Движение планет

20

В этой статье рассказывается о некоторых свойств элиппса и о разных закономерностях движения планет, самые важные из которых называются законами Кеплера.

Сила тяжости
Закон инерции какется сейчас самим элементарным и естественным законом — с него начнется изучение механики. Однако чтобы понять его, надо было отвлечься от того, что произходит непосредственно перед глазами. В обычных условиях движению тела в горизонтальной плоскости мешают трене и сопротивление воздуха; при движении в вертикальной плоскости на тело действуют силы сопротивления воздуха и сила тяжости. От их влияния надо было освоиться хотя бы мысленно. На это ушло много лет.

Только после того как был понят закон инерции — закон движения тела при идеализированных условиях, можно было рассматривать движение тел под действием сил.

Закон padения тел на Земле установлен Галилей (1564—1642). Он первым поставил перед собой задачу понять, как меняется скорость падающего тела в последовательные промежутки времени. Таким образом, он в механику ускорение и установил, что ускорения всех тел, падающих на землю, одинаковы и постоянны. Но то, что причина ускорения — сила тяжости, было лишь позже понято Ньютоном.

Почти через это лет после публикации работы Галилея Ньютон открыл закон всемирного тяготения (1687 г.), согласно которым сила тяжости не постоянна, а убывает с увеличением расстояния между телами как квадрат этого расстояния.

Если бы физика исторически развивалась в таком порядке, в каком она излагается в учебниках, то только после открытия Ньютона можно было бы бы перейти к изучению законов движения планет. Но развитие научки не подчиняется логике учебника. Значительно ранше Ньютона эти законы установил современник Галилея Иоган Кеплера (1571—1630).

Позначняя Кеплера в механике по сравнению со значениями современного школьника были крайне скудными. Он не только не знал законов Ньютона (они еще не были открыты), но и имел весма смутное представление о том, что такое сила. Все, что было в руках Кеплера, — это очень аккуратные древники наблюдений движения небесных тел, которые в течение многих лет вел его учитель Тихо Браге *) и продолжал вести он сам. Только необычайное трудовое и уверенноесть в существовании простых законов, управляющих движением планет, позволили ему открыть законы, которые с тех пор носят его имя.

Законы Кеплера и сейчас не так уж оченьны. В основном это связан с тем, что элиппсы — кривы, по которым движутся планеты, плох извлечены обичному читателю. В действительности же получить законы Кеплера не так уж трудно. Для этого нужно воспользоваться двумя законами механики: законом сохранения энергии (который не был известен ни Кеплеру, ни Ньютону) и законом сохранения момента количества движения. Последний, как мы увидим, эквивалентен второму закону Кеплера: площади, замедляемые радиусом-вектором планеты за одинаковые промежутки времени, одинаковы.

*) Тихо Браге был одним из последних астрономов, наблюдающих движение небесных тел невооруженным глазом.

22

Закон сохранения энергии

На поверхности Земли сила тяжести равна $mg$. Если ввести потенциальную энергию тела в поле тяжести $U = mgh$ (h — расстояние от тела до Земли), то можно утверждать, что при движении тела сумма его кинетической и потенциальной энергии $E = \frac{mv^2}{2} + mgh$ не меняется.

Однако выражение для $U$, которое мы написали, справедливо только при небольших расстояниях от тела до Земли, когда $h$ мало по сравнению с радиусом Земли и силу тяжести можно считать постоянной. Если высота становится большей, то сила тяжести уменьшается с расстоянием. Согласно закону Ньютона

$$|F| = \gamma \frac{mM}{R^2},$$

где $\gamma$ — гравицаонная постоянная, $M$ — масса Земли и $R$ — расстояние от тела до центра Земли.

Если пользоваться точным выражением для силы тяжести, то потенциальную энергию надо заменить на $U = -\gamma \frac{mM}{R}$. Проверим это. Вспомним, что работа, которую совершает тело при движении, равна уменьшению.

Рис. 2.

Рис. 3.

