Кто-то теряет, кто-то находит

48

Как мы решаем уравнение! Исходя из данного уравнения, пишем подряд одно, другое, третье, … — цепочку уравнения, в котором каждое получается из предыдущего преобразования одной или сразу обеих частей, и так до тех пор, пока не получим совсем простое уравнение, решения которого мы уже умем находить. Если при этом все переходы от данного уравнения к следующему «обратимы», т. е. мы видим, что преобразование четвертого уравнения можно получить третье, из третьего — второе, и т. д., то ясно, что последнее процесс уравнения имеет те же корни, что и исходное. Но часто встречаются такие уравнения с радиkalами, логарифмами, тригонометрическими функциями, при решении которых приходит прибегать к довольно сложным преобразованиям, так что при этом «обратный переход» не оченьiden. Если, решая такие уравнения, делать преобразования формулно, не вникая в их смысл, то легко вставить в ошибку: потерять корень или прибрежти лишний. О том, как это бывают и как избежать подобных неприятностей, рассказывается в этой статье.

1. НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.

Пусть данные числовых множества $X$ и $Y$. Запись $X \subset Y$ означает, что каждый элемент множества $X$ является в то же время элементом множества $Y$, а в $Y$ могут быть элементы, не принадлежащие множеству $X$. Запись $x \in X$ (соответственно $x \in X$) означает, что элемент $x$ принадлежит (не принадлежит) множеству $X$.

Условия далее вместе фразы «множество $X$ состоит из всех действительных чисел $x$» используются также обозначение: $X = \{x| -\infty < x < \infty\}$. Аналогично, запись $X = \{x|x \ge 3\}$ означает, что множество $X$ состоит из всех таких чисел $x$, которые удовлетворяют неравенству $x \ge 3$, а запись $X = \{x|x \neq \pi\}$ означает, что множеству $X$ принадлежит все действительные числа, за исключением $x = \pi n^*$).

И, наконец, условия область допустимых значений ОДЗ (напомним, что область

*) Всюду в дальнейшем предполагается, что $n, k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots$

49

Допустимых значений уравнения $f(x)=g(x)$ называется множество тех $x$, при которых функция $f(x)$ и $g(x)$ определяны) заданного уравнения обозначать буквой $X$, а ОДЗ уравнения, полученного из исходного в результате неокоторого преобразования, — буквой $Y$.

2. ОТКУДА БЕРУТСЯ ПОСТОРОННИЕ КОРНИ?

Причина первая — расширение ОДЗ. При решении уравнения постоянно применяется самые различные преобразования. Довольно часто при этом служается так, что ОДЗ уравнения, полученного из исходного в результате неокоторого преобразования, оказывается шире, чем ОДЗ исходного уравнения (фраза «более широкая ОДЗ» означает $X \subset Y$). Расширение ОДЗ может привести к появлению постоянных корней. Дело в том, что полученное уравнение может иметь такие корни, которые, будучи элементами множества $Y$, не принадлежат множеству $X$. Они-то и будут постоянными для исходного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение
$$\frac{2}{2-x} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2x-x^2}.$$
Решение. Запишем прежде всего ОДЗ уравнения (1): $X=\{x|x \neq 0;2\}$. Приведя к общему знаменателю, получим
$$4x+2x-x^2=8.$$

Уравнение (2) имеет уже другую ОДЗ: $Y=\{x|-\infty < x < \infty\}$. Решая уравнение (2), получим два корня: $x_1=4$, $x_2=2$, причем $x_1 \in X$, тогда как $x_2 \in X$, и поэтому $x_2$ является постоянным корнем для уравнения (1). Таким образом, уравнение (1) имеет единственный корень $x=4$.

Пример 2. Решить уравнение
$$\lg (x^2+3x-4) = \lg (2x+2).$$
Решение. Решив систему неравенств
$$\begin{cases} x^2+3x-4 > 0, \\ 2x+2 > 0, \end{cases}$$
находим ОДЗ уравнения (3): $X=\{x|x > 1\}$. Потенцируя, преобразуем уравнение (3) в уравнение
$$x^2+3x-4=2x+2$$
с более широкой ОДЗ: $Y=\{x|-\infty < x < \infty\}$. Уравнение (4) имеет два корня: $x_1=2$, $x_2=-3$, причем $x_1 \in X$, а $x_2 \in X$. Значит, $x_2$ является постоянным корнем для уравнения (3) и, следовательно, уравнение (3) имеет единственный корень $x=2$.

К рассширению ОДЗ иногда приводит применение неокоторых формул, известных из курса средней шкoles. Это формулы, связанные с различными свойствами логарифмов, радиkalов четной степени, а также неокото-

$$\log_a f(x) + \log_a g(x) = \log_a [f(x) \cdot g(x)],$$
$$\frac{1-\cos x}{\sin x} = \tg \frac{x}{2}.$$

Нетрудно видеть, что функция, содержащая в правых частях этих равенств, имеет более широкую область определения, чем функция, содержащая в левых частях.

