Нравится ли вам возиться с целыми числами?

15

НРАВИТСЯ ЛИ ВАМ ВОЗИТЬСЯ
С ЦЕЛЫМИ ЧИСЛАМИ?

М. И. Башмаков

Несолько школьникам предложили ответить на такой вопрос:
Узнать, верно или нет равенство $3^{100} + 7^{100} = 8^{100}$.
Через несколько минут все они ответили, что это равенство неверно.
Вот наиболее типичные обязывания.

1. Посмотрим на последнюю цифру чисел, стоящих справа и слева. 3 в квадрате — это 9, 3 в кубе кончается на 7, в четвертой степени — на 1, в пятой — на 3, в шестой — на 9 и т. д. Через четыре степени последняя цифра повторяется, поэтому у числа $3^{100}$ последняя цифра та же, что у $3^4$, то есть 1. Точно так же легко считать, что у $7^{100}$ последняя цифра тоже 1, а у $8^{100}$ — 6. Итак, у числа последняя цифра 2, а справа — 6. Следовательно, числа слева и справа различны.

2. $3 + 7$ больше, чем 8. Но $3^2 + 7^2 = 58$ меньше, чем $8^2 = 64$. Далее, $3^{100} + 7^{100} = (3^2)^{50} + (7^2)^{50} < (3^2 + 7^2)^{50} = 58^{50} < 64^{50} = 8^{100}$. Получили, что слева стоит число меньше, чем справа.

3. Число, стоящее слева, делится на 2, но не делится на 4. Действительно, любое нечетное число в квадрате дает единицу в остатке от деления на 4: $(2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1$. Сумма двух таких чисел $(3^{50})^2 + (7^{50})^2$ дает в остатке 2. Справа же стоит число, делящаяся на 4.

Похожи ли друг на друга приведенные доказательства? Легко заметить сходство первого и третьего: в том и в другом сравниваются остатки от деления на некоторое целое число, в одном — на 10 (последняя цифра), а в другом — на 4. Но найти аналогию между этим доказательствами и вторым совсем не так просто. Мы попробуем просчитать ее в конце этой статьи. Пока же научимся применять первый способ рассужждения к некоторым другим задачам.

Вышисления «по модулю»

Зад ач a 1. Доказать, что уравнение $x^3 = 2 + 3 y^2$ не имеет решений в целых числах.

Рассмотрим это уравнение «по модулю 9», то есть с точностью до слагаемых, кратных деляти *). Поскольку каждое целое число $x$ имеет вид $3n$, $3n - 1$ или $3n + 1$, где $n$ — целое, $a(3n \pm 1)^3 = 27n^3 \pm 27n^2 + 9n \pm 1 = 9k \pm 1$, где $k$ — целое число, то любое число в кубе или делится на 9, или дает при делении на 9 в остатке 1 или 8.

*) Вообщше, два целых числа $a$ и $b$ называют сравнимыми по модулю $k$, если разность $a - b$ делится на $k$. Тем, кто не знаком с этим понятением, мы советем посмотреть статью А. А. Егорова «Арифметика остатков» в «Кванте» № 5, 1970.

Точно так же, поскольку $3(3n \pm 1)^2 = 27n^2 \pm 18n + 3$,

$3y^2$ дает при делении на 9 остаток 0 или 3. Итак, права часть нашей уравнения по модулю 9 может равнять только 2 или 5, а левая — только 0, 1 или 8, так что они не могут совпадать ни при каких целях. Самы вычисления «по модулю» проделать просто. Сформируем основное правило этих вычислений: если при сложении (или при умножении) мы замещаем числа сравнимыми с ними по

16

модулю $k$, то получаем число, сравнимое с суммой (или произведением) по модулю $k$. Иными словами, в равенстве, в котором функцияют действия сложения и умножения, можно заменять числа на сравнимые с ними по модулю $k$ всегда, когда в ответе мы интересуемся лишь остатком от деления на $k$.

To, что $a$ и $b$ сравнимы по модулю $k$, записьают так: $a \equiv b \pmod{k}$. Правила операций над сравнениями можно записать так:

$$\text{если } \begin{cases} a \equiv b \pmod{k}, \\ c \equiv d \pmod{k}, \end{cases}$$

$$\text{то } \begin{cases} a + c \equiv b + d \pmod{k}, \\ ac \equiv bd \pmod{k}. \end{cases}$$

Напомним, что по определению $a \equiv b \pmod{k}$ означает, что $a - b = k \cdot q^*$.

Займется такой, довольно искусственной задачей.

Задание 2. Доказать, что равенство $1153^{60} + 211^{60} = 27027 \cdot 100^x + 2$ невозможно ни при каком целом $x$.

