Вниманию восьмиклассников! Заочная математическая школа объявляет приём учащихся

56

ВНИМАНИЮ
ВОСЬМИКЛАССНИКОВ!
ЗАОЧНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ШКОЛА
ОБЪЯВЛЯЕТ ПРИЕМ УЧАЩИХСЯ

В ЗМШ приннимаются только ученики высых классов. Школьники, проживающие в Москве, Ленинграде и их пригородах, в ЗМШ не приннимаются. Занятия в школе начнутся с 1 сентября.

В ЗМШ два курса. Обучение в школе бесплатное.

В этом номере «Кванта» предлагаются задачи, которые служат вступительный контрольной работы в заочные математические школы при МГУ и ЛГУ. Те, кто хочет поступить в ЗМШ, должны выслать решение этих задачи не позднее 10 марта 1971 года. После проверки работы (примерно в июле 1971 г.) будет сообщено, приняты ли вы в ЗМШ.

Хотя некоторые из вступительных задачи по внешнему виду отличются от обычных школьных, для их решения не требуется никаких дополнительных знаний по математике.

Для того, чтобы быть принятым в школе, не обязательно решить все задачи без исключения. При оценке работы будет учитывать не только количество решенных задач, но и качество решения. Решение каждой задачи должно быть обосновано. Ответ без всяких obясненей может быть не зачитан. Если в задаче возможно несколько развелов, то надо указыть их все.

Работы должны быть выполнены на русском языке в ученической терради в клатеку. Вступительные работы образно невыслаются.

Просим при пересылаке не сворачивать терради в трудку. В конверт вместе с терради нужно вложить листок бумаги размером 14×6 см с написанным на нем вашим почтовым адресом (мы наклеем его на конверт, когда будет посылать ответ).

На обложку терради наклейте лист клетчатой бумаги, разграфив и заполнить его по следующему образцу (инчaveвара работа проверяться не будет!):

Область:
Фамилия, имя, год рождения:
Школа (полное название):
Класс:
Фамилия, имя, отчество учитель математики:
Должность родитель:
Омец — шофер,
мать — домашняя хозяйка
е. Томьма, ул. Ленина,
д. 3, кв. 8

РЕЗУЛЬТАТЫ ПРОВЕРКИ
(заполняется проверяющим)

Школьники, проживающие в Архангельской, Калининградской, Ленинградской, Мурманской, Новгородской, Псковской области, Коми и Каральской СССР, Белоруссий, Латвийской, Литовской и Эстонской СССР, должны прислать работы по адресу: Ленинград, П-228, ул. Савушкина, 61, Специнтернат при ЛГУ. Заочная математическая школа. На конкурс.

Школьники, проживающие в остальных области и.resпубликах СССР, должны выслать работы по адресу: Москва, В-234, МГУ, механит, ЗМШ. На конкурс.

57

1. В получругг диаметра 2 вписаны две окружности, которые касаются между собой. Каждый из них касается диаметра и другую окружность. Найти диаметр одной из них, если диаметр другой равен 1.

2. Найти наиболее общий делитель чисел 987654321 и 123456789.

3. Основания трапеции $ABCD$ равны: $AB=a$, $CD=b$. О точка пересечения диагоналей. Определить отношение площади треугольника $OAB$ к площади трапеции.

4. Известно, что $x+\frac{1}{x}$ — целое число.

Докажите, что тогда число $x^8+\frac{1}{x^8}$ — тоже целое.

5. О треугольнике $ABC$ были сделаны следующие 4 утверждения:

1. Треугольник $ABC$ прямогоугольный;
2. $\Rightarrow A=30^\circ$;
3. $AB=2BC$;
4. $AC=2BC$.

Известно, что два из этих утверждений верны, а два других неверны. Найти перimeter треугольника $ABC$, если $BC=1$.

6. Известно, что $a+\theta+c<0$ и что уравнение $ax^2+\theta x+c=0$ не имеет действительных корней. Определить, какой знак имеет число $c$?

7. Про точки $A, B$ и $C$ известно следующие:

для любой точки $M$ на плоскости отрезок $AM$ меньше хотя бы одного из отрезков $BM$ и $CM$. Доказать, что точка $A$ лежит на отрезке $BC$.

8. Сколько делитель имеет число 1971$^{1971}$? (To есть, сколько существует различных целых положительных чисел, на которые это число делится?)

9. Можно ли завернуть кубик с ребром 1 в квадратный кусок бумаги со стороны 3?

