Письменный экзамен по физике в НГУ

51

ПИСЬМЕННЫЙ ЭКЗАМЕН
ПО ФИЗИКЕ В НГУ

Г. В. Меледин

Три варианта задач, которые мы печатаем в этом номере журнала, предназначены в этом году тем, кто поступал на физический факультет Новосибирского государственного университета. После условия каждой задачи стоит четкие числа. Первое из них — процент решших эту задачу из числа поступивших, второе — из числа не поступивших, третье — из общего числа поступивших. В скобках указано количество баллов, которые оценываются правильное решение задачи.

Для того чтобы получить удовлетворительное оценку, необходимо было набрать 5—9 баллов. Отличная оценка ставилась, если алгоритм набирал не менее 17 баллов.

Вариант 1

1. Спортивный молот — это ядро на тросике, которое бросают, раскрутив вокруг себя с достаточной скоростью. Найти максимальное расстояние, которое может пролететь молот, если удерживающее усиление спортана перед бросом ядра в $n$ раз превышает вес молота. Расстояние от оси вращения до ядра вдоль тросика равно $l$. Спортивленем воздействия и ростом спортана претенбреть. 90, 53, 66 (5).

2. Проволочная прямогольная рамка с током со стороны длиной $a$ и $b$ закреплена так, что может свободно вращаться вокруг горизонтального расположенной стороны $a$ (рис. 1). Вес стороны $a$ равен $P_1$, а стороны $b—P_2$. Рамка находится в вертикальном однородном магнитном поле с индукцией $B$. Найти величины тока в рамке, если угол наклона рамки к горизонту равен $\alpha$.

3. Космический корпель движется к Луне под влиянием ее притяжения. На большом расстоянии скорость корпель относительно Луны была нулевой. Ускорение силы тяжести на поверхности Луны в $n=6$ раз меньше, чем на Земле ($g_{\pi} = \frac{g}{6}$). Радиус Луны $R$ около 1700 км. На какой высоте $h$ должен быть включен тормозной двигатель для осуществления мягкой посадки, если считать, что двигатель создает пятикратную перегрузку (5 $g$)? Изменением массы корпеля при тормозении за счет сторания топлива и зависяство силы притяжения Луны от расстояния на этапе торможения можно претенбреть ($h$ много меньше $R$). 83, 14, 39 (7).

4. На гладкий клин массы $M$, который скользить лишь горизонтально, падает

52

шарик массы $m$ (рис. 3). Шарик упруго ударяется о грань, образующую угол $\alpha$ с горизонтом. Скорость шарика непосредственно перед удалом равна $v$ и направлена вертикально вниз. Найти скорость клина после удала. Треннем можно пренебречь. 7, 2, 4 (7).

Решения

1. Дальность полета ядра максимальная, если угол его вылета равен $45^\circ$. Причем, что $n \gg 1$. Тогда можно считать, что при раскручивания ядра центростремительное ускорение сообщает ему сила натяжения нити. В момент броска $\frac{mv^2}{l} = nmg$. Это означает, что скорость, которую сообщает ядру спортсмен при броске равна $v = \sqrt{lng}$.

Теперь нетрудно найти дальность полета ядра. Запишем кинематические уравнения его движения:

по вертикали $y = v_{\text{верт}} \cdot t - \frac{gt^2}{2}$, по горизонтали $x = v_{\text{гор}} \cdot t$.

В момент падения на землю $y=0$. Подставляя это значение в первое уравнение, найдем время полета ядра $t = \frac{2v_{\text{верт}}}{g} = \frac{v\sqrt{2}}{g}$. (корень $t=0$ соответствует моменту броска).

За это время ядро пролетит по горизонтали расстояние

$$x = v_{\text{гор}} \frac{v\sqrt{2}}{g} = \frac{v^2}{g} = nl.$$

2. Запишем условие равенства нулю суммы моментов сил, действующих на рамку, учитывая, что моменты сил, действующих в магнитном поле на боковые стороны рамки уравновешивают друг друга (так как токи, induce по ним, противоположны). $P_1b \cos \alpha + 2P_2 \frac{b}{2} \cos \alpha - BIa \sin \alpha = 0$.

Отсюда $I = (P_1 + P_2) \frac{\text{ctg} \alpha}{a}$.

