Графики движения

39

Механическое движение очень удобно изобразать на графиках. Простота и наглядность их позволяют сразу оценивать характер движения на различных его этапах и решать некоторые задачи, не прибегая к расчетам.

На вступительных экзаменах вузы графики часто используются дополнительных вопросах. Поэтому нужно хорошо понимать графики и уметь их анализировать.

График скорости

Рассмотрим сначала прямолинейное движение. Прямую, по которой движется тело, применяем за координатную ось $x$. На ней выберем начальную точку $O$ и будем определить положение тела координатой $x$, отсчитываем от этой нулевой точки в одну сторону со знаком плоскости, а в другую — со знаком минус. Если направление движения совпадает с положительным направлением оси $x$, скорость тела считают положительным, в противном случае — отрицательной (рис. 1).

Проведем оси координат и будем откладывать по одной из них время $t$, а по второй — скорость $V$ (рис. 2). Любая линия в этих координатах выразит графические зависимости скорости от времени. Что можно узнать из такого графика?

Примая $I$, параллельная оси $t$,

40

характеристиет движение с постоянной скоростью $V_0$. То, что скорость положительная, означает, что направление движения совпадает с положительным направлением оси $x$. Путь, пройденный телом с момента $t_1$ до момента $t_2$, равен по величины площади верхнего прямогольника: $S = V_0(t_2 - t_1)$.

Примая $II$ на рисунке 2 тоже соответствует равномерному движению, но только в противоположном направлении (скорость отрицательна). Путь, пройденный этим телом за время $(t_2 - t_1)$, — положительное число, равное по величины площади нижнего прямогольника: $S_1 = V_1(t_2 - t_1)$.

По графику можно узнать и изменение координаты тела $\Delta x = x_2 - x_1 = V(t_2 - t_1)$. В обих случаях оно по абсцилотной величины равно площади фигуры под графиком ($S$ или $S_1$), но в первом случае оно положительное, а во втором — отрицательно, так как во втором случае $x_2 < x_1$ и $V_1 < 0$ (рис. 3).

При равноускоренном движении график скорости тоже прямая, только идушая под некоторым углом к оси времени $t: V = V_0 + c t$ (рис. 4). Здесь $V_0$ — скорость тела при $t = 0$. Тангенс угла наклона прямой $I$ к оси $t$ равен по величиныускорению

$$a = \frac{\Delta V}{\Delta t} = tg \alpha.$$

Чем круге поднимается прямая, тем большеускорение.

Движение, которое соответствует прямой $II$ на рисунке 4, — движение с отрицательнымускорением. Можно ли сказать, что это «замедленное» движения? Можно, но только до момента $t_2$, пока скорость иускорение имели разные знаки, то есть были направлены в противоположные стороны. При $t > t_2$ абсцилотная величина скорости растет, так как направления скорости иускорения совпадают: они оба отрицательны.

Подобным движением является, например, полет брошенного вверх камня: скорость его вначале уменьшается, затем достигает нуля и, наконец, изменив направление, возвращает. Ускорение при этом постоянно и равно минус $g$ (сопротивлением воздуха пренебрегаем).

Путь, пройденный телом с момента $t = 0$ до момента $t = t_1$, равен по величины площади трапеции $A$, а путь, пройденный с момента $t_1$ до момента $t_3$, — сумме площадей треугольников $B$ и $C$. Изменение координаты тела за время $t_3 - t_1$ равно разности площадей этих треугольников, так как тело вначале двигалось в одну сторону ($V > 0$), а затем — в другую ($V < 0$).

Еслиускорение тела не постоянно, то график скорости изображает-

41

ся кривой (рис. 5). Ускорение в любой момент времени $t_0$ можно найти, определяв тангенс угла наклона касательной к графику в точке с абсциссой $t_0$.

В этом лекто убедиться, заменив отрезок кривой маленьким прямойным отрезком. $tg \beta$ равен среднему ускорению $a_{cp} = \frac{\Delta V}{\Delta t}$ за время $\Delta t$. При $\Delta t \to 0$ отрезок стремится к касательной к графику скорости, а среднее ускорение за время $\Delta t$ — к мгновенному ускорению в момент $t = t_0$, то есть к величины $a = tg\alpha$.