10. Можно ли выписать девять чисел 1, 2, 3 …, 9 по кругу в таком порядке, чтобы сумма любых двух соседних чисел не делилась ни на 3, ни на 5, ни на 7?

11. Жители города Правдин всегда говорят правду, а жители города Лгунов всегда лугут. В одном из этих городов между командами этих городов составляется футбольный матч. После матча рядом со stadionом, на котором он проволился, произошел следующий разговор:

$A$ (обращаясь к $B$ и $B$): Я не был на матче. Скажите, кто выигral?

$B$: $\Gamma$ сказал мне, что их команда проиграла.

$B$: Наша команда выиграла.

$\Gamma$ (сдясь в автовосу, идущий в другой город и обращаясь к $A$): Подаем вместе, $A$, ведь мы из одного города.

$A$: Вы ошибаете, $\Gamma$. Я живу здесь. Это $B$ из вашего города.

Определить, кто из каждого города, где проискодил матч и какая команда выиграла.

12. По шоссе в одном направлении с постоянной скоростью через равные интервалы времени без остановок идут автовосы. Однако человек прошел по шоссе 4 км, и за это время его обогнал 6 автовосов. В другой раз он прошел 7 км, и за это время его обогнал 8 автовосов. В третьий раз он прошел 17 км. Сколько автовосов при этом его обогнал? (Все три раза человек шел с одной и той же скоростью).

13. На основании $AB$ равноведренного треугольника $ABC$ взята точка $E$, и в треугольнике $ACE$ и $ECB$ вписаны окружности, которые касаются отрезка $CE$ в точках $K$ и $H$. Найти длину отрезка $KH$, если $AE=a, EB=b$.

58

К статье «Вращательное движение тел».

1. В килограммах, умноженных на квадратный метр ($\kappa \cdot m^2$).
2. Времена скатывания цилиндров одинаковы, так как их моменты инерции равны. (Доказите!)
3. Работа силы треня $A = M \cdot \varphi$ (где $\varphi = 2\pi \cdot 5 = 10\pi$ радан) должна быть равна энергии колеса перед торможением

$$M\varphi = \frac{I\omega_0^2}{2}.$$

Отсюда $M = \frac{I\omega_0^2}{2\varphi} \approx 0,05 \text{ nm}.$

4. Найдем вначале, какую угловую скорость будет иметь Земля через 100 лем. Так как время, необходимое для одного оборота, связано с угловой скоростью формулиой $\tau = \frac{2\pi}{\omega}$, что $\Delta\tau = \frac{2\pi}{\omega_2} - \frac{2\pi}{\omega_1}$, где $\omega_1$ – угловая скорость Земли сейчас ($\omega_1 = \frac{2\pi}{24\cdot 3600} \text{ рад/c} = 7,3 \cdot 10^{-5} \text{ рад/c}$), $\omega_2$ – ее угловая скорость через 100 лет и $\Delta\tau = 1$ с.
   Запишем теперь уравнение движения Земли. $M_{\text{Tp}} = I \alpha$. I – момент инерции Земли. Он равен

$$\frac{2}{5} \cdot 5,9 \cdot 10^{24} \kappa \cdot 4 \cdot 10^{13} m^2 = 9,4 \cdot 10^{37} \kappa \cdot m^2.$$

Подставляя в уравнение движения Земли вместе $\alpha$ его выражение через $\omega_1$ и $\omega_2$, получим $M_{\text{Tp}} = I \frac{\omega_2 - \omega_1}{t} = 2,6 \cdot 10^{19} \text{ nm}.$

5. Работа, которую необходимо совершить за время $t = 10$ час=3,6·10⁴ с, равна изменению кинетической энергии стабилизатора

$$\Delta K = \frac{I\omega^2}{2}.$$

Позному

$$N = \frac{I\omega^2}{2t} = \frac{Mr^2\omega^2}{2t} = 4,5 \cdot 10^4 \text{ em}.$$

6. Действующая на шар сила треня $F_{\text{Tp}} = kmg$ заменяет поступательное движение его центра масс и уvelичивает скорость его врашення. Позному

$$F_{\text{Tp}} = ma \text{ и } F_{\text{Tp}} \cdot r = I\alpha,$$

где $a$ – ускорение поступательного движения шара, $\alpha$ – ускорение врашення шара, $n$ – модуль (n-1) - 1.

Движения и $I = \frac{2}{5}mr^2$ – момент инерции шара.