3. Запишем закон сохранения энергии для этапа подлега корабля к Луне. Из аналогии гравицационного поля с электростанческим можно заключить, что если потенциальную энергию тела считать равной нулю бесконечно, далее от Луны, то на расстоянии $H$ от ее центра потенциальная энергия равна $-\gamma \frac{Mm}{H}$, где $\gamma$ — гравицаонная постоянная, $M$ — масса Луны и $m$ — масса тела. Если потенциальную энергию отсутствует от поверхности Луны, то $\Pi = \gamma \frac{Mm}{R} - \gamma \frac{Mm}{H}$.

Далеко от Луны корабль имеет только потенциальную энергию $G \frac{Mm}{R}$, а на высоте $h$ от поверхности Луны, он имеет кинетическая энергию $\frac{mv^2}{2}$ и потенциальную энергию $\Pi = \gamma \frac{Mm}{R} - \gamma \frac{Mm}{R+h}$.

Поэтому $\gamma \frac{Mm}{R} = \frac{mv^2}{2} + \gamma \frac{Mm}{R} - \gamma \frac{Mm}{R+h}$.

Учитывая, что на поверхности Луны $\gamma \frac{Mm}{R^2} = mg_\pi$ и потому $\gamma M = R^2g_\pi = \frac{1}{6} R^2g$, мы можем записать, что

$$\frac{v^2}{2} = \frac{1}{6} g \frac{R^2}{R+h}.$$

53

Изменение энергии корабля при торможении равно работе двигателя. Так как при работе двигателя создается пятикратная перегрузка, то его сила тягги должны быть равна 5 mg. Позтому

$$5mgh = \frac{mv^2}{2} + mg_\pi h = \frac{mv^2}{2} + \frac{1}{6} mgh$$

(tak как $h \ll R$, то $\Pi = \gamma \frac{Mm}{R} - \gamma \frac{Mm}{R+h} = \gamma \frac{Mmh}{(R+h)R} \approx \gamma \frac{Mm}{R^2} h = mg_\pi h$).

Отсюда $\frac{v^2}{2} = \frac{29}{6} gh$.

Подставляя это выражение для $\frac{v^2}{2}$ в уравнение (1), найдем $h \approx \frac{R}{29} \approx 59$ км.

4. Используя закон сохранения энергии и условия сохранения составляющих импульса системы в горизонтальном направлении и вдоль клина, можно записать:

$$v_0^2 = v_x^2 + v_y^2, \quad mv_x = Mn,$$

$$v_0 \sin \alpha = v_x \cos \alpha - v_y \sin \alpha.$$

Отсюда $u = -\frac{v_0 \sin 2\alpha}{M/m} + \sin^2 \alpha$.

Вариант 2

1. Самолет летит по прямой из города $M$ в город $H$ и обратно. Найти отношение полных времени полета в случае, когда от $M$ к $H$ дует ветер, скорость которого равна $u$, и когда ветер с той же скоростью дует перpendикулярно линни $M-H$.

Скорость самолета относительно воздуха в том и другом случае равна $c$. 89, 74, 90 (5).

2. На верхиной точку закрепленного шара поставлен в случае, когда от $M$ к $H$ дует ветер, скорость которой равна $u$, и закрепленного шара; центр тяжестей игрушки — точка $A$ — расположен на поливине радиуса полушара. Упадет ли вьька-встанка с шара? Проскальзывания нет. 83, 22, 44 (6).

3. Схема, изображенная на рисунке 5, подключена к источнику переменного напряжения с амплитудой 220 в и периодом $1/50$ c. Найти максимальное значение напряжения на сопротивлении $R$ и должно perniода, в течение которого ток в цепи отличен от нуля. Нарисовать график зависимости напряжения на сопротивлении $R$ от времени.

Считать, что зависимость тока через диод от приложенного к ней напряжения имеет вид, показанный на рисунке 6. 83, 14, 39 (7).

4. При фотографировании очень удаленного объекта перед объектным фотоаппарата на расстоянии, равном теме фокусным расстоянием, помещили тонкую линейку ширины $D$. Плоскость линейки переменикулярна оптической оси объекта. Объектив представляет собой тонкую диаметром $d$ ($d < D$). Определить ширину тени на пленке (ширину области, в которой линейкой будет затенены все лучи, идущие от фотографируемого объекта). 29, 5, 14, (8).

54

Решения

1. Отношение времени равно
   $$\frac{L}{c+u} + \frac{L}{c-u} = \frac{c}{\sqrt{c^2-u^2}}$$
   ($L$ — расстояние между городами). Если ветер дует перpendикулярно линни $M-H$, то скорость $c$ самолета относительно воздуха должна быть направлена так, чтобы ее сумма со скоростью ветра $u$ была направлена по линни $M-H$.

