О приёмных экзаменах по математике в технических вузах в 1969 г.

45

О ПРИЕМНЫХ
ЭКЗАМЕНАХ
ПО MATEMATИКЕ
В ТЕХНИЧЕСКИХ
ВУЗАХ В 1969 г.
В. А. ТОНЯН

ЭКЗАМЕНЫ В МИЭМ

В этой статьмы рассакжем о вступительных экзаменах по математике в Московский институт электронного машиностроения (МИЭМ).

Как и в большинстве техническихузов, поступающие сдают два экзамена по математике: письменный и устный. На письменную работу отводится 4 часа (4×60 минут).

Отметим, что все предлагаемые вопросы и задачи не выходят за рамки утвержденной программы для вступительных экзаменов.

Ниже мы приведим задачи, взятые из различных вариантов письменных экзаменов, предлагавшихся в 1969 г., с указанием наиболее типичных ошибок, допущенных абитурентами.

Вариант 0

1. Мотошиклист и величиспедист отправляя одновременно настречу друг другу из пунктов A и B и встречаются на расстоянии 12 км от середины AB. Скорость мотошиклиста на 32 км/час больше скорости величиспедиста. Если бы мотошиклист выехал на час позже, то они встречались бы на середине пути. Найти расстояние AB.

2. Решить уравнение
   $$x = a - \sqrt{a^2 - x \sqrt{x^2 + a^2}}.$$

3. Решить неравенство
   $$\log_{\sqrt{3}} \frac{\sqrt{27}}{\arctg x} \cdot \log_{\sqrt{3}} \arctg x > 2.$$

4. Решить уравнение
   $$\sin \sqrt{4 + 3x - x^2} + \cos \sqrt{4 + 3x - x^2} = \sqrt{2}.$$

5. Центры двух окружностей, радиусы которых R и r, лежат на гипотенузе прямогоугольного треугольника. Одна окружность касается двух катетов, другая касается катета и первой окружности. Найти стороны треугольника.

Приведем решение этих задач.

1. Обозначим скорость величиспедиста через x, а величиспедист AB через 2S; тогда скорость мотошиклиста будет x+32. Если время, затраченное величиспедистом до встречи, равно t, то из условия задачи получим
   $$xt = S - 12,$$
   $$(x + 32)t = S + 12.$$

Если бы动机иклист выехал на час позже, он затранил бы до встречи $t_1$ часов, в то время как动机иклист — $(t_1-1)$ часов и потому
$$(x + 32)t_1 = S,$$
$$x(t_1+1) = S.$$

Решая эту систему, получим $S=48$ км.

Эта задача оказылась нетрудной для поступающих. Ее решило подавляющее число абитриентов. Однако многое получили громоздкие системы уравнения из-за неудачного выбора обозначений.

2. Возведя обе части данного уравнения в квадрат, получаем
   $$x^2 - 2ax = -x \sqrt{x^2 + a^2}$$
   или
   $$x(2a - x - \sqrt{x^2 + a^2}) = 0.$$

Отсюда
$$x_1 = 0$$ и $2a - x = \sqrt{x^2 + a^2}$.

Снова возведя в квадрат, получаем $3a^2 = 4ax$ или $a(3a-4x)=0$. Теперь, если a=0,

46

то $x_2 - \text{любое число},$ если $a \neq 0$, то
$$x_2 = \frac{3}{4} a.$$

При выполнении преобразования (возведение в квадрат) мы могли нарушить равносильность, поэтому найденные корни $x_1, x_2, x_3$ необходимо проверить.

1. $x_1 = 0$. Подставляем значение $x_1$ в исходное уравнение. Тогда левая часть равна 0, а правая часть:
   $$a - \sqrt{a^2} = a - |a| = \begin{cases} 0 & \text{при } a \geq 0, \\ 2a & \text{при } a < 0. \end{cases}$$

2. Если $a = 0$, то левая часть уравнения равна $x$, а правая часть:
   $$- \sqrt{-x \sqrt{x^2}} = -\sqrt{-x |x|} = \begin{cases} -\sqrt{-x^2} & \text{при } x > 0, \\ -\sqrt{x^2} & \text{при } x \leq 0. \end{cases}$$

3. Подставляя значение $x_3 = \frac{3}{4} a$, получим, что левая часть равна $\frac{3}{4} a$, а правая часть:
   $$a - \sqrt{a^2 - \frac{3}{4} a \sqrt{\frac{9}{16} a^2 + a^2}} = \begin{cases} a - \sqrt{\frac{a^2}{16}} = \frac{3}{4} a & \text{при } a > 0, \\ a - \sqrt{\frac{31 a^2}{16}} + a + \frac{a \sqrt{31}}{4} & \text{при } a < 0. \end{cases}$$

Ответ. Если $a > 0$, то $x_1 = 0$, $x_3 = \frac{3}{4} a$; если $a = 0$, то $x \leq 0$.

Нанболее типичная ошибка, которую допускали поступающие при решении этого уравнения, это отсутствие проверки найденных значений $x_1, x_2, x_3$. При решении этого уравнения приведенным выше методом проверка является составной частью решения задачи.

3. Обозначив $\log \sqrt{3}$ arcctg $x = t$, получим $t^2 - 3t + 2 < 0$, откуда $1 < t < 2$.
   Возвращаясь к переменному $x$, можно написать
   $$\sqrt{3} < \text{arcctg} x < 3$$
   откуда получаем ответ: $\text{arcctg} 3 < x < \text{arcctg} \sqrt{3}$.

4. Требование $4 + 3x - x^2 \geq 0$ дает нам $-1 \leq x \leq 4$.