нию его потенциальной энергии. Сочитаем работу, совершаемую телом, подающим с высоты $R_2$ до высоты $R_1$ от центра Земли (рис. 2). Для этого надо вычислить разность потенциальных энергий тела:

$$\text{работа} = U_2 - U_1 =$$

$$= \gamma m M \left( -\frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_1} \right) =$$

$$= \gamma m M \left( \frac{R_2 - R_1}{R_1 R_2} \right).$$

Если $R_2 - R_1 \ll R_1$ ($R_2 \approx R_1$), то произведение $R_1 R_2$ можно заменить на $R^2$ — квадрат среднего геометрического $R_1$ и $R_2$ (при $R_2 \approx R_1$: $R \approx R_2 \approx R_1$), а $R_2 - R_1$ заменить на $l$ — путь, пройденный телом. Тогда последняя формула приобретет вид

$$\text{работа} = \text{сила} \times \text{путь} = \gamma \frac{mM}{R^2} l.$$

сила путь тяжести

Это и означает, что выражение для $U$, которое мы написали выше, — действительное потенциальная энергия тела.

Теперь нам по-другому нужно записать формулу для полной энергии тела:

$$E = \frac{mv^2}{2} - \gamma \frac{mM}{R} = m \left( \frac{v^2}{2} - \gamma \frac{M}{R} \right).$$

Эллипс

Начем с объчного определения эллипса (рис. 3). Эллипсом называется геометрическое место мочек, сумма расстояний которых до двух мочек (фокусов эллипса) построена.

23

Рис. 4.

Из этого определения можно вывести интересное «оптическое» свойство эллипса: если в одном из фокусов зеркального эллипса *) помещить источник света, то все лучи, вышедшие из него, соберуются в другом фокусе эллипсада **). Это означает, что углы между прямыми, идущими в точку эллипса из его фокусов, и касательной к эллипсу равны между собой (рис. 4).

Докажем, что эллипс обладает еще одним свойством, которое даже удобно принять за определение эллипса. Для этого проведем касательную $t$ к эллипсу в точке $A$ и опустим из обих фокусов эллипса перепределкиры на эту касательную (рис. 5). Один из перепределкиров продолжим за прямую $t$ на расстояние $F'_2 N_2$, равное $N_2 F_2$. Соединим теперь точки $F'_2$ и $F_1$ с точкой $A$. Докажем, что $F'_2 AF_1$ — прямая.

Это сразу видно из того, что $\alpha_1 = \alpha_2$ (по построению) и $\alpha_1 = \alpha_3$ (согласно оптическому свойству эллипса). Следовательно, $\alpha_2 = \alpha_3$, а, значит, $F'_2 AF_1$ — прямая.

*) Эллипсидом называется геометрическое место точки, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точки построена. Такая поверхность получается при выращении эллипса вокруг свея оси.

**) Докажать это свойство эллипса проще всего, воспользоваться принципом Ферма (см. «Квант» № 11, 1970).

Рис. 5.

Далее, так как $AF'_2 = AF_2$, то $F_1 F'_2 = F_1 A + AF'_2 = F_1 A + AF_2$, то есть отрезок $F_1 F'_2$ равен сумме расстояний от точки эллипса до фокусов. Обозначим эту сумму $2a$. Опустим теперь перепределкуар $F_1 B$ на прямую $F'_2 F'_2$, вычислим длину катета $F_1 B$ из двух прямогольных треугольников — коричневого и желтого — и приравняем оба выражения для $F_1 B$ друг друга:

$(2a)^2 - (\rho_1 + \rho_2)^2 = (2c)^2 - (\rho_2 - \rho_1)^2$.

Раскрывая скобки, получим

$\rho_1 \rho_2 = a^2 - c^2$.

Итак, произведение $\rho_1 \rho_2$ не зависит от того, в какой точке проведена касательная. Проведем ее в конце малой полуоси (рис. 6). В этом случае $a^2 - b^2 = c^2$. Поэтому $\rho_1 \rho_2 = b^2$.

Таким образом, мы получили основную теорему:

Произведение расстояний от двух фокусов до любой касательной эллипса есть величины постоянная, равная квадрату малой полуоси.