По кривой на рисунке 5 лекто определять, что ускорение вначале увеличивается (тангенс угла наклона касательных расет), затем уменьшается, проходит через нуль (горизонтальный участок) и становится отрицательным.

Мы видим, таким образом, что график скорости позволяет получить общий характер движения, найти проиденный путь и изменение координаты, узнать скорость и ускорение для любого момента времени, а также оценить изменение этих величины в прошлом и будущеем.

График скорости можно строить и для кривойного движения тела. Если нам известна траектория, то, выбрав одно из направлений по траектории за положительное, можно строить график скорости так же, как мы это делали в случае прямолинейного движения. Законости будет ознакомлен направление движения, а величина ordинаты — абсциссную величины скорости.

Так, например, при движении тела по окружности с постоянной скоростью $V_0$ графиком скорости будет прямая $I$ на рисунке 2. Площадь фигуры под графиком скорости и в этом случае численно равна путь, проиденному телом. Прямая $II$ будет характеризовать подобное же движения, но в обратном направлении ($V_1 < 0$).

График пути и график координаты

Нужно хорошо понимать разницу между этими графиками. Путь, проиденный телом, — это положительная величина, уvelичивающаяся вне зависимости от направления движения тела, поэтому график пути не может идти вниз и располагается ниже $t$.

Координата характеризует положение тела относительно выбранной начальной точки. В процессе движения она может увеличаться, уменьшаться, проходить через нуль, быть положительным и отрицательной.

Именно так, например, изменяется координата при движении тела вдоль оси $x$ сначала в одну сторону, а затем в другую (рис. 6). Мы видим, что итоговое изменение координаты

42

за все время движения равно $-2\text{ m}$, а проиденный за это же время путь равен $8\text{ m}$. На участках, где движение не меняет направления (например, $0-x_1$ или $x_1-x_2$), изменение координаты равно по абсциссной величины проиденному пути.

Рассмотрим график координаты более подробно.

Прямая $I$ (рис. 7), идущая под углом $\alpha$ к оси $t$, соответствует равномерному движению, так как за равные промежутки времени $\Delta t$ тело проходит одинаковые отрезки координат $\Delta x$. Тангенс угла наклона этой прямой, как легко видеть из рисунка,

численно равен скорости движения:

$$V = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{\Delta S}{\Delta t} = tg\alpha$$

(в нашем примере движения не меняет направления, поэтому изменение координаты $\Delta x$ за время $\Delta t$ в точности равно проиденному за это же время пути $\Delta S$).

Чем кругле поднимается прямая, тем больше тангенс угла наклона и, следовательно, больше скорость. Точка $x_0$ на прямой $I$ — начальная координата тела. Она характеризует положение тела в начальной момент времени (при $t=0$). С течение времени тело удаляется от начала отсчета в положительном направлении ($x>0$ и возрастает).

Прямая $II$ на рисунке 7 тоже соответствует равномерному движению, но с отрицательной скоростью ($tg\beta<0$). Тело находится при $t=0$ на расстоянии $x_1$ от начала отсчета. Она движется навстречу первому телу, достигает начала отсчета при $t=t_1$ и продолжает движение в отрицательном направлении.

Графики пути для обих случавы приведены на рисунке 8. Это прямые, идущие под углами $\alpha$ и $\beta$ к оси абсцисс.

Ускоренное движение изобразяется на графике кривой линей (рис. 9). Если ускорение постоянно, кривая — парабола. Тангенс угла наклона касательной к графи-

43

ку координаты равен по величины численному значению скорости тела. Позному, если кривая изогнута так, как на участке I (рис. 9), тангенс угла наклона возратает, а, следовательно, скорость уvelичается; если же кривая изогнута так, как на участке II, скорость уvelичается. Соответствующий график пути приведен на рисунке 10. Пока координата тела возратает, график пути совпадает с графиком координаты; когда координата убивает, пусть возратает так, что уvelичение пути равно уvelишению координаты.