Теперь, применяя формулы сложения к левой части, получаем
$$\sqrt{2} \sin \left(\sqrt{4 + 3x - x^2} + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2},$$
откуда
$$\sqrt{4 + 3x - x^2} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$
Значит, необходимо $n \geq 0$.

Решая это irrationalное уравнение, получаем
$$x = \frac{3 \pm \sqrt{25 - 4 \left(2\pi n + \frac{\pi}{4}\right)^2}}{2};$$
отсюда
$$\left(2n\pi + \frac{\pi}{4}\right)^2 = \frac{25}{4}.$$
Следовательно, $n = 0$ и $x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{100 - \pi^2}}{4}$.

Проверкой легко убеждаемся, что оба эти значения являются корнями уравнения.

В решении этого уравнения много получили равенство (1), но только часть построionalных исследований этого формулу и оставила решение, соответствующую $n = 0$.

5. Пусть $ABC$ – данный треугольник, $\rightarrow ACB$ прямой, $O$ и $O_1$ – центры окружностей радиусов $R$ и $r$; $D$ и $E$ – точки касания окружностей катета $CA$. Проведем $EF \parallel AB$ и обозначим $\rightarrow BAC = \alpha$. Тогда из $\triangle FDE$ имеем
   $$\sin \alpha = \frac{R - r}{R + r}.$$

Заметив, что $CD = R$ и обозначив $AC = b$, получим из $\triangle ODA$
$$\text{tg} \alpha = \frac{R}{b - R}.$$

Из (1) и (2) можно написать
$$1 + \left(\frac{R}{b - R}\right)^2 = \left(\frac{R + r}{R - r}\right)^2,$$
откуда, решая относительно $b$, получим
$$b = R \left[1 + \frac{2\sqrt{Rr}}{R - r}\right].$$

47

---

running_head:
folio:

Теперь можно найти другой катет и гипотенузу. (Соответствие вычисления предлагаем проверсти самостояльно.)

В заключение приведем отдельные варианты письменной работы, предлагаемые на вступительных экзаменах в 1969 г.

Вариант 1

1. Два туриста вышли одновременно из города в одном направлении. Первая турист каждый kilometer пути проходит на 20 минут быстрее второго. Пройдя часть пути, первый турист повернул обратно, и, пройдя после этого 1 км, пошел в прежнем направлении. Когда первый турист догнал второго, второй находился в пути 1/2 часа. За сколько минут проходит первый турист 1 км?

2. Решить уравнение

$$\sin \sqrt{4 + 3x - x^2} + \cos \sqrt{4 + 3x - x^2} = \sqrt{2}.$$

3. Решить неравенство

$$\frac{\log_2(x^2 - 3x - 4)}{\log_2(x + 17)} \leq 1.$$

4. Решить неравенство

$$\sin^2 2x (\text{ctg} x - \text{tg} x) > 2 \cos 2x.$$

5. Боковые ребра треугольной парамиды взаимно перpendикулярны. Высота парамиды равна $h$. Найти радиус сферы, описанной около парамиды.

Вариант 2

1. Двум землепопам было поручено вырыть канawy за 3 часа 36 минут. Однако первый приступил к работе тогда, когда второй уже вырыл половину и перестал копать. В результате канawy была вырыта за 7,5 часа. За сколько часов каждый землепоп может вырыть канawy?

2. Решить уравнение

$$\sqrt{3 + 2 \text{tg} x - \text{tg}^2 x} = \frac{1 + 3 \text{tg} x}{2}.$$

3. Решить неравенство

$$\log_{\log_2} x \left( \log_2^2 x - \frac{7}{2} \log_2 x + \frac{45}{16} \right) < 1.$$

4. Решить неравенство

\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \cos^2 x}{4 \sin^2 x - 3} < 0.

5. Найти объем правильно усеченной треугольной парамиды, если сторона ее больше основания равна $a$, двугранный угол, образованный боковой грани и плоскостью основания, равен $\pi/6$, а высота парамиды равна $a/12$.

Вариант 3

1. Два самосвала должны перевести груз за 3 часа 20 минут, но второй опоздал и прибил на место погрузки, когда первый уже перевед 2/5 всего груза. После этого оставшийся груз перевозил только второй самосвал. Перевозка всего груза заняла 8 часов. За сколько часов каждый самосвал в отдельности может перевести весь груз?

2. Решить уравнение

$$\sqrt{\cos(\cos x)} = 1 - 2 \cos(\cos x).$$

3. Решить неравенство

$$\log_{\frac{1}{3}} x \left( \log_2^2 x - 19 \log_{\frac{1}{3}} x + 84 \right) < 1.$$

4. Решить неравенство

\frac{\sqrt{3}}{2} (\cos x - 1) + \sin^2 x}{4 \sin^2 x - 3} < 0.

5. Около правильно треугольной парамиды со стороны основания $a$ и углом наклона бокового ребра к плоскости основания $\alpha$ описан шар. Найти его объем.

Вариант 4

1. Два величины выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов $A$ и $B$ и встретились через 1,2 часа. За сколько часов проехал расстояние $AB$ каждый из них, если первый приехал в $B$ на один час позже, чем второй в $A$.

2. Решить уравнение

$$|\cos 2x| = \left| \sin^2 x - \frac{1}{4} \right|.$$

3. Решить неравенство

$$\log_{\frac{1}{2}} \frac{x^2 - 3x + 2}{4x - 10} < 0.$$

4. Решить неравенство

$$\frac{1 + \sin \frac{x}{2} - \sqrt{3} \cos \frac{x}{2}}{4 + 4 \sin x + 2 \cos x + \sin 2x} > 0.$$

5. В основании четырехугольной парамиды лежит ромб со сторонам $a$ и острым углом $\alpha$. Все боковые грани наклоны к плоскости основания под углом $\beta$. Найти полную поверхность парамиды.