Баллистическая задача в космосе

2

БАЛЛИСТИЧЕСКАЯ
ЗАДАЧА
В КОСМОСЕ

Представим себе, что с поверхности Земли взлетает космический корабль, и в момент остановки (в системе отсутства, связанной с центром масс Земли) из него выбрасываются с одной и той же по величине скоростью $v_0$ по разным направлениям одинаковые тела. Возникает вопрос: в какую часть околоземного пространства могут попасть эти тела?

Решению этой задачи и ряда связанных с ней задач посвящена настоящая статья. Специаль предупредить читателя, что в такой постановке задача была рассмотрена еще в прошлом столетии, а именно, в статье профессора Б. К. Млодезевского «Об огибаюшей орбит при ньютоновском приятиении», опубликованной в 1886 году, а затем, с более простым выводом, в статье знаменитого русского механика Н. Е. Жуковского «Замечание по поводу статьи Б. К. Млодезевского», опубликованной в том же году.

Ниже будет приведено еще более элементарное изложение этих вопросов, которое потребует от читателя знания простейших свойств эллипса, а также двух законов сохранения для движения под действием ньютоновской силы приятиения и первого закона Кеплера *).

*) Все эти сведения можно найти, например, в статье Я. А. Смородинского «Движение планет», «Квант» № 1, 1971.

1. Постановка задачи.
   Исходные предложения

При решении задачи мы будем пренебрегать сопротивлением атмосферы Земли; выбранную систему отчета, связанную с Землей, будем считать инерционной, тела — материльными точками массы $m$, а Землю — однородным шаром массы $m_0$.

Как известно, такой шар принязывает материльную точку с силой, направленной к его центру и равной $F = \gamma \frac{m_0 m}{r^2}$, где $\gamma$ — гравиатционная постоянная, а $r$ — расстояние материльной точки до центра шара.

Позному рассматриваемая нами задача сводится к идеализированной задаче, изученной еще Ньюотоном:

В неподвижном *) цептре О сосредоточена масса $m_0$, комора примецаем материльную точку массы $m$ с силой $F = \gamma \frac{m_0 m}{r^2}$. Требуется исследовать возможность движения этой материльной точки под действием силы тяготения имеются два закона сохранения: механический энергии и момент количества движения.

Закон сохранения полной механической энергии говорит о том, что энергия

$$E = E_K + E_n = \frac{mv^2}{2} - \gamma \frac{m_0 m}{r}$$

(1)

сохраняет постоянное значение, то есть в любой момент времени $E = E_0$, где $E_0$ — начальная энергия

$$E_0 = \frac{mv_0^2}{2} - \gamma \frac{m_0 m}{r}$$

(2)

*) Строго говора, в результате взаимного приняжения и материльная точка, и Земля будут движаться относительно их общего центра масс. Но так как масса $m$ пренебрежимо мала по сравнению с массой $m_0$, то Землю можно считать неподвижной.

**)О том, как подсчитать потенциальную энергию в поле тяготения, можно прочитать, например, в статье Н. М. Сперанского «Потенциальная энергия тел в поле тяготения», «Квант» № 6, 1972.

В частиности, отсюда следует, что $-\gamma \frac{m_0 m}{r} < E_0$, или $\gamma \frac{m_0 m}{r} > -E_0$.

Если $E_0 < 0$, то $r$ остается ограниченным. Известно, что в этом и только в этом случае материльная точка описывает эллипс, причем один из его фокусов совпадает с центром $O$ (первый закон Кеплера). Поэтому начальная скорость $v_0$, для которого $E_0 < 0$, называется эллиптической. Если $E_0 = 0$, тоочка движется по параболе, и соответствующая начальная скорость называется параболическим. Если $E_0 > 0$, движение точки проходит по гиперболе, а скорость называется гиперболической.

Закон сохранения момента количества движения *) (момента импульса) заключается в том, что величины $L = mv\rho = mvr \sin \alpha$ (3)

(рис. 1)

Теперь рассмотрим несколько конкретичных задач, относящих к движению материльной точки по эллиптической траектории.

2. Независимость большой получи эллипса от направления начальной скорости

Изложенные предложения позволяют с помощью несложных выкладок

*) Как известно, этот закон сохранения связан со вторым законом Кеплера.

Рис. 1.