Так, область определения функции $\log_a f(x)+\log_a g(x)$ определяется системой неравенств
$$\begin{cases} f(x) > 0, \\ g(x) > 0, \end{cases}$$
тогда как область определения функции $\log_a [f(x) \cdot g(x)]$ состоит из решений системы (7) и решений еще одной системы неравенств
$$\begin{cases} f(x) < 0, \\ g(x) < 0. \end{cases}$$

Области определения функции $\frac{1-\cos x}{\sin x}$ такова: $X=\{x|x \neq \pi n\}$. Функция же $tg \frac{x}{2}$ имеет более широкую область определения: $X=\{x|x \neq \pi(2k+1)\}$. Поэтому применение при решении уравнения формул (5), (6) и им подобных «слева направо» может привести к появлению постоянных корней.

Пример 3. Решить уравнение
$$\frac{1-\cos x}{\sin x} + \tg^3 \frac{x}{2} = 0.$$

Решение. Запишем ОДЗ уравнения (8): $X=\{x|x \neq \pi n\}$. Применя формулу (6), получим уравнение
$$tg \frac{x}{2} + \tg^3 \frac{x}{2} = 0$$

с более широкой ОДЗ: $Y=\{x|x \neq \pi(2k+1)\}$. Решениями уравнения (9) служат значения $x=2\pi n$. Все эти значения не входят в ОДЗ уравнения (8), а потому являются постоянными корнями. Таким образом, уравнение (8) не имеет решений.

Причина вторя — умиожение обеих частей уравнения на одну и ту же функцию. Пусть дану уравнение
$$f(x)=g(x).$$
Умножим обе части на функцию $h(x)$. Поучим уравнение
$$f(x)\cdot h(x)=g(x)\cdot h(x),$$
корнями которого служат как корни уравнения (10), так и корни уравнения $h(x)=0$ (или, как еще говорят, корни функции $h(x)$. Средние этих последних могут оказаться также корни, которые не удовлетворяют уравне-

50

(10), то есть является для него построением (кстати, в примере 1 обе части уравнения (1) были умножены на одну и ту же функцию $2x(2-x)$. В результате появился построенный корень $x=2$, но мы обязаны его появление расширенем ОДЗ).

Пример 4. Решить уравнение

$$x = (\sqrt{1+x} + 1)(\sqrt{10+x} - 4).$$

Решение. Запишем ОДЗ уравнения (12): $X = \{x|x \geq -1\}$. Умножим обе части уравнения на функцию $h(x) = \sqrt{1+x} - 1$. После преобразования получим уравнение $x(\sqrt{1+x} - \sqrt{10+x} + 3) = 0$, имеющее 2 корня: $x_1 = 0$, $x_2 = -1$ (заметим, что расширенная ОДЗ не произойдет). Оба корня принадлежат множеству $X$, тем не менее проверка убедает нас в том, что $x_1 = 0$ — построенный корень (нетрудно видеть, что $x = 0$ — корень функции $h(x)$). Таким образом, уравнение (12) имеет единственный корень $x = -1$.

Причина третья — возведение обеих частей уравнения в центральном Рассмотрим уравнение (10). Возведем обе части этого уравнения в квадрат. Получим уравнение $[f(x)]^2 = [g(x)]^2$, корнями которого служат как корни уравнения (10), так и корни «постороннего» уравнения $f(x) = -g(x)$. Средние этих последних могут оказаться также корни, которые не удовлетворяют исходному уравнению (10). Они-то и будут построенными для уравнения (10).

Пример 5. Решить уравнение

$$\sqrt{2x+5} + \sqrt{x-1} = 8.$$

Решение. Запишем ОДЗ уравнения (13): $X = \{x|x \geq 1\}$. Возведем обе части уравнения в квадрат. После преобразования получим

$$2\sqrt{2x^2 + 3x} - 5 = 60 - 3x$$

и далее

$$4(2x^2 + 3x - 5) = (60 - 3x)^2,$$

откуда $x_1 = 10$, $x_2 = 362$. Следовательно найденных решений, заменаем, что лишь $x_1 = 10$ удовлетворяет уравнению (13), тогда как $x_2 = 362$ — построенный корень (хотя и принадлежит ОДЗ уравнения (10). Посторонний корень появился в результате возведения в квадрат обеих частей уравнения (14).

3. ЧТО ПРИВОДИТ К ПОТЕРЕ КОРНЕЙ?

Причина первая — сужение ОДЗ. Встречаются и такие преобразования, которые приводят к уравнению с более узкой ОДЗ. Сужение ОДЗ может привести к потере корней, а именно, могут «потерять» такие корни исходного уравнения, которые принадлежали множеству $X$, но не принадлежат «более узком» множеству $Y$, $(Y \subset X)$.

