Экзамены по математике в школах ГДР

52

Экзамены по математике в школах ГДР

В различных странах учебные планы и программы различны. В этой статье мы рассакем об особенностях обучения в 10-летних и 12-летних школах ГДР, о курсе математики в этих школах, об уровне экзаменационных требовании.

В Германской Демократической Республики успешно осуществляется Единая социальностная система образования, закон о котором был принят Народной Палатой Республики в 1965 году. Наряду со всеми образовательными десятилетними образовательными, обучением в расширенных (12-летних) средних школах, а также средних специальных и высших учебных заведениях, система предусматривает и весы широкое профессиональное-техническое образование.

В этой системе нет «тупиковых» школа. В Конституции ГДР (статья 26) записано, что «государство обеспечивает возможность перехода на последующую более высокую ступень образования… в соответствии с принципом успешности и общественных потребностей».

В первый класс PRIMARYS детей, который к 30 мая текущего года исполнилось 6 лет, то есть почти на год раныше, чем в наших школы. Но курс математики в школах ГДР значительно отличается от курса соответствующих классов советской школи. Например, программа по математике пятого класса школи ГДР почти полностью совпадает с программой наших четверых классов.

В сельом класс много времени уделяется вычислением с процентами и составлением отношений, применению логарифмической линейки; в этом же классе изучается извлечение квадратного корня и элементы начертательной геометрии. Решение квадратных уравнений впервые рассматривается в девятом классе, а понятие о тригонометрических функциях — в десятом. В целом десятилетняя школа ГДР дает математическое подготовку лишь немного большего, чем наша восемьлетка. Большинство выпускников десятилетки умеет применять полученные знания: быстро и безошибочно считают на логарифмической линейке, уверенно пользоваться таблицами, справочниками. Но решение простейшей текстовой задачи вызывает у них подчас непредодолимые затруднения. А некоторые знакомых нам разделов в десятилетней школе вообще не изучают: нет пределов, не рассматривают программистей, почти не решают тригонометрических уравнений — это признано необязательным для всеобщого десятилетнего образования и пересечено в двенадцатилетнию, расширенную школе.

В расширенной школе на изучение математики отводится 300 уроков (по 5 уроков в неделью в XI и XII классах). Помимо традиционных разделов изучаются математические индикции, теория пределов, векторная алгебра и аналитическая геометрия, а также основы дифференциального и интегрального исчисления — примерно в объеме первого курса некоторых наших втузов.

Весьма интересна система оценок, принятия в школе ГДР. За решение каждой задачи начинается несколько баллов; если задача решена не полностью или с ошибкой, то число баллов уменьшается или вовсе не присуждается. К тексту письменной работы по математике за 10 классов (см. ниже) приложена (только для учитель!) инструкция по оценке. В ней указано, что задача № 1 оценивает в 6 баллов, по одному баллу за составление первого уравнения, составление второго уравнения, исключение одного неизвестного, находжение первого числа, находжение второго числа и за проверку.

Точно так же «расценены» остальные задачи; все работы быть оценена 40 балами. Далее в инструкции приведена школа:

39 и 40 баллов — отметка «1» — «очень хорошего»;

от 32 до 38 баллов — отметка «2» — хорошего;

от 24 до 31 баллов — отметка «3» — «удовлетворительно»;

от 14 до 23 баллов — отметка «4» — «достаточно»;

от 0 до 13 баллов — отметка «5» — «недостаточно».

Аналогично оценываются и письменные работы в году; за устные ответы оценки ставятся редко (далее и по физике, химии, биологии, истории). Как правило, отметка «3» ставится за 60%, а отметка «4» — за 33% выполнения задачи. Эта отметка позволяет переходить из класса в класс, но абсцилтоно исключает возможность попасть в 12-летнюю школе, и тем более вуз.

После окончания 8-го класса каждой ученики получает рекомендацию на предмет продолжения образования.

При этом 15—20% лучшех учеников рекомендуются в 12-летнюю школе, окончание которой дает право поступления вуз (без экзаменов, но по рекомендации шкoles), 10—15% наиболее слабых учеников рекомендуются в трехлетние профессиональные шкoles, дающие специальность и общее десятилетное образование. Ostальные продолжают обучение в XI и X классах.

