Закон сохранения магнитного потока

Квант 1970, №6 с. 11-16 Тег JB9Y

Если опыт показывает, что при процесах определенного типа какая-то физическая величины не изменяется, можно сформировать «закон сохранения» этой величины при процесах данного типа. Самый известный пример подобного закона — закон сохранения энергии, который выполняется при любых процесах, протекающих в системех, хорошо изолированных от влияния других тел. С помощью законов сохранения можно часто представить конечный результат опыта только по начальному условиям, не зная, что происходит на промежуточных стадиях. Например, если кинетическая энергия какогонибудь тела перешла в телло, его количество не зависит от того, каким способом это произойдет.

В этой статье речь пойдёт о законе сохранения магнитного потока. Этот закон, правда, выполняется только в особых условиях и не претендует на такую всеобшую роль, как закон сохранения энергии, но в своей области от тоже — закон очень полезный, хочется добавить, красивый.

Определим сначала, что называется магнитным потоком. Представим себе, что в пространстве имеется постоянное недоподденное магнитное поле любой самой сложной формы. Его можно изобразить наглядно при помощи магнитных силовых линии, направление которых будет указывать направление поля (для этого на линиях надо поставить стрелки), а густота, то есть число линей, проходящих через перpendикулярную им площадку в 1 см², — величины напряжности магнитного поля. При помощи непрерывных непересекающих силовых linей, которые или замкнуты, или уходят вдаль, в бесконечность, можно изобразить любое магнитное поле, какой бы сложной ни была его форму. Причем в описанной модели не будет такого места, где попадилось бы добавить или выкинуть отрезок линии, чтобы правильно изобразить напряжение поля. Уж так, как говорится, магнитное поле устроено. Во всяком случае, все попытки обнаружить на опите отклонения от этого правила пока не удавались. Как мы сейчас видим, только благодаря этому свойству магнитного поля и можно ввести понятие магнитного потока.

Если имеется какая-то замкнутая кривая в пространстве — «контур» (вобрабатим его сделанным из тонкой проволоки), то число магнитных силовых linей, охваченных этим контуром, будет назвать магнитным потоком через этот контур. Чтобыправильно подсчитать это число, надо действиявать следующим образом. Сначала — затянуть этот контур воображаемой лленкой (любой форму, только не дырявой) и отметить на

ней разные ее стороны — «лицо» и «изнанку». После этого надо считать все силовые линии, протыкающие пленку с изнанки на лице, и вычесть из этого числа силовых линии, протыкающих пленку в обратном направлении, если такие линии есть. Разность и дакт нам величины магнитного потока, которая, таким образом, может быть и отрицательной. Именно потому, что силовые линии игнорные не обращаются, безразлично, какой пленкой затянут контур — obtянуть экономно или пришить к контуру целый сачок, — поток получится тот же самый (рис. 1). Поток обозначает общую буквой Ф (может быть, потому, что она похожа на силового линии, произsaющий контур). Если магнитное поле мы изменяем в гауссах, размерность Ф будет $eaycc \cdot cm^2$ (есс. $cm^2$ ).

Если магнитный поток, охваченный контуром, будет изменять со временем на величины $\Delta \Phi$ за время $\Delta t$ , а контур сделан из проволоки с электрическим сопротивлением $R$ , то согласно закону электромагнитной индукции по контуру начинает циклировать ток

$I = -10^{-8} \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \cdot \frac{1}{R} \text{ amper} \quad (1)$

( $\Phi$ выражено в $ec \cdot cm^2$ , $t$ — в секундах, а $R$ — в омах). Этот ток в контуре идет под действием электродвижшей силы индукции

$\varepsilon = -10^{-8} \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \text{ волт.} \quad (2)$

Знак минус в этих формулах связан вот с чем: мы считаем положительным ток в контуре, который сам создает в нем магнитное поле с положительным потоком (такой ток обтекает контур по часовой стрелке, если смотреть «с изнанки»). Отрицательный знак, следовательно, показывает, что если поток уменшается со временем $\left( \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \text{ отрицательно} \right)$ , то возбуждаемый ток будет положительным и сам будет создавать положитель-ный поток. Наоборот, если поток возратает, ток в контуре создает поток противоположного направления (правило Ленца). Так как поток Ф складывает из потока внешнего поля и потока, создаваемого самим контуром, то индуцирование тока в контуре приводит к замедлению изменения общего потока через контур.

Пусть в начальной момент ток равен нулю, а поток создается каким-то внешним источником поля, например магнитом. Тепер быстро уберем магнит. Тогда в контуре одновременно с этим возникнет ток, который сам создает магнитный поток той же величины, то есть не позвольт магнитному потоку выше из контура. Для того, чтобы в контуре с электрическим сопротивлением $R$ существовал ток, необходимо, конечно, чтобы поток изменялся. Поэтому в последующее моменты Ф будет все же постепенно уменшаться, но тем медленнее, чем меньше $R$ . Точно также, если мы захотим увеличит поток внутреннего контур, это можно будет сделать только постепенно.