Ясно, что если по какому-либо модулю мы не получим равенства, то его не может быть и в общим смысле. По модулю 2 никакого противоречи не обнаруживается — справа и следа стоит четные числа (нули по модулю 2). Займется модулем 3. $1153 \equiv 1 \pmod{3} = 1153^{60} \equiv 1 \pmod{3}$; $211 \equiv 1 \pmod{3} = 211^{60} \equiv 1 \pmod{3}$. Справа $27027 \equiv 0 \pmod{3}$. Поэтому вся правая часть дает в остатке 2. Снова не получаем противоречи. Если у вас хватит терпения, убедитесь в том, что по модулю всех чисел до 16 включительно написанное равенство справедливо. (Вы заметите, что $27027 \cdot 100^x, x \geq 2$, делится на каждое из этих чисел, а следа будет получаться в остатке 2.)

*) Будьте осторожны с делением сравнения. Если $ac \equiv bc \pmod{k}$, то не обязательно верно, что $a \equiv b \pmod{k}$. Например, $27 \equiv 3 \pmod{6}$, но $9 \neq 1 \pmod{6}$. Однако если $c$ взаимно просто с модулем $k$, то сокращать на $c$ можно. Это является следствием такого ежного и не просто доказываемого факта: если $c$ взаимно просто с $k$, то существует такое число $x$, что $cx \equiv 1 \pmod{k}$.

Если вы будете последовательны, то по модулю 17 вы получите следующие равенство: $(-3)(-2)^x + 2 \equiv 0 \pmod{17}$. Перебирая подряд значения $x$ (цикл здесь получится длины 8), вы ни разу не получите нужного равенства. Противоречие найдет.

Проделанные выкладки будут сразу много вопросов:

(1) Если равенство неверно, то можно ли это обнаружить по какому-либо модулю?

(2) Можно ли как-то указывать те модули, по которым более вероятно получить противоречия?

(3) Связано ли между собой поведение равенства по разным модулям?

Если идет речь о каком-то конкретином числовом равенстве (как это было у нас в самом первом примере), то, конечно, всегда такая числа, сравнимая по модулю которой мы нашуаем противоречие (например, можно взять число, большее общих частей равенства). Гораздо более интересны равенства, в которых есть переменные (так было в двух последних примерах). Для уравнения в целых числах каждой из трех поставленных вопросов интересен и не всегда исследован до конца.

Немного недоказанного

Первые уравнения в целых числах, при решении которых появляются сердезные трудности, — это квадратные уравнения*. Издавна математики интересовались вопросами такого сорта: можно ли данное число число представить в виде суммы двух квадратов? Оказалось, что разрешимость уравнения вида $x^2 + y^2 = a$ и других более общих, задаваемых многочленами второй степени, свидетель к проверке разрешимости сравнения (положи-

*) Теория линейных целочисленных уравнений довольно проста. В то же время она содержит ряд интересных задач, близких к элементарным, и заслужевает отдельной статы.

18

исследования вопросов, касающийся цельх чисел: поставить эти вопросы «по модулю $p$», а затем из поведения по всем $p$ делать общие выводы. Такой способ расчудения получили название «приицпа Минковского — Хассе». Нашлись и продолжают еще встречаться задачи, для которых он дает результат: задача имеет решение в цельх числа тогда и только тогда, когда она разрешима по любому модулю. Тем большем разочарованием было нахождение примеров, где этот принцип не работает. Одним из первых примеров такого рода (но не самым первым хронологически) оказался пример, найденный норвежским математиком Зельмером. Уравнение $3x^3+4y^3+5z^3=0$ оказалось разрешимым по любому модулю (и, конечно, в вещественных числах), но неразрешимым в цельх числа (отличных одновременного от нуля). Этот пример послужил отправной точкой многохиследовании по диофантсвым уравнением (то есть уравнением в цельх числа) последних 15 лет. Следует только сказать, что за это время число неясных вопросов и гипотез сильно увечились, а истинные корни того, что на самом деле проискодит, не проясились.

Расстояния между рациональными числами

Важнейшим современным достижением в теории чисел является новое понимание того, что ознакомлен «вычисления по модулю». Для простоты от цельх чисел перейдем к рациональным. (Этот переход часто делает безболезненно — так, оченьным образом связаны между собой решения уравнения $x^n+y^n=z^n$ в цельх числа с решениями уравнения $x^n+y^n=1$ в рациональных.) Ясно, что, если мы хотим решить уравнение в рациональных числах, мы должны узнать, решается ли оно в вещественных числах. Эту разрешимость проверять гораздо проще: можно извлекать различные корни, логарифмировать, писать неравенства и т. п.

