О распределении простых чисел

56

О распределении простых чисел

Если вы прочитали статью «О простых чисел», напечатанную в «Кванте» № 4, то у вас, наверное, возникло вопрос: как эти числа распределены? Как часто встречаются они в ряду натуральных чисел? Чему равно число простых чисел, не превысдающих данное n? Об этом и поедем сейчас речь.

1. Как мы уже знаем, множество простых чисел, являющееся часть бесконечного множество натуральных чисел, само является бесконечным. Естественно возникает вопрос: как эта часть расположена в целом? К сожалению, никакого простого закона в распределении простых чисел не обнаружено, хотя некоторые закономерности легко доказывают.

Возьем, например, множество простых чисел, не превысдающих 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

В начале этого ряда стоит 2 и 3. Они и в ряду натуральных чисел стоит по соседству. Легко сообщить, что это единственный случай, когда из двух соседних натуральных чисел оба простые — ведь все простые числа, кроме числа 2, нечетны.

Идем дальше. После 3 стоит 5; «расстояние» между ними равно двум. Таково же «расстояние» между членами следующей пары — 5 и 7. А вот между 7 и 11 уже три составных числа. Далее опять пара составных чисел: 11 и 13. Наноблее «удаленными» в нашем списке является 89 и 97 — между ними семь составных чисел. Но продолжая этот ряд простых чисел, мы обнаружим и числа, «расстояние» между которых больше всего. Такими будут, например, 113 и 127, 139 и 149. При этом опять встреется числа с наименьшим возможным «расстоянием», например, 149 и 151, 179 и 181, 191 и 193. Постараемся теперь выяснить, насколько больше может быть «расстояние» между двумя соседними простыми числами.

Возьем, например, число 100 и докажем, что можно найти 100 последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого. Для этого переможим все натуральные числа от двух до 101 включительно. Полученное число обозначает через A:

$$A = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \dots 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 101.$$

Ясно, что оно без остатка делится на 2, 3, 4, …, 100, 101. Расстояние теперь следует 100 последовательных натуральных чисел:

$$A + 2, A + 3, A + 4, \dots, A + 99, A + 100, A + 101.$$

Все эти числа составны. В самом деле, первое из них делится на 2 (так как на 2 делится оба слагаемых), второе — на 3 (оба слагаемых делятся на 3), третье — на 4 и так далее. Последнее $A + 101$ делится на 101.

Итак, мы нашли 100 последовательных чисел и все они составны. Аналогично можно найти 1000, 10 000 и более следующих друг за другом составных чисел. Таким образом, «расстояние» между двумя соседними простыми числами может быть скольгодно больше.

2. Если не принимать во внимание единственное — числа 2 и 3, то наименьшее «расстояние» между соседними простыми числами равно двум. В первой сотне 8 таких пар:

$$(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73)$$

Такие пары простых чисел называются близнецами. Но неизвестно даже, конечно или бесконечно много-