Олимпиаду проводит электронная вычислительная машина

58

2. Vores stad har tre store biografer.
   В нашем городе три больших кинотеатра.
3. Loftferne, der er i vores hus, er store.
   Чердаки, которые есть в нашем доме, большие.
4. Vores stad har en stor biograf.
   В нашем городе большой кинотеатр.
5. Loftet af vores hus er stort.
   Чердак нашего дома большой.

Задание 1. Переведите следующие фразы на датский язык:

1. Кинотеатры, которые есть в нашем городе, большие.
2. В нашем доме три больших чердака.
3. Кинотеатр нашего города большой.

Задание 2. Разберите по составу слова loftferne и напишите, что означает каждая его часть.

II. О записи:
Вучук… занимал… эта… час…
известно, что она получена из граматических правилной русской фразы, состоящей из четырех слов, отсечением некоторых конечных букв (не более 3 букв у каждой слова). Причем, отсекались только окончания и, кроме того, у некоторых слов буквы могли и не отсекаться.

Задание е. Определить, из скольких предложений могла получиться такая запись.

III. Дается фрагмент из японской таблицы умножения:
футацу × еёцу = яцу
ицуцу × ицуцу = нидзюго
яцуцу × коконцу = ситидзюни
ицуцу × яцу =ёндзю
мицу × мицу = дюхати
коконцу × мицу = нидзюсти
коконцу × муцу = ?
коконцу × ? = хатидзюти
ёцу × ? = сандзюни
футацу × нанацу = ?

Задание е. Заполните места, где стоит «?».

ОЛИМПИАДУ ПРОВОДИТ ЭЛЕКТРОННАЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАШИНА

Ю. И. Соркин,
Н. Б. Шкундина

В января — апреле этого года впервые Московским экономико-статическойским институтом была проведена математическая олимпиада для школьников выпускных классов с учетом электронно-вычислительной машины. Олимпиада проходила в дватура. Второй тур проводился с помощью машин «Минск-22», к участю в нем были допущены лишь школьники, успешно проведшие первый тур.

Первый тур проходил заочно. В нем приняли участие все желающие школьники Москвы и близлежащих районов Московской области. На решение пяты задач первого типа давался срок месцц (то есть до 15 февраля).

Задачи первоготура

1. Куб с ребром а средан плоскости по углам так, что от каждой грани остался правилный многоугольник. Найти объем полученного тела.
2. Имеет ли уравнение $b^2x^2 + (b^2 + c^2 - a^2)x + c^2 = 0$, где a, b и c — длины сторона неокоторого треугольника, действительное решение?
3. Сумма нескольких последовательных натуральных чисел равна 1000. Найти все такие последовательности.
4. Доказать, что для тупоугольного треугольника имеет место неравенство $\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C > 1$.

59

5. Определить угол треугольника, в котором медиана, биссектриса и высота делят угол на четверные части.

Разбор задач первого тура

1. Ясно, что каждое из восемми средаемых у куба по углам тела является правильной треугольной примидой с прямыми углами между боковыми ребрами (рис. 1). Если

Рис. 1.

обозначить сторону основания примиды через $b$, то $AD = \frac{b\sqrt{3}}{2}, OD = \frac{b\sqrt{3}}{6}, CD = \frac{b}{2}$, и тогда по теореме Пифагора высота примиды $EO = \frac{b\sqrt{6}}{6}$. Площадь основания равна $\frac{b^2\sqrt{3}}{4}$. Поэтому объем такой примиды равен $\frac{b^3\sqrt{2}}{24}$, а объем тела, получащегося из куба средом восемми таких примид, равен

$$a^3 - \frac{b^3\sqrt{2}}{3}.$$

Так как по условиям задачи от граней куба должны остаться правильные многоугольники, то решейдва. Могут быть восеммиугольники или квадраты (рис. 2 $a, 6$).

В первом случае $b = a(\sqrt{2} - 1)$, и тогда из (1) после преобразования получаем $V = \frac{7a^3(\sqrt{2} - 1)}{3}$.

Во втором случае $b = \frac{a\sqrt{2}}{2}$, и тогда из (1) находится $V = \frac{5a^3}{6}$.

Заметим, что лишь 20% школьников нашли оба решения задачи. Остальные нахождения только одно решение. При этом предоптения не было для какого-либо одного из двух многоугольников — какый получил приблинительно равное число головов.

2. Покажем что дискриминант $D$ данного квадратного уравнения

Рис. 2a.

Рис. 26.

60

отрицательен. Действительно,
$$D = (b^2 + c^2 - a^2)^2 - 4b^2c^2 = (b^2 + c^2 - a^2 - 2bc)(b^2 + c^2 - a^2 + 2bc) = [(b - c)^2 - a^2] \times [(b + c)^2 - a^2]$$
но так как $a, b$ и $c$ — длины сторона треугольника, то $|b - c| < a$ и $b + c > a$, то есть соответствен $(b - c)^2 - a^2 < 0$ и $(b + c)^2 - a^2 > 0$, то есть $D < 0$.