Следует помнить, что скорость тела не может менять скачком и поэтому графики координаты и пути не могут иметь изломов. График координаты

динаты, например, не может быть таким, как на рисунке 11. В момент времени $t=t_1$ скорость при таком движении должна быть скачком измениться от $V_1=tg\alpha$ до $V_2=tg\beta$, что невозможно.

Решим две задачи.

1. Два тела, находясь на расстоянии $S_0=3\text{ m}$, начинают движаться навстречу друг другу со скоростями $V_1=2\text{ m/сек}$ и $V_2=1\text{ m/сек}$. Где и когда они встречются?

Задача легко решается графикски (рис. 12). Будем считать, что первое тело движется от начала координат в положительном направлении, то есть на графике вверх, а второе — из точки $x_1=S_0$ в отрицательном направлении, то есть на графике вниз (координата уvelищается). Оба движения изображаются наклонными прямыми, ищими навстречу друг другу и пересекающимся в точке, соответствующей координате и времене встречи.

Наклон прямых определяется из условия: $tg\alpha_1=V_1=2$, $tg\beta=V_2=-1$. Из графика видно, что встречается в точке с координатами $t=1\text{ сек}$ и $x=2\text{ м}$.

На экзаменах часто просит прокомментировать движение, изображенное на каком-либо графике, и показать (нарисовать), как выглядит график того же движения в других координатах.

44

2. По графику координаты (рис. 13) начертить примерный график скорости.

Графики удобно строить один под другим, чтобы можно было сопоставлять их для одинаковых моментов времени. Аналіз графика следует начинить с наиболее простых участков (в нашей задаче это 1 и 5), где скорость одинакова и постоянна по величины (тангенсы углов наклона равны и не изменяются). Изображив эти участки на графике скорости прямыми горизонтальными линиями, можно переодить к анализу кривойнейной части графика координаты.

Нетрудно увидеть, что на участке 2 скорость возратает (тангенс угла наклона касательной уvelличи-

вается), на участке 3 — уменьшается, в точке А скорость достигает исходного значения (касательная параллельна начальной прямой), а в точке B равна нулю (тангенс равен нулю). На участке 4 тело движется в обратном направлении, и скорость постояну отрицательна. В точке C скорость снова переодит через нуль и затем возратает до прежней уvelличны.

Для успешного построения графиков необходима, разумется, тренировка. Ее легко осуществить, рисунvolvные графики в одной системе координат и строка соответствующие им графики в другой.

Попробуйте самостояльно решить следующие задачи.

1. По графику скорости (рис. 14) найditе графики координаты и ускорения. Что означает отрицательные значения t?

2. По графикам координаты (рис. 15) начертите графики скорости.

45

3. Что за движение изображено на рисунке 16 и как оно будет выгляделать на графике скорости? Последнее $t=t_1$ кривая графика — парабола.
4. По графику ускорения (рис. 17) начертите графики скорости, координаты и пути.
5. В первые две секунды тела прошло 4 метра, затем, уменный скорость, оно движалось в течение 4 секунд в том же направлении и, наконец, вернулось обратно с первоначальной скоростью. На протяжении каждого из трех этапов скорость считать постоянной. Второе тело начало движение секунди равше из

той же точки и движалось с постоянной скоростью $V = \frac{3}{4} m/sec$. По графику пути определяте: 1) скорость первого тела на втором этане; 2) время и места встреч обихелел; 3) путь, пройденный первым телом за все время движения.

6. Два велосипеда выехали в одном направлении с интервалом в 10 секунд. Первый в течение 5 секунд движения с ускорением $a_1=2 m/sec^2$, затем с постоянной доступной им скоростью, а после выезда второго велосипеда — замедленно с ускорением $a'_1=-0,25 m/sec^2$. Второй велосипед двигается с ускорением $a_2=1 m/sec^2$. Как только скорости велосипедов сравнялись, оба продолжили движение с постоянной скоростью. По графику скорости найти: 1) когда и на каком расстоянии от начальной точки сравнялись скоростиavelиспедов; 2) чем равна эта скорость; 3) путь первогоavelиспеда до момента выезда второго.

7. Два шарика начали одновременно и с одинаковой скоростью двигаться по поверхности, имеющим форму, показанную на рисунке 18. Как будут отличаться скорости и времена движения шариков, когда они прибудут в точку $B$?