2. Отклоним игрушку на небольший угол $\alpha$ и посмотрим, что произойдет с центром тяжестии игрушки. Если опустится, то положение равновесия неустойчиво и игрушка упадет; если поднимется, то положение равновесия устойчиво.

На нашем чертеже (рис. 7) линни $O'B$ и $A'C$ вертикальны, а отрезок $O'C$ горизонтален. $O'B=2R\cos \alpha, <A'O'D=\alpha, a <DO'C=90^\circ-\alpha$. Поэтому $<A'O'C=\alpha-(90^\circ-\alpha)=2\alpha-90^\circ$ и
$$A'C = A'O'\sin(2\alpha-90^\circ) = -\frac{1}{2}R\cos 2\alpha.$$

Найдем смешение центра тяжестии.
$$\Delta h = AD - O'B + A'C = \frac{3}{2}R - 2R\cos \alpha + \frac{R}{2}\cos 2\alpha = R(1-\cos \alpha)^2 > 0.$$

Таким образом, мы видим, что центр тяжестии игрушки опустился. Ванька-вставка упадет с полушара.

3. График зависимости тока через диод от напряжения расшифровывается просто: через диод не идет ток, пока приложенное к нему напряжение не достигнет +10 $\theta$. При дальнейшем увеличении напряжения диод эквивалентен сопротивлению в 10 $\omega$.

Пусть переменное напряжение меняется со временем по закону $u(t) = 220\cos \frac{2\pi t}{T}$. Если учесть э.д.c. батарей, то ясно, что диод открывается, когда $u(t_1) = 210\theta$ и закрывается, когда напряжение снова упадет до $u(t_2) = 210\theta$. То есть он открыт, пока $\cos \frac{2\pi t}{T} \geq \frac{210}{220}$.

Позному доля перiodа в течение которого диод открыт, равна $\frac{t}{T} = \frac{1}{2\pi}\arccos \frac{21}{22}$.

55

Максимальное напряжение на сопротивлении $R$ равно 5 $\theta$ (10 $\theta$ делится поровну между диодом и сопротивлением $R$). Качественный график зависимости напряжения напряжения на сопротивлении $R$ от времени показан на рисунке 8.

4. Построим изображение тени, учитывая, что пленка в фогоаппарате расположена в фокальной плоскости (рис. 9). Так как фотографируется удаленный объект, то объектив собирает в фокусе паралельный пучок лучея.

Из построения видно, что $x = \frac{D - d}{3}$.

Попробуйте теперь самостояльно решить задачи варианта 3.

Вариант 3

1. К контуру из сопротивлений $R_1, R_2, R_3$ и $R_4$ (рис. 10) в точках $a$ и $b$ подключен источник постоянного напряжения $U$, а в точках $c$ и $d$ подсоединен высокоотмный волтметр. Какую разность потенциальов показет волтметр? 94, 55, 70 (3).

2. На дне сосуда с жидкостью, удельный вес которого $d$, стоит $\Gamma$-образное тело с размерами, указанными на рисунке 11. Жидкость под нижнюю грань тела не подтекает. Удельный вес тела $d_0 = 2d$. При какой высете $h$ уровень жидкости в сосуде равновесие тела нарушится? 78, 22, 40 (6).

3. Когда конденсатор всегда $P$ подвесили наружные, ее длина увеличилось на $l$. На сколько еще изменяется длинаружины, если в этот конденсатор паралельно пластинам входит пучок электронов? Ток пучка $I$, скорость частиц $v$. Пройдя конденсатор, пучок меняет направление на угол $\alpha$.

Заряд электрона $e$, масса $m$. 87, 29, 51 (7).

4. На крыше с углом наклона $\varphi$ лежит свинцовый лист веса $P$. Коэффициент треня свинца о крышу $k > tg \varphi$. Коэффициент линейного расширения свинца $\alpha$. Считая, что температура в течение суток повышается, достигая наиболее значения $t_1^0$ С, а затем понжается до $t_2^0$ С, определять положение точки, которые неподвижны соответственно при нагревании и оставании листа в течение суток, если длина листа при минимальной температуре $t_1^0$ С равна $l$. Найти, на какое расстояние сползет лист за $N$ суток установлен погоды. 42, 4, 19 (9).