Но вспомним, как же получились вещественные числа из рациональных? Одана из точек зреня такова: можно рассматривать последовательности рациональных чисел, расстояние между соседними членами которых неограниченно уменьшается. Например, 1; 1,4; 1,41; 1,4142; … Такая последовательность (которую можно представлять себе как последовательность изменений с возрастной точностью) и определяет вещественное число. Как же изменяется отклонение друг от друга соседних членов последовательности? Если последовательность записать так: $a_1; a_2; a_3; ...$, то расстояние между членами записывается как $|a_m-a_n|$. Таким образом, основой для получения вещественных чисел из рациональных служит расстояние, определяенное как абсолитная величины разности. Обозначим расстояние между двумя числами так: $d(a, b) = |b-a|$. Попробуйте вывести следующие свойства расстояния*:

1. $d(a, b) \geq 0$, при чем $d(a, b) = 0 \Rightarrow a=b$;
2. $d(a, b) = d(b, a)$;
3. $d(a, c) \leq d(a, b) + d(b, c)$ (неравенство треугольника);
4. $d(a+c, b+c) = d(a, b)$;
5. $d(ab, 0) = d(a, 0) \cdot d(b, 0)$.

Okазалось, что, кроме общей абсолитной величины, у рациональных чисел есть еще много других расстояний, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами, обладающих свойствами,领悟ы, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражы, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражы, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, выражения, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, всимый, величимый, величимый, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, величимы, вичный с исный, величный с исный, величный с исный, величный с исный, величный с исный, величимы, величимы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы, величисы

19

виде несократимой дроби ни в числитель, ни в знаменатель не входит $p$. (Заметим, что $v(a)$ может быть и нулем, и отрицательным целым числом. Например, если $p=3$, $a=\frac{73}{324}=3^{-4}\cdot\frac{73}{4}$, то $v(a)=-4$.) Возьмем теперь произвольное положительное число $\lambda<1$. Определим расстояние $d_p$ так: $d_p(a,b)=\lambda v(a-b)$, если $a\neq b$, и $d_p(a,a)=0$. Нетрудно проверить (пробуйте это сделать самостояльно), что все свойства расстояния будут выполнены.

Раз есть новое расстояние, то можно попробовать получить новые числа, строя последовательности разциональных чисел $a_1, a_2, \ldots$, так, чтобы расстояния между соседними уменышались. Это означает, что $\lambda v(a_{n+1}-a_n)$ при увеличении $n$ должно становиться все меньше и меньше и стремится к нулю, а тогда $v(a_{n+1}-a_n)$ должно рассти.

В итоге получим новые числа, которые называют $p$-адическими $^*$. Они очень похожи на вещественные. Так же легко, как и для вещественных чисел, исследуются вопросы, когда можно извлечь корень, логарифмировать и делать другие операции над $p$-адичесными числами. Задча же о разрешимости уравнения по модели степени данного простого числа заменится задачей о разрешимости его в $p$-адических числах.

Возникает вопрос, нашли ли мы все расстояния между разциональными числами. Оказывается, что да. Есть знаменатель теорема Ostrovского (с ней можно познакомиться в цитированной выше книге по теории чисел), показывающая, что все расстояния исчерпываются общной абсолотной величины и введеными нами $p$-адичесими расстояниями для каждой простого $p$.

Мы как бы уравняли в правах поведение уравнения по модели отделно взятого простого числа и его степени, с одной стороны, и поведение его в обычных вещественных

$^*)$ Легко доказать, что выбор $\lambda$ на простение и свойства $p$-адичесих чисел не влияет. Можно, если угодно, всюду считать, что $\lambda=\frac{1}{2}$ или $\lambda=\frac{1}{p}$.

числах — с другой. В том и в другой случае числа сравниваются по их расстоянию друг от друга, но эти расстояния выбираются по разному. (Телер мы видим, чем похожи второе и третье решение задачи, с которой началась наша статья.)

Понимание этого факта сильно обогатило теории чисел, снова привело в нее мощные методы теории функций и геометрии, развивые прежде для общих вещественных чисел, но успешно применяемые и для $p$-адических чисел, сделало эту сумму древнюю ветвь математики новых одной из самых цветущих.)

Упражнения

1. Докажите, что ни одно из уравнений a) $x^2+y^2=1971$, b) $19x^3-17y^3=50$, b) $3x^2-y^2=5^z$, r) $x^3+y^3+7z=3$ не имеет решений в целых числах.

2. Докажите, что из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 нельзя составить двух различных семизначных чисел, из которых одно делится на другое. (В каждом цифре быть использованы все цифры.)

3. Докажите, что число, десятичная запись которого состоит из трицати единиц, неокоторого количества нуля и неокоторого количества девяток, не является полным квадратом.

4. Найдите 5-адичское расстояние (то есть расстояние $d_5$) между числами: a) 0 и $\frac{2}{5}$; b) $1\frac{31}{45}$ и $6\frac{2}{15}$; b) 6 и 631.

5. Докажите, что для 3-адичесих чисел верно равенство

$$1+3+9+27+\ldots=-\frac{1}{2}$$

(другими словами, последовательность расстояний

$$\alpha_n=d_3\left(1+3+\ldots+3^n,-\frac{1}{2}\right)$$

стремится к нулю).

Чему равна сумма $1+3^2+3^4+3^6+\ldots$?