[Задачи М61—М65; Ф72—Ф76]

Квант 1971, №1 с. 38-40 Тег A5AY

Этот раздел журнала ведется у нас из номера в номер. В нем публикуются задачи по физике и математике, некоторые из которых довольно трудны. Далее специальism физик и математик решения их дается нелегко. Поэтому не отмечайтесь, если не сумете справиться с той илииной задачей. Попробуйте со временем вернуть к ней слова.

Решить задачу — это значит понять, какой математический аппарат, какие уравнения (или теоремы) для этого нужно использовать, какие факторы учесть, а какими — претензь; это значит попытаться также установить, где и как применяются на практике указываемые в задаче явления. Но вот решение найдено. Вы удовлетворены. Не следует, однako, на этом успокаиваться. Подумайте, как можно обобщить задачу.

Во второй части раздела (примерно через полгода после начала публикации самых задач) мы будем помещать их решения с учетом присланных читателями письм. Такое время нам требуется потому, что на подготовку к печати очередного номера уходит более четырех месяцев.

Школьники, регуляро присылавшие особенно оригинальные и удачные решения, получат право участвовать в областих трехвесоизной оптимизации школьников наравне с победителями Весоизной заочной оптимизации. Кроме того, редакция журнала устанавливала несколько специальных premий для авторов наиболее интересных решений.

И последнее. Придумать задачу обычно труднее, чем ее решить. Труднее, но это и интереснее. Попробуйте придумать задачи и пришлите их нам. Лучшие из них опубликуем в «Задачнике Кванта».

Свои решения и новые задачи присылайте по адресу: Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, редакция журнала «Квант», «Задачник «Кванта»», математика (физика). Решение каждой задачи (если вы посылаете сразу несколько попыток на отдельном листке (листках), страницей прочитаемы. В конце укажите свою фамилию, имя, отчество, а также класс и школа. Решения рассматривают только в том случае, если они получены не позднее, чем через полтора месяца после выхода соответствующего номера журнала.

Рис. 1.

М61. Два мудреца играют в новую игру, состоящую в следующем. Выписаны числа 0, 1, 2,…, 1024. Первый мудрец вычеркивает по своему выбору 512 чисел, второй вычеркивает 256 из оставшихся чисел, затем снова первый вычеркивает еще 128, потом второй — еще 64 числа и т. д. Своим последним пятым ходом второй вычеркивает одно число. Остатся два числа, и второй платит первогому разницы между этим числами. Как надо играть первому игру, чтобы получить как можно больше? Как второму, чтобы проиграть как можно меньше? Сколько уплаит второй первому, если она будет играть на лучшешим образом?

XXXII Московская математическая олимпиада

М62. Докажите, что для любого нечетного числа $a$ найдет такое натуральное $b$ , что $2^b - 1$ делится на $a$ .

М63. Можно ли из 18 плиток размером $1 \times 2$ выложить квадрат так,

Рис. 2.

Чтобы при этом не было ни одного прямого «шва», соединяющего противоположные стороны квадрата и душшего по краям плиток? (Например, такое расположение плиток, как на рисунке 1, не годится, так как здесь есть «шов» $AB$ ).

А. А. Кириллов

М64. На плоскости данных прямая $l$ и две точки $P$ и $Q$ , лежащие по одному сторону от нее. Найти на прямой $l$ также точки $M$ , для которого расстояние между основаниями высот треугольника $PQM$ , опущенных на стороны $PM$ и $QM$ , называемые.

Г. А. Палатник

М65. a) Пусть $E, F, G$ — такие точки на сторонах $AB, BC$ и $CA$ треугольника $ABC$ , для которых $\frac{AE}{EB} = \frac{BF}{FC} = \frac{CG}{GA} = k$ , где $0 < k < 1$ . Найдите отношение площади треугольника, образованного прямыми $AF, BG$ и $CE$ , к площади треугольника $ABC$ (рис. 2).

Разрежьте треугольник шестю прямыми на такие части, из которых можно сложить семь равных треугольников.

А. Л. Сойфер

Ф72. Почему в марте продолжность дня меняется быстрое, чем в декабре?

Г. Л. Комкин

Ф73. Внутрь стеклянной трубки наlint растор сахара. Нижний конец трубки затянут пленкой, пропищаемой для воды, но непроницаемой для молекул сахара. Трубку погружают в чистую воду до уровня расторса сахара и закрепляют в этом положении. Уровень жидкости в трубке при этом начинает подниматься и через достающий промежуток времени устанавливается на некоторой высоте над уровнем воды (рис. 3).

Чем объясняется это заасывание воды внутри цилиндра? Откуда берется энергия для поднятия жидкости?

Ф74. Два конденсатора включаются последовательно. Первый имеет емкость $C_1$ и расчитан на максимальное напряжение $U_1$ , второй — емкость $C_2$ и расчитан на напряжение $U_2$ . К какому максимальным нулю при-

жению можно подключит эту батарею конденсаторов?

А. Р. Зильберман

Ф75. Поршень с плошадью $S$ шарниро с вязан с шайбой $C$ , скользывающей без трения по рычагу $AB$ . Длина рычага $L$ . Какую наименьшую силу нужно приложить к рычагу $AB$ для того, чтобы уvelинить давление в жидкости на $\Delta p$ (рис.4)?

Б. Б. Буховцев, физическая олимпиада МГУ, 1970 г.

Ф76. Тяжелый обруч с невесомыми спицами расположен в вертикальной плоскости и может врашаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр. В толще его обода закреплена материалная точка, имеющая такую же массу, как и сам обруч. Каким будет период колебаний обруча вокруг оси? Как он изменится, если: а) матник переенсти на Луну, б) помещить его в жидкость, в которой он будет двигать без трения?