Нужно отметить одно большое достоинство закона электромагнитной индукции: все наши рассуждения и формулы остаются справедливыми независимо от того, каким способом мы изменяем магнитный поток через контур — изменяем ли само магнитное поле или еще и двигаем, изгибаем,

растигиваем контур, который в этом поле находится.

Предположим теперь, что наш контур сделан из сверхпроводника, сопротивление которого, как известно, равно нулю. О том, что сверхпроводимость наступает у многих металлов и сплавов при низких температурах, порядка нескольких градусов абсолотной шкалы, читатель, конечно, знает. Надо еще напомнить, что сверхпроводимость разрушается под действием магнитного поля с напряженностью, превышающей некоторый предел — критическое поле $H_c$ , которое зависит от температуры примерного так, как показано на рисунке 2. Для свища, скажем, при самых низких темперарах $H_c=800$ гаусс. При полях, больших $H_c$ , металл вовь прибретает сопротивление.

Если в контуре с малым сопротивлением магнитный поток изменяется медленно, то естественно, что в сверхпроводящем контуре он будет вообществуется постояным. Это можно увидеть непосредственно из формулы (1), только, чтобы не получить нуль в знаменателе, ее надо записать в виде $IR=-10^{-8}\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$ . При $R=0$ $\Delta\Phi=0$ . Это и есть закон сохранения магнитного потока в контуре с нулявым сопротивлением.

Именно экспериментальная проверка этого закона и показала, что сопротивление сверхпроводника практически равно нулю. Самые точные методы не могут обнаружить уменьшения магнитного поля в замкнутой сверхпроводящей катушке, даже если опыт dlится несколько лет.

Рассмотрим теперь несколько примеров применения закона сохранения магнитного потока. Если изготовить из сверхпроводника трубу с площадью отверстия $S$ , поместить ее при высокой температуре в продольное магнитное поле $H$ , затем охладить ее ниже температуры перехода в сверхпроводящие состояния и выключить магнитное поле, то в трубе остается «заморженный» поток $\Phi=HS$ . Сожем теперь трубу или вставим в нее сверхпроводящий стержень так, чтобы свободноеечение уменьшилось до $S_1=\frac{1}{10}S$ . Тогда мы получим в трубе более сильное поле $H_1=10H$ , поскольку из закона сохранения потока следует, что $H_1S_1=HS$ . Нужно только, чтобы новое поле $H_1$ не было больше критического поля $H_c$ сверхпроводника при температуре опыта, иначе сверхпроводимость разрушается и поток в трубе будет уменьшаться, пока поле не достигнет значения $H_c$ .

Делая этот опыт достаточно быстро, можно получить большое поле и в трубе из любого нормального металла. Если обложить трубу, в которой имеется магнитное поле, со всех сто-

рон порохом и произвести взрыв, то можно сделать магнитный поток и получить в трубке на короткое время, порядка нескольких миллионных долей секунд, поле в десяти миллионов гаусс. Сила взрыва при этом нужна не столько для того, чтобы предолеть сопротивление металла, сколько для того, чтобы сжимать само магнитное поле. В стенках трубы возбуждается ток, а на ток в магнитном поле действует сила. Поэтому магнитное поле оказывает давление на стенки трубы. Магнитный поток, когда его скимают, ведет себя подобно упругому веществу. Можно подсчитать, что поле в 10 миллионов гаусс будет оказывать на стенки трубы давление, равное примерно четырем миллионам атмосфер.

При помощи известных нам сверхпроводников получить такие поля невозможно, но в катушках из сверхпроводящих сплавов уже сейчас получают поля порядка 100 000 гаусс (100 килогаусс). Ток в такую сверхпроводящую катушку можно подать самим обычным образом — через два провода, опущенные в дьюаровский сосуд, где находится при низкой температуре катушка. Можно снабить катушка еще и сверхпроводящей проволоки $A$ (рис. 3, а), соединяющим клеммы, к которым подведены провода $B$ от внешнего источника

така. Спираль $B$ нагревает проводку $A$ до нормального состояния, в котором она обладает значительным сопротивлением (сверхпроводящие сплавы в нормальном состоянии обладают, как и другие сплавы, гораздо большим сопротивлением, чем чистые металлы). Если замкнуть ключ $\Gamma$ , то через катушкуойойdet ток и магнитный поток в катушке начинает растить по закону, который легко вывести из формулы (2). Пренебрежем сопротивлением проводов $B$ и внутренним сопротивлением источника. Поскольку в цепи без сопротивления сумма всех э. д. с. должа быть равна нулю, то э. д. с. индукции $\varepsilon$ должа быть равна минус $V$ , где $V$ — электродвижущая сила источника. Из формулы (2) получаем $\Phi=10^8Vt$ . Если катушка имеет, скажем, число витков $n=10 000$ со средней площадью витка $S=20\text{ cm}^2$ , то $\Phi=nSH=2\cdot10^5H$ , где $H$ — среднее поле в катушка. При $V=1\theta$ для создания в катушка поля в 10 килогаусс попадобится 20 секунд. Если по процессии неокоторо времени выключить нагреваель и разомкнуть ключ $\Gamma$ (рис. 3, 6), то проводка $A$ вместе с катушкой образуют замкнутый сверхпроводящий контур, в котором поток будет оставаться постоянным. Идеальное построение получаемого таким способом поля оказывается чрезвычайно удобным при физических исследованиях.