3. Пусть искомая последовательность имеет вид
   $$k + 1, k + 2, \dots, n - 1, n$$
   Тогда ее сумму можно представить как разность сумм отрезков натурального ряда от 1 до $n$ и от 1 до $k$, то есть
   $$\frac{(n + 1)n}{2} - \frac{(k + 1)k}{2} = 1000$$
   или $n^2 + n - k^2 - k = 2000$.
   Левую часть этого равенства разложим на два множители, а правую на простые множители:
   $$(n + k + 1)(n - k) = 2^4 \cdot 5^3$$
   Заметим, что оба множители $n + k + 1$ и $n - k$ в левой части этого равенства четными быть не могут, так как их сумма $2n + 1$ нечетна. Кроме того, первый множитель больше второго. Тем самым мы приходим к совокупности четых систем:
   $$\begin{cases} n + k + 1 = 2000, \\ n - k = 1, \end{cases} \quad \begin{cases} n + k + 1 = 400, \\ n - k = 5, \end{cases} \quad \begin{cases} n + k + 1 = 80, \\ n - k = 25, \end{cases} \quad \begin{cases} n + k + 1 = 125, \\ n - k = 16. \end{cases}$$
   Первая из этих систем дает тривальную «последовательность», состоящую из единственного числа 1000. Остальные системы приводят к последовательности:
   198, 199, 200, 201, 202;
   28, 29, …, 51, 52;
   54, 55, …, 69, 70.

4. Пусть для определения типы будет угол $C$. Тогда $0 < B < \frac{\pi}{2} - A$, и поэтому
   $$\cos B > \cos \left( \frac{\pi}{2} - A \right) = \sin A > 0$$
   а следовательно, $\cos^2 B > \sin^2 A$.

Тогда $\cos^2 A + \cos^2 B > \cos^2 A + \sin^2 A = 1$, то есть $\cos^2 A + \cos^2 B > 1$, и тем самым подавно
$$\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C > 1$$
что и требовалось доказать.

5. Подавляющее число участников одимппады решало эту задачу

Рис. 3.
Введением в рассмотрение вспомогательной окружности (см. «Квант» № 1, 1971). Однако эта задача допускает более короткое решение (Галина Авербух, $10^6$ класс шкoles № 200, Алексей Водовозов, $10^a$ класс шкoles № 569).

Пусть в треугольнике $ABC$ (рис. 3) медиана $BD$, биссерриса $BE$ и высота $BF$ делят угол $B$ на четые равные части, каждая из которых обозначается $\alpha$. Тогда
$$AF = h \ tg 3\alpha; DF = h \ tg 2\alpha$$
и $FC = h \ tg \alpha$.
Далее
$$AD = AF - DF = h \ (tg 3\alpha - tg 2\alpha)$$
$$DC = DF + FC = h \ (tg 2\alpha + tg \alpha)$$
но по условию $AD = DC$, то есть
$$tg 3\alpha - tg 2\alpha = tg 2\alpha + tg \alpha$$
или
$$2 \ tg 2\alpha = tg 3\alpha - tg \alpha$$
$$\frac{2 \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 3\alpha \cos \alpha}$$

Так как $\sin 2\alpha \neq 0$, то $2 \cos 3\alpha \cos \alpha = \cos 2\alpha$ или
$$\cos 2\alpha + \cos 4\alpha = \cos 2\alpha$$
то есть $\cos 4\alpha = 0$.
Отсюда следует, что угол $B$ принадлежит.

61

Второй тур

Сорок воемь ребят, успешно прошедших первый тур, собрались 25 апреля в МЭСИ, чтобы продолжить «соревнование».

Во втором туре одним из «членов» организационного комитета олимпiadы была электронно-вышистельная машина «Минск-22». На долю этого «члена» выпала основная работа. В машинную память было заложено несколько тысяч задач. Каждая задача была снабжена специальным кодом, указывающим раздел математики, к которой относится эта задача, и степень трудности (все задачи были различных разделов математики одинаковой суммарной трудности).

Машина для каждой участника олимпiadы наречала варнант.

По истечении срока (четыре часа по 45 минут) работы были отделены машине на проверку*). Машина сравнила полученные решения задачи с свойствами и тех, кто решил все пять задач правильно, объявила победители. Все эти работы машина проделала за то время, пока участники олимпiadы знакомились с институтом.

Шесту учеников десятых классов Москвыских школ были нагружены грамотами МЭСИ, памятными подарками:

*Елена Савина, Виктор Зак, Сергей Мапенов, Марк Рицель, Алексадр Розин, Леонид Терехов.

Проведение математической олимпiadы машиной явилось завершаюшим этапом работы по проведению встретильных экзаменов по математике и физике с помощью ЭВМ. Эта большая работа проводится под руководством ректора МЭСИ проф. М. А. Королева, проф. И. Г. Венецкого и доктора технических наук А. Г. Морозова.

*) Все задачи имели числовые ответы.

1. Вокруг куба описан цилиндр так, что диагональ куба является осью цилиндра. Найти площадь боковой поверхности цилиндра, если площадь диагонального сечения куба равна $18 - 6\sqrt{2}$.