Пример 6. Решить уравнение

$$\text{tg} \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = 2 \text{ctg} x - 1.$$

Решение. Преобразуем уравнение (12) к виду

$$\frac{\text{tg} x + \text{tg} \frac{\pi}{4}}{1 - \text{tg} x \cdot \text{tg} \frac{\pi}{4}} = \frac{2}{\text{tg} x} - 1.$$

Положив $y = \text{tg} x$, приdem к алгебраическому уравнению относительно $y$, решив которое, получим $y = \frac{1}{2}$, то есть $x = \text{arctg} \frac{1}{2} + \pi k$.

Но проверка убедает нас в том, что значения $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ также удовлетворяют уравнению (15). Когда же мы успели потерять эти корни? Сравним ОДЗ уравнения (14) и (15). Х состоит из всех значений $x$, за исключением тех, при которых $ctg x$ и $\text{tg} \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$ не существует. Значит,

$$X = \left\{ x \mid x \neq \pi n, x \neq \frac{\pi}{4} + \pi n \right\}.$$

ОДЗ уравнения (16) — $Y$ — состоит из всех значений $x$, за исключением тех, при которых $ctg x = 0$, $\text{tg} x = 1$ и $\text{tg} x$ не существует. Значит,

$$Y = \left\{ x \mid x \neq \pi n, x \neq \frac{\pi}{4} + \pi n \right\}.$$

Отсюда следует, что $Y \subset X$, то есть ОДЗ уравнения (16) уже, чем ОДЗ уравнения (15). Значения $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ принадлежат множеству $X$, но не принадлежат множеству корнями исходного уравнения.

Теперь возникает один важный вопрос: что приведо к сужению ОДЗ? Анализ решения примера 6 показывает, что к сужению ОДЗ приведо использовать формулы тангенса суммы, в нашем примере формула принадлежали множеству $X$, но не принадлежат «более узком» множеству $Y$, $(Y \subset X)$.

Причина вторя — деление обеих частей уравнения на одну и ту же функцию. Пусть $x_1$ — корень уравнения (11), но совсем не обязаельно удовлетворяет уравнению (10). Таким образом,

51

разом, деление обих частей уравнения на одну и ту же функцию может привести к потере корней (а именно, корней функций-делителя).

ВМЕСТО ЗАКЛЮЧЕНИЯ

Каким же общим правилом руководствается при решении уравнения? Только одиним: решение всякого уравнения проводить сознательно, не механически, не обходить винманем ни один комнительный переход, где возможно появление построенных корней или потере корней. Перед началом решения уравнения полезно выписать все ограничения, определяющие ОД3 (их даже не обязательно разрешать относительно неизвестного); например, при решении уравнения (3) достаточно было выписать условия: $x^2 + 3x - 4 > 0$ и $2x + 2 > 0$; при проверке сразу видно, что один из найdenных корней $x_2 = -3$ не удовлетворяет условияю $2x + 2 > 0$. Если прихождения делать переходы, при которых могут появиться построенные корни, то в конце необходимо сделать проверку, которая в этом случае является частью решения задачи, а не просто дополнительным контролем. Иногда в процессе решения удобно разбить множество значений переменной на две или несколько частей и на каждой из них исследовать уравнение отдельно; например, уравнение (14) при $60 - 3x < 0$ завершено не имеет решений, а при $60 - 3x \ge 0$ возведение обих частей в квадрат не приведет к появлению новых корней, так как обе части уравнения неотрицательны (посторонний корень $x_2 = 362$ отсеивает автоматически, как не удовлетворяющий условияю $60 - 3x \ge 0$).

Решение каждого уравнения должно выглядеть как доказательство теоремы о том, что данному уравнению удовлетворяют те и только те числа, которые написаны в ответе; а также «борьбы» с построенными корнями и с потере корней при преобразовании должны быть гибкой.

Упражнения

Решить следующие уравнения:

1. $\frac{x}{2x-1} + \frac{25}{4x^2-1} = \frac{1}{27} - \frac{13}{1-2x}$.
2. $\frac{x^2 - 3x + 2}{x} \left( \frac{x}{3^2 - 1} - 1 \right) = 0$.
3. $\sqrt{x+1} = 1 - \sqrt{2x+3}$.
4. $\sqrt{(x+16)(x-5)} + \sqrt{x^2 - 5x} + \sqrt{x^2 - 5x} + x = 40$.
5. $\log_{5x-2} 2 + 2 \log_{5x-2} x = \log_{5x-2} (x+1)$.
6. $\frac{\lg 2 + \lg (4 - 5x - 6x^2)}{\lg \sqrt{2x-1}} = 3$.
7. $tg x + tg 2x = tg 3x$.
8. $3 tg 2x + 2 ctg x + 3 = 0$.