Рис. 3. Схема включения сверхпроводящей катушки со сверхпроводящим ключом. Часть схемы находится при низкой температуре. Схема питания нагреваела $B$ на рисунке не показана.

После замыкания сверхпроводящей ключа провода $B$ уже не нужны и даже вредны, поскольку по ним в дьюар проникает тепло.

Существует и другой остроумный способ «накачки» магнитного потока в сверхпроводящие катушки, позволяющий обойти вовсе без введения проводов в дьюар. Схема устройства, основанного на этом способе, показана на рисунке 4. Катушка, которую мы для простоты заменили на рисунке плоским контуром $A$ , замкнута параллельно двумя сверхпроводящими проводами $B$ и $B$ . Магнит $M$ может передвигаться около контура. Путь его нижнего конца показан на рисунке 4 пунктом. Магнит должен быть настолько сильным, чтобы его поле могло разрушать сверхпроводимость проводок $B$ и $B$ .

Послеовательные положения магнита при накачивании потока в контур показаны на рис. 5, $a$ —5, $\delta$ . Магнитный поток, выходящий из конца магнита, обозначает точками — следами силовых линии. В положении $a$ магнит разрушил сверхпроводимость

проволоки $B$ , и при движении магнита поток входит в контур. В момент $6$ поток заключен между проводками $B$ и $B$ . Затем поток переходит в контур $A$ (положения $b$ и $2$ ). Когда магнит $M$ удален от контура (положение $\partial$ ), внесенный им магнитный поток перераспределяется, но остается захваченным контуром $A$ . Далее цикл повторяется, и новая порция силовых линей входит в контур $A$ .

Разбранные выше примеры относятся к различным способам создания магнитного поля. Упомянем в заключение о приборе, предназначением для выполнения прямого противоположной задачи — возможно более полного удаления поля из какого-либо объема. Используя явление сверхпроводимости, эту задачу можно решить простым и совершенным способом. Возьмем сплющенную сверхпроводящую оболочку и расправим ее. Тогда в образователься полости магнитное поле станет равным нулю (пraktические, конечно, какое-то поле остanetся, но, во всяком случае, действует таким способом, можно подойти к $H=0$ как угодно близко). Полученное нулевое поле будет сколь угодно долго сохранться в замкнутой полости, несмотря на изменения поля снаружи.

В случае сверхпроводников закон сохранения магнитного потока выполняется с большой точностью, но надо иметь в виду, что его можно приближенно применять и для контуров из любых других материалов — твердых, жидких и даже газообразных (плазма), если процесс протекает достаточно быстро. Правда, для того чтобы точно определить, что значит «достаточно быстро», нам пришлось бы уже выйти за рамки этой статьи.

Задание

Как зависит от времени ток, проходящей через сверхпроводящую катушка, если языок $K$ (см. рис.) начал колбааться с некоторой частотой, заменяя и размыкая цепь?

Ток в начальной момент равен $\frac{V}{R}$ , где $V$ —эд.с. источника, а $R$ —сопротивление, включенное в контур.

Ток в катушке нарастет прямо пропорционально времени. Как изменяется ток в другой катушке, индуктивно связанной с первой и замкнутой на некоторое сопротивление?
Две линные однослойные сверхпроводящие катушки с числами витков $n_1$ и $n_2$ , длинами $l_1$ и $l_2$ и сечениями $S_1$ и $S_2$ соединены параллельно при помощи сверхпроводящих проводов. Определите, как распределится между ними ток $I$ , подведенный от общего источника. Катушки удалены друг от друга так, что поле одной не действует на поле другой. (Тем не менее катушки и соединяющие их провода можно рассматривать как один сверхпроводящий контур.)
При включении магнитного поля, перpendикулярного плоскости колбаца радиуса $R$ , по колыцу протекает заряд $Q$ . Какой заряд протечет по витку, если колыцо при неизменном поле сложить «восмеркой», состоящей из двух окружностей, причем радиус меньшей окружности равен $R/4$ ? Плоскость «восмерки» также перpendикулярная магнитному полю.
На основе постоянного магнита, расположенного в верхикально, на некотором расстоянии от него нахождения легкое сверхпроводящое проводное колбацо, плоскость которого перpendикулярна оси магнита. Колыцо отпускают, и оно начинает падать так, что остается все время горизонтальным. Как будет движаться колбацо по вертикали?