Преобразование электрических цепей

10

В этой статье расссказывается о метода, позволящем упрощать сложные задачи по расчету электрических цепей.

Что мы понимаем под «преобразование цепи»? Предположим, что у нас есть сложная схема из сопротивлений, имеющая множество выводов и подключения к источникам. Заменим эту схему другой, с тем же числом выводов, причем так, чтобы сопротивления между двумя любыми выводами у новой схемы были таким же, как у старой. Ясно, что источники «ничего не узнат» об этой замене, и точки, потребляемые схемой, останутся прежними. Но найти эти точки, возможно, оказется проще.

Следовательно, если мы хотим подсчитать токи в сложной схеме, ее можно заменить более простой эквивалентной схемой. При этом токи внутри заменяемой части меняются. Поэтому так поступать можно только с той частью схемы, которая нас непосредственно не интересует.

С подобными заменами вы уже встретались.

Пусть, например, в схеме два сопротивления $r_1$ и $r_2$ включены последовательно, их мы можем заменить одним, равным по величины сумме $r_1 + r_2$. Если же два сопротивления включены параллельно, то их также можно заменить одним, величины которой равна $R = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$

Это простейшие примеры преобразования цепей. Мы же останавимся на более сложных схемах.

Постотрим, как преобразуется друг в друга схемы, имеющие по три вывода — «звезда» (рис. 1, а) и «треугольник» (рис. 1, б).

Немного непrivычные обозначения (рис. 1, б) очень удобны, индекс показывалот, между какими точками включено сопротивление. Например, сопротивление $R_{13}$ включено между точками 1 и 3 и т. д.

Если мы хотим заменить одну из этих схем другой, нужно получить такие соответствия между $r$ и $R$, чтобы сопротивления между любыми точками были для обеих схем одинаковы.

В схеме «звезды» (рис. 1, а) сопро-

12

Рис. 4.

«треугольник» ACD «звездой», как показано на рис. 4.

Теперя ясно, что сопротивление между точками A и B будет равно
$$\frac{1}{3} + \frac{28}{33} = \frac{13}{11} \text{ ома}.$$

Мы заменяли «треугольник» ACD «звездой», но можно было решать задачу иначе — заменя «звезду» ADB «треугольником».

Пусть теперь к точкам A и B подключена батарея с пренебрежимом малым внутренним сопротивлением и с э.д. с. E=1 в. Нужно найти ток через участок CB.

Преобразовать схему надо так, чтобы не затронут интересующей нас сопротивление CB. Подойдет то преобразование, которое мы делали раньше (рис. 4).

Используя то, что $R_{AB} = \frac{13}{11} \text{ ома}$, получим $I = \frac{E}{R_{AB}} = \frac{11}{13} a$. После разветвления точки подляется в относении, обратном сопротивлениям ветвей:

$$\frac{I_1}{I_2} = \frac{7}{4}.$$

При этом $I_1 + I_2 = I$. (I — ток до разветвления, $I_1$ — ток в верхней ветви, $I_2$ — ток в нижней ветви).

Отсюда

$$I_1 = \frac{7}{13} a$$

Немного сложнее было бы найти ток, идущий через участок CD. Для этого пришлось бы еще найти ток,

13

Рис. 6.

тенциометра. Причем сумма сопротивления $5r+R_1$ и $7r+R_2$ остается постоянной. Посмотрим, какими они должны быть, чтобы полное сопротивление было максимальным. Обозначим $5r+R_1$ через $r_1$ и $7r+R_2$ через $r_2$. Тогда общее сопротивление включенных параллельно частей схемы $r_0 = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$. Если учеть, что $r_1+r_2 = const = c$, то сопротивление $r_0$ выразится так: $\frac{r_1 (c-r_1)}{c}$. Это выражение максимально, когда максимальное число слипель. Но $y = (cr_1-r_1^2)$ — это уравнение параболы (рис. 7), ветви которой пересекают ось абсцисс в точках $O$ и $c$. Поэтому численный дроби наибольший при $r_1 = \frac{c}{2}$. Так как $r_1+r_2 = c$, то это означает, что сопротивление между точками $A$ и $B$ максимально, если $r_1=r_2$, то есть $5r+R_1=7r+R_2$, или $R_1-R_2=2r$.

Ясно, что это возможно лишь в том случае, если сопротивление всего потенциометра $R=R_1+R_2$ не меньше чем $2r$. В противном случае максимум сопротивления между точками $A$ и $B$ достигается, когда движок потенциометра находится в крайнем положении.

Итак, ответ: $R \leq 2r$.

Метод, о котором мы рассказыли, очень удобен для последовательного преобразования сложной схемы к простому виду. Он позволяет расчитать практические любую сложную цель, состоящую из сопротивлений.

Этот метод можно применять к цепям, содержащим не только сопротивления.

Обратите внимание на то, что мы вообще не говорили нигде о физических процесах в цепи, а пользовались только формальным выражением для закона Ома: $U=r \cdot I$. Из него следует, что при последовательном соединении их величины складываются, а при параллельном — складываются величины, обратные сопротивлением $\left(\frac{1}{r_{06\pi}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}\right)$. Понятно, что если какие-нибудь другие физические величины связаны законом, аналогичным закону Ома, то все наши выводы справедливны и для них.

В качестве примера рассмотрим цепь с конденсатором (рис. 8). Мы знаем, что $Q=C \cdot U$, или $U = \frac{1}{C} Q$.

14

Рис. 9.

Сравним это с выражением для закона Ома $U=r \cdot I$.

Видно, что законы положки, только вместе тогда стоит заряд, а вместе сопротивления — величины, обратная емкость. Это означает, что для того, чтобы найти, скажем, заряды на конденсаторах, можно поступить так. Вместо цепи, содержащей конденсаторы, нарисовать цель, содержащую сопротивления, причем конденсатор емкостью $x$ фарад заменить сопротивлением $r = \frac{1}{x} \text{ om}$. После того, как мы рассчитаем ток в цепи из сопротивлений, можно сразу написать, каковые заряды на конденсаторах: если по сопротивлению течет ток $I=y$ амер, то на соответствующем конденсаторе будет заряд $Q=y$ кулонов.

Э. д. с. батарей при таком преобразования цепи остаются без изменения. Но, разумеется, в цепи с конденсаторами внутренние сопротивления батарей не влияют на результат. Поэтому, преобразуется цель, нам придетя лишить батарей их внутренних сопротивлений.

Пусть, например, нужно найти заряд на конденсаторе емкостью $10 \text{ мкф}$ (рис. 9). Конденсатору