К моменту $t$ шар будет иметь скорость поступательного движения $v = v_0 - at = v_0 - \frac{F_{\text{Tp}}}{m}t = v_0 - kgt$ и угловую скорость врашення

$$\omega = \alpha t = \frac{F_{\text{Tp}}r}{I} t = \frac{kmgr}{2\frac{5}{mr^2}} t = \frac{5}{2} \frac{kgt}{r}.$$

Если в этот момент просkalзывание прекратиется, то $\omega = \frac{v}{r}$, или

$$\frac{5}{2} \frac{kgt}{r} = \frac{v_0 - kgt}{r}.$$

Отсюда $t = \frac{2}{7} \frac{v_0}{kg}.$

В момент $t$ скорость поступательного движения шара равна $v_0 - kg \frac{2v_0}{7kg} = \frac{5}{7} v_0.$

Пусть, пройденный шаром за время $t$, равен $v_0 t - \frac{at^2}{2} = \frac{12}{49} \frac{v_0^2}{kg}.$

7. Запишем закон сохранения момента импульса

$$I\omega = mR^2\omega_1,$$

где $\omega$ – угловая скорость корабля, а $\omega_1$ – угловая скорость космонавта и $I = \frac{2}{3} MR^2$ – момент инерции корабля.

Это равен ознакомленному моменту $(MR^2 + 2mR^2)\omega = [MR^2 + 2m(R + l)^2]\omega.$

Так как $\omega_1 = \frac{1}{n} \omega$, то после несложных преобразований и этого уравнения найдем, что

$$l = R \left( \sqrt{n + \frac{M}{2m}} (n - 1) - 1 \right).$$

59

Кстать «Комбинаторика»

1. Число $p_k$ может войти в делитель $q$ с показателем $0, 1, \dots, \alpha_k$ всего $\alpha_k+1$ способами. По правилам произведения число делителей равно
   $(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\dots(\alpha_k+1)$.
2. В перестановках, где 4 буквы $e$ идут подряд, их можно обединить и считать одной буквой. Число таких перестановок равно 5!, остается $P(4, 1, 1, 1, 1) - 5! = 1560$.
3. Выпишем гласные в данном порядке. Тогда для буквы $k$ имеем 5 мест; после того как она вписана, для буквы $m - 6$ мест, для $n - 7$ мест. Всего $5\cdot 6\cdot 7 = 210$ способов.
4. Аналогично задаче $2P(3, 1, 1, 1) - 4! = 96$.
5. Каждая цифра в каждой разряде встречается $4^2=16$ раз. Поэтому сумма цифр первого разряда равна 16 $(1+2+3+4)=160$, второго — 1600 и третього — 16 000. Всего получим 17 760.
6. Каждая цифра в каждой разряде появляется $P_4/4=6$ раз. Как и в задаче 5, получаем 66 660.
7. Здесь общее число перестановок равно 12, причем цифры 1 и 5 появляются в каждой разряде по 3 раза, а цифра 2—6 раз. Сумма цифр в каждой разряде равна $3\cdot 1+3\cdot 5+6\cdot 2=30$. Общая сумма равна 33 300.
8. a) Это число всех подмножества множества, состоящего из $n$ элементов. Каждый элемент либо входит в подмножество, либо нет (2 способа). По правилам произведения получаем требуемое равенство.

6. Здесь записано число способов выбрать в множестве, состоящем из $n$ элементов, два подмножества: одно из $k$ элементов, другое из $m - k$. Выбрать можно сначала $k$-подмножество, затем из оставшихся элементов — $(m - k)$-подмножество, или сначала $m$-подмножество, а затем в нем $k$-подмножество.

Кстать «Движение планет»
Оптическая задача
Если источник находится в фокусе $F_1$ (рис. 1), то для любой точки $A$ на эллипсоне, в котором попадает луч, идущий из $F_1$, расстояние $F_2F_1'$ между фокусом $F_2$ и изображением $F_1'$ источника равно $2a$ ($F_1' - \text{отражение } F_1$ относительно касательной $t$). То, что $F_1'AF_2$ — прямая, было доказано в стате. Следовательно изображением источника $F_1$ будет сфера радиуса $2a$ с центром в фокусе $F_2$.

Геометрическая задача
Пусть большая окружность на рисунке 1 «направляющая», а маленькая проходчёз фокус $F_1$ и касается большей $A_1$—

60

3. Проведите окружность через точки A, P, M, Q и перепишите для друг условие $\angle APM = \angle AQM$ (то, что они равны 90°, даже не используется, лишь бы точки A, P, M, Q лежали на одной окружности).

