Задачи

51

разом, деление обих частей уравнения на одну и ту же функцию может привести к потере корней (а именно, корней функций-делителя).

ВМЕСТО ЗАКЛЮЧЕНИЯ

Каким же общим правилом руководствается при решении уравнения? Только одиним: решение всякого уравнения проводить сознательно, не механически, не обходить винманем ни один комнительный переход, где возможно появление построенных корней или потере корней. Перед началом решения уравнения полезно выписать все ограничения, определяющие ОД3 (их даже не обязательно разрешать относительно неизвестного); например, при решении уравнения (3) достаточно было выписать условия: $x^2 + 3x - 4 > 0$ и $2x + 2 > 0$; при проверке сразу видно, что один из найdenных корней $x_2 = -3$ не удовлетворяет условияю $2x + 2 > 0$. Если прихождения делать переходы, при которых могут появиться построенные корни, то в конце необходимо сделать проверку, которая в этом случае является частью решения задачи, а не просто дополнительным контролем. Иногда в процессе решения удобно разбить множество значений переменной на две или несколько частей и на каждой из них исследовать уравнение отдельно; например, уравнение (14) при $60 - 3x < 0$ завершено не имеет решений, а при $60 - 3x \ge 0$ возведение обих частей в квадрат не приведет к появлению новых корней, так как обе части уравнения неотрицательны (посторонний корень $x_2 = 362$ отсеивает автоматически, как не удовлетворяющий условияю $60 - 3x \ge 0$).

Решение каждого уравнения должно выглядеть как доказательство теоремы о том, что данному уравнению удовлетворяют те и только те числа, которые написаны в ответе; а также «борьбы» с построенными корнями и с потере корней при преобразовании должны быть гибкой.

Упражнения

Решить следующие уравнения:

1. $\frac{x}{2x-1} + \frac{25}{4x^2-1} = \frac{1}{27} - \frac{13}{1-2x}$.
2. $\frac{x^2 - 3x + 2}{x} \left( \frac{x}{3^2 - 1} - 1 \right) = 0$.
3. $\sqrt{x+1} = 1 - \sqrt{2x+3}$.
4. $\sqrt{(x+16)(x-5)} + \sqrt{x^2 - 5x} + \sqrt{x^2 - 5x} + x = 40$.
5. $\log_{5x-2} 2 + 2 \log_{5x-2} x = \log_{5x-2} (x+1)$.
6. $\frac{\lg 2 + \lg (4 - 5x - 6x^2)}{\lg \sqrt{2x-1}} = 3$.
7. $tg x + tg 2x = tg 3x$.
8. $3 tg 2x + 2 ctg x + 3 = 0$.

ЗАДАЧИ

1. Агент по переписи населеня постучал в дверь одного дома и спросил у открывшего ему дверь человека, живет ли кто-нибудь, кроме него, в этом доме. Человек ответил: «Да, здесь есть еще трое живцов различных возрастов. Сумма их возрастов равна номеру этого дома (который агент по переписи знаел), а произведение их возрастов равно 1296». После некоторых вычислений агент задал еще один вопрос и удалился. Он установил возрасты. Какой номер у этого дома?

2. При бегуна $A, B$, и $C$ участвуют в беге на 100 метров. Когда $A$ финишировал, $B$ находился в 10 метрах позади него, а когда финишировал $B$, то $C$ находился в 10 метрах задан него. На каком расстоянии находился $C$ от $A$, когда финишировал $A$? Предполагается, что каждый бежит с постоянной скоростью.

3. Определите число $A$ по двум операциям деления, где каждая звездочка представляется собой цифру от 0 до 9.

4. Четыре лжea $A, B, C$ и $D$ говорят правду лишь один раз из трех случав. $A$ сказал, что $B$ отрицает, что $C$ утверждает, что $D$ согласал. Какова вероятность, что $D$ сказал правду? Показите, что эта вероятность равна вероятности, что $A, B, C$ каждый в отдельности сказали правду.