 1$.

6. Решений нет.

7. $x = \frac{\pi n}{3}$.

8. $x = \arctg 2 + \pi n; \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

К статье
«Телевизор — ваш помогник при подготовке вруч»

Контрольная работа №1

1. $\frac{1}{1 - 3x}$, если $x \leqslant 0; \quad \frac{x + 1}{3x^2 - 4x + 1}$, если $0 < x < 1 \left( x \neq \frac{1}{3} \right); \quad \frac{1}{x - 1}$, если $x > 1$.

2. $\sqrt{2}$. 3. $-(\sqrt{3} a + 1)$. 4. $m$, если $\frac{a}{m^2 - 2a^2} > 0$, и $(-m)$, если $\frac{a}{m^2 - 2a^2} < 0$.

3. $S_7 = b_5 - b_1 = 560$.

Контрольная работа №2

1. $-2; 3; \frac{1}{2}; \frac{2}{3}$. 2. $3 \pm \sqrt{2}, 3 \pm 3 \sqrt{2}$.

2. $\begin{cases} x = 3 \\ y = 5 \end{cases} \begin{cases} x = 5 \\ y = 3 \end{cases}$

3. 90 руб., 135 руб., 5. 60 км/час.

Контрольная работа №3

1. $x_1 = 1; x_2 = -\frac{1}{3}$. 2. $x_{1,2} = \pm 1$.

2. $x_1 = 1; x_2 = -6$. 4. $8 \mathrm{dm}, 25 \mathrm{dm}, 15 \mathrm{dm}$.

3. $\frac{R^2}{4} (8 \sqrt{3} - 9)$.

К задаче
«Календарь из кубиков»
(«Квант» №3)

Задача содержит две (не очень хитрыые) ловушки.

Легко понять, что на обихх кубиках должны быть цифры 1 и 2, поскольку есть числа 11 и 22. Надо также, чтобы на обихх кубиках было число 0, так как иначе нельзя составить все числа от 01 до 09 (нельзя же все числа от 1 до 9 разместить на одном и том же кубике: у него только шесть граней).

Написав на гранях каждого кубика цифры 0, 1, 2, мы оставляем свободными 6 граней, на которых надо разместить 7 цифр: от 3 до 9. Это можно сделать, так как цифра 9 получается переворочанием из цифры 6.

Прежде чем сосчитать, сколько разместить цифры на двух кубиках, уточним, какие два «календаря» (две пары кубиков) мы будем считать различными. Во-первых, будем считать, что кубики, на которых мы пишем цифры, совершенно одинаковые, и мы их не различаем; во-вторых, мы разумется, считаем одинаковыми кубики, из которых один получается из другого поворотом в пространстве; и, наконец, мы не будем учитывать, как написана на грани цифра — где у нее верх, где низ и т. п., нас интересует только, какая цифра написана.

Поставим оба кубика на стол нулями. Пусть на одном кубике есть цифры 0, 1, 2, 3. На две пустые грани надо поместить две цифры из оставшихся пяты (4, 5, 6, 7, 8). Это можно сделать $C_5^2 = 10$ способами. Оставляя нуль на месте (внизу), пяты цифр можно разместить 5!=120 способами. Один из них можно свести к другим, поворачивая кубик в порядке в вертикальной оси. Различных способов составятся в четырьме раза меньше. Итак, общее число способов расстановки цифр для первого кубика будет $\frac{10 \cdot 5!}{4} = 300$. На втором кубике можно расставить остальные числа $\frac{5!}{4} = 30$ способами. Таким образом, полное число способов будет $300 \times 30 = 9000$.

Решение «шифровки», помещенной в №4 «Кванта»

Здесть каждая буква защищена буквой. Знаки препиниания и пропуски между словами оставлены на местах.

Запишем по кругу по (или против) часовой стрелке буквы русского алфавита в порядке их очередности (буквы И и Е пропускаются). Точно так же запишем по кругу 15 первых простых чисел.

Телер можно приступить непосредственно к расшифровке.

Возьем первую букву шифровки — К. Ей ответает первое число на «числовой» окружности — 2. Нужно отсчитать от К на «буквеной» окружности против (соответственно по ) часовой стрелки (e) вторую букву. Это — буква 3. Первая буква расшифрована.

Второй букве шифровки Р ответает третья буква, отсчитанная на буквеной окружности от P против часовой стрелки. Это — буква H. Третья буква Е шифровки таким же образом (отсутствот не на 5 букв) перейдет в А и т. д.

Окончательное получим:

«Знание — только тогда знание, когда оно прибретено усилиями своей мысли, а не одной памяти».