24

Первый закон Кеплера

Теперь мы можем рассмотреть движение планеты. Для простоты мы не будем доказывать, что орбита планеты — эллипс, а, предположив это и использую законы сохранения момента колинчества движения и энергии, найдем его получи и убедимся в том, что движение по эллипсам в поле тяжесте не противоречит законам сохранения.

Отметим два положения планеты $A$ и $A'$, симметричные относительно центра эллипса (рис. 7). Можно сказать и иначе: точка $A$ — истинное положение планеты в некоторый момент времени, а $A'$ — получена из первой переносом Солнца в другой фокус, в то время как планета остается на прежнем месте.

Запишем закон сохранения энергии. Отмечая величины индексом 1 для точки $A$ и индексом 2 для точки $A'$, получим $(E_1 = E_2 = E)^*$.

$$-E = \frac{mv_1^2}{2} - \gamma \frac{mM}{r_1} = \frac{mv_2^2}{2} - \gamma \frac{mM}{r_2}.$$

Угловой момент планеты равен произведению колинчества движения $mv_1$ (или $mv_2$) на «плею» — прицельный параметр $\rho_1$ (или $\rho_2$), при этом полная энергия $T + U = -E < 0$.

Чем угловой момент для обихх положений планеты одинаков:
$$L = mv_1\rho_1 = mv_2\rho_2.$$
Вычислим произведение кинетических энергий планеты в точках $A$ и $A'$:
$$T_1T_2 = \frac{mv_1^2}{2} \cdot \frac{mv_2^2}{2} = \left(-E + \frac{\alpha}{r_1}\right) \times \left(-E + \frac{\alpha}{r_2}\right).$$
(Здесь $\alpha = \gamma Mm$.)
Заменив в этом уравнении скорости их выражениями через момент колинчества движения, после простых преобразований получим:
$$\frac{1}{4} \frac{L^4}{m^2\rho_1^2\rho_2^2} - E^2 = \frac{-\alpha(r_1 + r_2)E + \alpha^2}{r_1r_2}.$$

Нетрудно увидеть, что это равенство выполняется, если орбита планеты — эллипс. Действительно, для этого нужно положить
$$r_1 + r_2 = \frac{\alpha}{E} = 2a$$
и
$$\rho_1\rho_2 = \frac{L^2}{2mE} = b^2.$$

Оба эти равенства — не что иное, как два определения эллипса, приведенные выше.

Таким образом, наша траектория — эллипс с полуосями: большой
$$a = \gamma \frac{mM}{2E} \text{ и малой } b = \frac{L}{\sqrt{2mE}}.$$

26

Рис. 8.

Тогда скорость планеты будет безразмерной. Скорость — это число, показывающее, сколько раз $v_0$ содержится в скорости планеты:

$$\beta_1 = \frac{v_1}{v_0} \quad \text{и} \quad \beta_2 = \frac{v_2}{v_0}.$$

Согласно предыдущему скорости $\beta_1$ и $\beta_2$ связаны соотношение

$$\beta_1 = \frac{1}{\beta_2}.$$

Что это значит? Если частница движется в какой-то точке орбиты со скоростью $\beta$, то в точке, симметричной относительной центра орбиты, ее скорость будет равна $\frac{1}{\beta}$

Мы описывали траекторию планеты, задавая ее положение (координаты) в каждой момент времени. Можно поступить и иначе — задавать скорости планеты. Кривая, которую мы при этом получим, называется годграфом скорости (можно сказать, что это траектория в пространстве скорости). Так как произведение отрезков $\beta_1$ и $\beta_2$ построено, то годграфом скорости планеты — окружность (рис. 8) (вспомните теорему: «Пустывнутри окружности дана точка. Тогда для всех хорд, проходящих через эту точку, произведение длины отрезков, на которых делит хорды эта точка, одинаковы»).

Если мы заменим скорость $\beta$ на $\frac{1}{\beta}$ в каждой точке годграфа, то годграф не изменится, а просто скорость поверхности на $180^\circ$. Это свойство называется инвариантностью движения относительной поверхности.