2. Решить уравнение
   $$\lg^2 3 + \lg^2 2 = \lg^2 3x + \lg^2 2x.$$

3. Сечение делит треугольную пирамиду на два многогранника. Как относится объем этих многогранников, если ребра делятся этим сечением в отношении 1:2; 1:2; 1:3, считая от вершины?

4. Найти разциональный корень уравнения
   $$\frac{2}{\sqrt{x}} + x\bar{x} = 3.$$

5. Решить уравнение
   $$5^{3x} + 9 \cdot 5^x + 27 (5^{-3x} + 5^{-x}) = 64.$$

6. Основанием пирамиды $SABCD$ является ромб с диагоналями $AC=a; BD=b$. Боковое ребро $SA$ перпендикулярно к плоскости основания и равно $q$. Через точку $A$ и середину $K$ ребра $SC$ проведена плоскость, параллельная диагонали основания $BD$. Определить площадь сечения.

7. Найти наименьший корень уравнения
   $$\sqrt[4]{97-x} + \sqrt[4]{x-15} = 4.$$

8. Решить неравенство
   $$x^{\log_2 x}-4 < 32.$$

9. Конус и цилиндр имеют общее основание, а вершина конуса находится в центре другого основания цилиндра. Чему равен синус угла между осью конуса и его образушей, если известно, что полная поверхность цилиндра относится к полной поверхности конуса как семь к четырем?

10. Найти наименьший корень уравнения
    $$\sqrt[3]{x^2+14x+24} - \sqrt[3]{x^2-5x+14} = \sqrt[3]{x+2}.$$

62

К статье «Системы алгебраических уравнений»

1. (3, 1, -2); (-5, -3, 0).
2. (2, -1/2, 4); (-2, 1/2, -4);
   ($\sqrt{2}/2, \sqrt{2}, 2\sqrt{2}$);
   ($-1\sqrt{2}/2, -\sqrt{2}, -2\sqrt{2}$).
3. (1, 0, -1/2); (-1, 0, 1/2);
   $(i/\sqrt{3}, -2i/\sqrt{3}, i/2\sqrt{3})$;
   $(-i/\sqrt{3}, 2i/\sqrt{3}, -i/2\sqrt{3})$.
4. (0, 0, 0); (1, 2, 5); (-1, 2, -5);
   (-1, -2, 5).
5. (0, 0, 0); $(-1/2, -1, 2)$
6. (0, 0, 0); (-1, 2, 3).
7. (0, 0, 0); $(-3/4, 1/2, -2/4, 1/2)$.
   $(3/4, 3/4, 7/4, 3/4)$.
   $-\frac{5}{4}, \frac{3}{4}, \frac{3}{4}$.

К статье «Шахматно-mатематические заметы» (см. «Квант» № 9)

1. Занumeryte все поля доски (кроме центрального, на которое кони не могут попасть) в порядке их обхода конем (рис. 1 a) и рассмотите вспомогательный рисунок 1 б.

Рис. 1 a.
Рис. 1 b.

2. Возьмите полу шириной в 2 поля, идущую по краю доски. Убедитесь, что конь может пройти по всем полям этой полосы, ступив на каждое из них по разу (начать можно с любого поля этой полосы). Разбейте всю доску на такие полосы и начините путь с центрального поля.

3. $m^2n^2 - 9mn + 12m + 12n - 16$. При $m = n = 8$ получаем 3696.

4. Обозначим искомое число полей через $N(n)$. Легко проверить непосредственно, что $N(0) = 1$, $N(1) = 8$, $N(2) = 33$. При $n = 3$ конь может оказаться на всех белых полях восемного коня полями на каждой стороне, изображенного на рисунке 2 (начальное поле — в центре). Докажите метод математической индукции, что при любом $n \geq 3$ искомые поля заполняют без просвета все однозвесные поля соответствующего восемному концу полей, получаем: $N(n) = 17n^2 + 4n + 1$ при $n \geq 3$.

5. Числа $m$ и $n$ должны быть взаимно просты, и хотя бы одно из них должно быть нечетным.

К заметке «Квант» для младших школьников

(«Квант» № 9, 1971, 3-я стр. обложки)

1. Нельзя. Хотя весы и уравновешены, тем не менее грузы равной массы, помещенные на чашки весов, будут создавать различные моменты относительно оси кормысла.

2. Вечером темно и поэтому зрачки у человека расширенны. Но хрусталик глаза — не идеальная линза. Изображения, которые дают различные участки хрусталика из-за аберрации смесены относительно друг друга. Чем больше часть хрусталика «работает», тем более размытое изображение.

3. Погрузив кончик баллона лампочки в сосуд с водой и сломав его, изменить с помощью линейки объем воды. Затем, заполнить баллон водой полностью, изменить объем баллона. Используя, что $p_1V_1 = p_2V_2$, нетрудно теперь найти давление в баллоне.

4. Погрузить баллон в озеро вверх дом, изменить линейкой оставшийся объем воздуха. Далее поступить так же, как в задаче 3.

5. Из-за многократных отражений света на границах кристалков.