4

найти большую полуось эллипса.
В самом деле, для тех моментов, когда матеріальна точка попадает в одну из вершин $M_1$ или $M_2$ эллипса, то есть проходит через апогей или перигей, равенство $E = E_0$ дает

$$\frac{v_1^2}{2} - \gamma \frac{m_0}{r_1,2} = \frac{v_0^2}{2} - \gamma \frac{m_0}{r_0},$$

(4)

а равенство $L = L_0$ дает

$$mv_1,2r_1,2 = mv_0r_0 \sin \alpha_0.$$

(5)

Исключив $v_{1,2}$ из выражений (4) и (5), получаем квадратное уравнение относительно $r_{1,2}$:

$$\left( \frac{v_0^2}{2} - \gamma \frac{m_0}{r_0} \right) r_{1,2}^2 + \gamma m_0 r_{1,2} - \frac{v_0^2 r_0^2 \sin^2 \alpha_0}{2} = 0.$$

(6)

Два корня этого уравнения, $r_1$ и $r_2$, дают значения $r_{1,2}$ в апоге и перигree. Так как большая полуось эллипса $a = \frac{1}{2} (r_1 + r_2)$, то по теореме Виета из (6) находится

$$a = - \frac{\gamma m_0}{2 \left( \frac{v_0^2}{2} - \gamma \frac{m_0}{r_0} \right)} = \frac{\gamma m_0 r_0}{2 \gamma m_0 - r_0 v_0^2}.$$

(7)

Таким образом, при фиксированной массе притягивающего центра большая полуось эллиптической траектории матеріальной точки определяется ее начальным положением ($r_0$) и величины начальной скорости ($v_0$), а от направления этой скорости никак не зависит.

3. Попадание из начального положения в заданное.
   Эллипсид «безопасности»

Решим следующее задачу.
Какое нужно сообиться направление начальной скорости при заданной величины $v_0$, чтобы матеріальная точка переша из начального положения $M_0$ в заданное положение $M$?

Точка $M$ должна лежать на эллипсе, поэтому начальное начальное скорости — это значит най-

ти направление касательной к эллипсу в точке $M_0$. Это можно сделать, воспользовавшись оптическим свойством эллипса, согласно которой начальная скорость должна быть направлена (в ту или иную сторону) по биссертике угла, смежного углу ($r_0, r'$) (рис. 2), где $r_0$ и $r'$ — радиусы-векторы, проведенные из фокусов в точку $M_0$.

Один из фокусов эллипса известен (совпадает с точкой $O$), а другой надо определить. Очевидно, что расстояния $r'$ и $r'$ от точки $M_0$ и $M$ до этого фокуса удовлетворяют условиям

$$r_0 + r' = 2 a,$$

$$r + r' = 2 a.$$

Отсюда следует, что

$$r' = 2 a - r_0$$ и $$r' = 2 a - r,$$

то есть $r_0$ и $r'$ выполняются положением точки $M_0$ и $M$ и величины начальной скорости. Стало бы быть, искомый фокус лежит на пересечении двух окружностей с центрами в точках $M_0$ и $M$ и с радиусами, равными соответствующим $r'$ и $r'$.

Если расстояние $M_0 M > r' + r' = 4 a - r_0 - r$, то задача не имеет решения, так как окружности не пересекаются.

Если $M_0 M < r' + r'$, то указанные выше окружности будут иметь две точки пересечения $F_1$ и $F_2$, как показано на рисунке 2, и у задачи будет два решения.

6

ком на продолжении земной оси (рис. 4).

При достаточно малых значениях $v_0$ элипсисд безопасности будет пересекаться с земной поверхности по некоторой параллели. Из рисунка 4 видно, что большая ось элипсисд безопасности, равная $4a - r_0 = M_0M + R$, возрастает при возрастании угла $\varphi$. При $\varphi = 180^\circ$
$$4a - r_0 = r_0 + 2R,$$
то есть $a = \frac{1}{2}(r_0 + R)$.

Из равенства (7) находится соответствующее значение начальной скорости

$$\hat{v}_0 = \sqrt{\frac{2\gamma m_0 R}{r_0 (r_0 + R)}},$$
или, учтывая, что $\gamma m_0 = gR^2$,

$$\hat{v}_0 = \sqrt{\frac{2gR^3}{r_0 (r_0 + R)}}.$$

Это — наименьшая начальная скорость, позволяющая попасть в любую точку земной поверхности. В частности, если $r_0$ приближается к $R$, то $\hat{v}_0$ стремится к $\sqrt{gR}$, то есть к первой космической скорости, что в полне естественно. С увеличением $r_0$ скорость $\hat{v}_0$ убивает, что также в полне естественно. При $v_0 > \hat{v}_0$ можно будет попасть в любую точку Земли по двум различным траекториям, а при $v_0 = \hat{v}_0$ это же имеет место для всех точек земной поверхности, кроме Южного полюса.

Уражнения

1. При $v_0 = v_{\text{параб}} (E_0 = 0)$ расстояние от фокуса $O$ параблической траектории до ее вершины $A$ равно

$$h = r_0 \sin^2 \alpha_0 = \frac{1}{2} r_0 (1 - \cos 2\alpha_0)$$

рис. 5).

Проверить, что эта формула непосредственно следует из «оптического» свойства парабoles: плоский пучок лучей, направленный на параблическое зеркало параблено его оси, после отражения от зеркала собирается в его фокусе.

Указание. При решении воспользоваться классическим определением парабoles: парабола есть геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки,

$$a = \frac{Qq r_0}{mr_0 v_0^2 + 2Qq}.$$