Если траектория планеты круговая, то $\beta = 1$ (доказите!). В этом случае годграф — окружность с центром в начале координат.

Период обращения

Для того чтобы вычислить период обращения — время полного оборота планеты вокругруг Colnца или искусственного спутника вокругруг Земли, надо сосчитать время прохождения каждой участка траектории (отдельно, так как скорость все время меняется) и просуммировать затем по всем участкам. Сделать это элементарно, конечно, нельзя, но можно обойти все трудности.

Из второго закона Кеплера мы знаем, что за время $\Delta t$ радиус-вектор планеты «заметает» площадь, равную $\frac{L}{2m} \Delta t$ (напомним, что $L = \text{const}$). Значит, период обращения можно вычислить, поделив площадь элипса на постоянную скорость «заметания»

$$T = \frac{S_{\text{эллипса}}}{L/2m}.$$

Так как эллипс получается из окружности, скатаой в одном направлении в $\frac{b}{a}$ раз$^*$), то площадь эллипса равна

$$S_{\text{эллипса}} = S_{\text{крута}} \cdot \frac{b}{a} = \pi a^2 \frac{b}{a} = \pi ab.$$

Из этих формул получаем

$$T = \frac{2\pi ab}{L}.$$

Но $b = \frac{L}{\sqrt{2Em}}$, поэтому

$$T = \pi a \sqrt{\frac{2m}{E}}$$

$^*$) См. статью И. Н. Бронштейна «Эллипс» («Квант» № 9, 1970).

27

или, подставив сюда выражения для $a \left( a = \gamma \frac{Mm}{2E} \right)$ и заменив $\left( \frac{2E}{m} \right)^{3/2}$ на $v_0^3$, получим
$$T = 2\gamma M \frac{m}{2E} \sqrt{\frac{m}{2E}} = 2 \frac{\pi \gamma M}{v_0^3}.$$
Из этой формулы видно, что период обращения зависит только от величины $v_0$. Если из одной и той же точки над поверхностью Земли выпущено несколько одинаковых спутников в разных направлениях, но с одной и той же скоростью $v_0$, то все они одновременно (через время $T$) соберутся в той же точке.

Третий закон Кеплера
Если теперь в формулу (*) для периода обращения планеты вместе энергии $E$ подставить ее выражение через большую получось $\left( E = \gamma \frac{mM}{2a} \right)$, то получим
$$T = 2\pi a^{3/2} \frac{1}{\sqrt{\gamma M}}.$$
Следовательно, $T^2$ пропорционально $a^3$, то есть квадрат периода обращения планеты пропорционален кубу большой получси эллипса. А это и есть третий закон Кеплера.

Рис. 9.
Эллипс — геометрическое место центров окружности, проходящих через фокус и касающиеся заданной окружности (направляющей окружности).

В этой статье мы рассказывали понемного о геометрии, об оптике и механике. Решите теперь задачи.

Оптическая задача
В одном из фокусов эллипсона, внутриняя поверхность которого зеркальна, находится точный источник света. Построить изображение этого источника для наблюдателя, находящегося во втором фокусе эллипсона.

Геометрическая задача
Покаatzь, что эллипс есть геометрическое место центров окружности, проходящих через фокус и касающиеся заданной окружности (направляющей окружности) (рис. 9).

На рисунке видно, что основания перpendикуляров $\rho_1$ и $\rho_2$ лежат на «главной окружности». Слушай ли это?

Космическая задача
Орбитта спутника Земли имеет параметры: наибольшее расстояние $R$, наименьшее расстояние $r$. Вычислить полную энергию и угловой момент спутника. Найти скорости спутника на концах большой и малой осей.

Красиное построение
Рисуок на обложке журнала построен так: внутри окружности выбрана точка, и из нее как из центра проведена окружность меньше его. Из центра этой второй окружности проведены лучи до встречи с большой окружностью. Через точку на каждом луче, лежащую посередине между двумя окружностями, проведена хорда, перpendикулярная этому лучу. Пятно внутри имеет форму эллипса.