Об одном свойстве биномиальных коэффициентов

16

А. И. Ширшов

В «Кванте» № 6 за 1970 год была опубликована статья Д. Б. Фукса и М. Б. Фукса «Арифметика биомиальных коэффициентов». В этой статье авторы предложили следующее задачу: пусть $p$ — простое число; выяснить, на какую степень $p$ делится число $C_{p^{n+1}}^{p^n} - C_{p^n}^{p^{n-1}}$

Эта задача привлекала внимание многих наших читателей. Редакция получила письма от В. Г. Гайдаловича (Ташкент), С. П. Крутика (станица Старо-Шербинская Краснодарского края), учёника 9 класса А. Меркуверева (Ленинград), В. В. Прленского (Москва) и других товаровшей, которые предложют разной степень решения этой задачи.

Мы попросили видного советского алгебраиса, члена-корреспондента Академии наук СССР А. И. Ширшова подробно осветить решение поставленной задачи.

Школьникам хорошо знакомы многое научно-популярные книги и статьи по математике. Они пишутся по возможности просто, подробно и доступно, ярким и живым языком, с занимаемыхыми примерами и красочных картинками — так, чтобы заинтересовать читателя, дать ему возможность легко разобраться в материале.

А как пишутся серверные математические статьи в солидных научных журналах? Предлагаемая внимание читателей статьи А. И. Ширшова дает представление о научном математическом стиле изложения. По своему содержанию она волне доступна старшеклассникам, но написана специально так, как пишутся заметки, скажем, в журнал «Доклады Академии наук СССР».

Научно-mатематический стиль характеризуется скатостью и лакониностью. Как правило, изложение разбиается на отдельные ступенки — леммы, поднимаясь по которым, мы и приходим к заключительному результату — теореме. Начная статья всегда содержит постановку задачи, объяснение вводимых понятий и использованных обозначений, ссылки на литературу. Доказательства подробно не воспроизводятся — намечается лишь их идея и общий ход рассужdenя. Поэтому читать такой статью можно лишь с карандашом и бумагой в руках, восстанавливая промежуточные выкладки; понимание ее содержания требует определенного напряжения и самостояльных размышлений.

Любитель математики, несомненно, будет интересно познакомиться с научным математическим стилем изложения.

В статье [1] высказано предложение, что числа вида $C_{p^{k+1}}^{p^k} - C_{p^{k-1}}^{p^{k-2}}$, где $p$ — простое, делится на достаточно высокую числа $p$. Однако доказано это утверждение лишь в случае $p=2$ (теорема 5 из [1]).

Настоящая заметка посвящена доказательству более общей теоремы.

Все рассматриваемые в дальнейшем числа $m, k, t, s$ и т. д. натуральные, причем $p$ — простое число. Символ $(m, n)$, как обычно, означает наиболее общий делитель чисел $m$ и $n$. Символ $[k, s]_n$ мы будем обозначить произведение всех таких натуральных чисел $t$, что $k \leq t \leq s$ и $(t, n)=1$; на-

20

Заметив, что
$$1(p^{k-1}-1) \cdot 2(p^{k-1}-2) \dots \frac{1}{2}(p^{k-1}-1) \frac{1}{2}(p^{k-1}+1) = [1, p^{k-1}]_p,$$

можем записать:
$$[p^k - p^{k-1}, p^k]_p = [1, p^{k-1}]_p + p^{2k-1}(p-1)[1, p^{k-1}]_p \cdot \frac{1}{2} \left\{ \frac{2}{1(p^{k-1}-1)} + \dots \right\} + p^{4k-2}Q =$$
$$= [1, p^{k-1}]_p + \frac{1}{2} p^{2k-1}(p-1)[1, p^{k-1}]_p \times$$
$$\times \left\{ \frac{1}{1(p^{k-1}-1)} + \dots + \frac{1}{(p^{k-1}-1)1} \right\} + p^{4k-2}Q,$$

что и доказывает lemmy при $p > 2$.
Случай $p = 2$ рассматривается по такой же схеме.
Лемма 12.

$$1^2 + 2^2 + \dots + (p-1)^2 + (p+1)^2 + \dots + (p^{k-1}-1)^2 =$$
$$= \frac{1}{6} p^{k-1}(p^{k-1}+1)(2p^{k-1}+1) - p^k L, \quad p > 2$$
(в левой части выписываются все числа, взаимно простые с $p$).
Доказательство. Достаточно представить левую часть в виде
$$\sum_{i=1}^{p^{k-1}} i^2 - p^2 \sum_{i=1}^{p^{k-2}} i^2$$

и обе суммы вычислить согласно lemme 1.
Теорема. Справедливый следующее равенства:
$$C_{p^k}^{p^{k-1}} - C_{p^{k-1}}^{p^{k-2}} = p^{3k-1} R, \quad p > 3;$$
$$C_{3k}^{3k-1} - C_{3k-1}^{3k-2} = 3^{3k-2} S;$$
$$C_{2k}^{2k-1} - C_{2k-1}^{2k-2} = 2^{3k-3} T,$$

где $k \geqslant 3$, а $R, S, T$ — неокотые целые числа.
Доказательство теоремы осуществляется последовательным использованием lemme 9, 11, 6, 12, 2.

Замечание. Из доказательства теоремы можно дополнительно увидеть, что указаны в теореме числа $S$ и $T$ не делятся на 3 и 2 соответственно. Автору неизвестно, как обстоит дело в общем случае — делится или не делится на $p$ число $R$.

Цитированная литература

1. Фукс Д. Б., Фукс М. Б., Арфметика биомпальных коэффициентов. «Квант» № 6, 1970, стр. 17—25.
2. Соминский И. С., Метод математической индукции. М., Физматгиз, 1961.
3. Егоров А. А., Сравнения по модулю и арфметике остатков. «Квант» № 5, 1970, стр. 27—33.

Примечание редакции. Как сообщил нам читатель Ю. Трахтман (Днепропетровск), ему удалось получить неокотые числа, при которых числа $R, S, T$, фигурирующие в теореме, не делятся на $p, 3, 2$ соответственно. Однако этот результат формулируется в терминах, незнакомых школьникам и доказывается незелементарными средствами.