4. Проведите окружность через точки A, M, C. Треугольники подобны по двум углам; опирающимся на дуг AM и AN.

5. Проведите окружность через точки C, M, N, H. Воспользовитесь тем, что CH — диаметр, и докажите, что $\angle BAC = \angle CNM$.

6. a) $90^\circ; 60^\circ; 30^\circ$.

6. $90^\circ; 22^\circ; 5; 67^\circ, 5$.

7. Треугольник определяется с точностью до подобия. Возьмите произвольную точку на биссекторice, считайте ее точкой пересечения биссекторics с описанной окружностью. Перпендикуляр, опущенный из этой точки на сторону треугольника (он параллелен высоте), попадает в основание медины и проходит через центр окружности. Третья точка на окружности получится отражением в этом перпендикулере. Не забудьте провести анализ возможности построения и рассмотреть все возможные случаи.

8. Ключ к решению этой задачи дают вспомогательные окружности, описанные около равносторонних треугольников и пересекающихся в одной точке, через которого просходит и все три прямые $AA_1, BB_1$ и $CC_1$.

9. Пусть на стороне AB треугольника ABC как на диаметре построена окружность. Докажите, что если угол C тупой, то его вершина лежит внутри окружности.

А теперь подумайте, как следует построить окружность, чтобы решить задачу 9.

10. Окружность, проведенная через A, B, C, должна касаться стороны угла в точке C. Докажите, что $\angle SCA = \angle SBC$. Треугольники SAC и SBC подобны. Для определения SC можно проведить любую окружность через точки A и B и определить длину отрезка касательной, проведенной из точки S, от S до точки касания. Это и будет SC.

11. При решении этой задачи можно применить формулу, выражающего сторону треугольника через диаметр описанной окружности и противолежащий угол.

К статье «Вступительные экзамены по математике в МГПИ им. В. И. Ленина»

Вариант I

$$V = \frac{p^9 \cos^2 \alpha tg^2 \frac{\alpha}{2} tg \beta}{12 \cos^4 \frac{\alpha}{2}}.$$

2. Составление уравнения

$$v_1^2 - \frac{2\pi R}{a} v_1 - \frac{(2\pi R)^2}{at} = 0;$$

его решение: $v_1 = \frac{\pi R}{a} \left( \sqrt{1 + \frac{4a}{t}} + 1 \right) -$

скорость первого автомобилья, $v_2 = \frac{\pi R}{a} \times \left( \sqrt{1 + \frac{4a}{t}} - 1 \right) -$ скорость второго автомобилья. Второй корень не удовлетворяет условиям задачи.

3. Если $a = 0$, то $x = 0$; если $a > 1$, то $x = \frac{-1 + \sqrt{4a - 3}}{2}$; если $0 < a < 1$, то корней нет.

4. $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$; $x = 2\pi k$;

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$$

$(k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots)$

Вариант 2

$$V = \frac{h^3}{\sqrt{2} \sin 2\alpha \cos \frac{\alpha}{2} \cos \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} \right)}$$

2. Составление уравнения

$$\frac{a(m - x) + bx}{m} = \frac{b(n - x) + ax}{n},$$

где $a, b$ — количество меди в 1 кг соответствующего в 1-м и 2-м кусках.

После исключения $a$ и $b$ из уравнения получим $(m + n)(b - a)x = (b - a)mn, b > a,$

$$x = \frac{mn}{m + n}.$$

3. $1 < x \leq \sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}} \leq x < \frac{1}{5\sqrt{4}}.$

4. $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$ $(k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots)$.

К статье «Исследений экзамены по физике в НГУ»

Вариант 3

1. Так как волтметр высокоимный, точок через него можно преобразить и потенциально точек $c$ и $d$ можно определить так, как если волтметра вообще не было. Поэтому, полагая, что потенциаль точки $a$ равен нулю, мы можем записать, что

$$\varphi_c - \varphi_d = \Delta U = \frac{UR_1}{R_1 + R_2} - \frac{UR_3}{R_3 + R_4} = U \frac{R_1 R_4 - R_2 R_3}{(R_1 + R_2)(R_3 + R_4)}$$

2. Найда положение центра тяжесте тела, записываем равенства моментов сил давления воды и силы тяжесте, действующего на тело, с учетом того, что вода не подлекает под его нижнюю границу. В качестве оси выбираем ребро нижней границы