26
Правильные многогранники — тетраэд, octaэд, гексаэдр (куб), дodeкаэдр и икосаэдр — приято называть платоновыми телами*).
Платоновы тела рассматриваются в школьных учебниках, в том числе в учебнике А. П. Киселева «Геометрия», часть вторя.
Напомним определение правильного многогранника, данные в этом учебнике: «Многогранник называется правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники и все многогранные углы равны». Из этого определения следует, что в правильных многогранниках равны все плоские углы, все двугранные углы и все ребра. В учебнике доказывается, что никаких других правильных многогранников, кроме платоновых тел, (см. 4-ю страницу обложки) быть не может.
Доказательство приводится в полне строе. И все же правильных многогранников не пять, а девять. Их вы видите на обложке нашего журнала. Дело в том, что у остальных четырех многогранников (их мы в дальнейшем будем называть звездчатыми) грани — пересекающие правильные многоугольники, а у двух из них каждая из граней представляет собой самопересекающийся многоугольник. Такие многоугольники и многогранники в курсе А. П. Киселева из рассмотрения исключены, хотя приведенное выше определение правильного многогранника, как и следствие из него, осталось в силу.
Тепер немного источника. Два звездчатых многогранника были построены Иоганном Кеплером (1571—1630). Только спустя без малого действия лет французский геометр Луи Пуансо (1777—1859) указыва на существование еще двух правильных звездчатых многогранники.
*) Древнегреческий философ Платон (427—347 гг. до н. э.), который упомянул о правильных многогранниках в одной из своих работ, на самом деле не являлся их первоткрытелем. Тетраэд, гексаэдр и дodeкаэдр были известны задолго до Платона. Например, при раскопках найдена модель дodeкаэдра, служившая детской игрушкой более 2500 лет назад.
27
ков. (Все четыре звездчатых многограника приведены на 2-й странице обложки.) Доказать, что других правильных многограников не существует, Пуансо не сумел.
Спустя год (в 1811 году) это сделал французский математик Огюстен Луи Коши (1789—1857). Он воспользовался тем, что согласно определению правильного многограника, его можно наложить на самого себя так, что произвольная его грань совместится с наперед выбранной. Из этого следует, что все грани звездчатого многограника равноудалены от некоторой точки — центра сферы, вписанной в многограник.
Плоскости граней звездчатого многограника, пересекаясь, образуют еще и правильный выпуклый многограник, то есть платоново тело, описанное около той же сферы. Это платоново тело Ксши назвал ядром данного звездчатого многограника. Тем самым звездчатый многограник можно получить, продолжая плоскости граней одного из платоновых тел.
Любое ли платоново тело может служить ядром правильного звездчатого многограника? Чтоы разобраться в этом, обратимся к многогранным углам звездчатого многограника. Плоские углы такого многограниного угла равны и благодаря ратенству соответствуют двум гранных углов могут быть совмещены друг с другом поворотом многогранного угла относительно оси, проходящей через его вершину. Одновременно с совмещением плоских углов совместятся и соответствуют грани ядра, повернуть его вместе со звездчатым многограником.
На рисунках 1, 2 и 3 выделены грани ядер — дodeкаэдра и икосаэдра, которые генерируют друг в друга при таких поворотах, и показаны многогранные углы, к которым приводит продолжение граней.
На рисунке 4 рассмотрен случай, когда продолжение ребер правильного многограника, октаэдра, приводит к образованному неодного, а двух правильных многограников — пересекающихся тетраэдров.
Доказите самостояльно, что никакие другие повороты платоновых тел и соответствующие продолжения их граней не приводят к образованному новых правильных многограников.
В. Н. Березин