Большинство окончанных 10-летних школе попадает в двухлетние профессиональные

53

ные школьы, готовящие квалифицированных работах; во многих из этих школ есть и трехлетние отделения, дающие не только рабочую квалификацию, но и полное среднее образование, эквивалентное 12-летней школе.

Лучшие выпускники профессиональных или производственных школ могут быть приняты в трехлетние «инженерные школьы» — типа наших техническов. Они готовят специализовcedней квалификации — технологическов, экономистов, механиков, строительей (в отличие от «диплом-инженеров» — выпускников вузов).

Ниже приводятся задачи, предлагавшиеся в 1972 году на письменных экзаменах по математике за курс десятилетней школьы (в массовой, вечерней и профессиональной школах — один и тот же варнант). Мы рекомендуем девятиклассикам выполнить эту работу *).

Далее приводится один из вариантов экзаменов экзаменной работы за курс десятилетней школьы. Ее могут выполнить десятиклассики, знакомые с элементами дифференциального и интегрального исчисления и, разумеется, ученики физико-математических школь.

Для выполнения каждой из этих работ на экзамене ответится по 4 урока (180 минут).

Писменный выпускной экзамен по математике (10 класс)

Задачи для обязательного решения

1. Сумма двух чисел равна 4. Если утроенное первое число уменьшить на удвоенное второе, получится 52. Вычислите эти числа. Сделайте проверку.

2. Фабрика-кухня электростанции готовит ежедневно 600 порций с картофельным гарниром. На каждую порцию требуется 250 г картофеля.

a) Сколько тонн картофеля нужно запасти на 30 дней?

6. В соответствии с решениями VIII съезда СЕПП для лучшего обслуживания трудашихся ночной смены нужно готовить дополнительно по 150 порций в день. На сколько дней хватит теперь запасенного картофеля?

3. 17 ноября 1970 г. советская международная станция «Луна-17» доставила на Луну первый самодвижущий аппарат «Луноход-1». Из первогоального пункту высказки А Луноход прошел отрезок длиной 82 м до пункту B, затем повернул на угол 91,2° против часовой стрелки и прошел новый отрезок длиной 96 м до пункту C. Вычислите (с помощью логарифмической линейки) расстояние от пункту высказки A до конечного пункту C.

*) Задачу № 5 из этой работы мы не публикуем. Для ее решения необходимо сведения из курса наертагательной геометрии, которое в наших школах нет.

4. Две функции заданы своим уравнением:

$$y_1 = f_1(x) = 2x + 1;$$
$$y_2 = f_2(x) = x^2 + 2x - 3.$$

a) Построите график первого функции в прямого новой системе координат.

b) Вычислите корень этой функции *).

b) График второй функции есть парабола. Вычислите координаты ее вершины и построите график этой функции на том же чертеж.

г) Вычислите корни второй функции.

d) Графики данных функции пересекаются в точках P1 и P2. Найдите координаты точки пересечения.

6. a) Вычислите 12,5% от 528 га.

6. Найдите все углы x в интервале 0° ≤ x ≤ 360°, для которых sin x = 0,6600.

b) Произведение разности двух различных чисел на трете число равно x. Представьте это соответствие в форме равенства с помощью буквенных обозначений.

г) Формулу объема конуса $V = \frac{1}{3}\pi r^2h$ преобразуйте, разрешив равенство относительной r.

Задачи по выбору

Решите одну из задач 7.1, 7.2, 7.3.

7.1. Докажите следующие утверждения:

a) Сумма пяты последовательных натуральных чисел делится на 5.

6. Если меньше этих чисел — четное, то та же сумма делится и на 2.

7.2. Из листаже примуговой формы размер 50×20 см нужно сделать открытый ящик в форме примугового параллелепида. Для этого в четырех углах листа вырезают квадратки со стороны x (рис. 1). Закрашенный примуговник со стороны a и b является основанием (дном) ящика.

a) Вычислите площадь дня при x = 1,5.

6. Найдите x, при котором площадь составляет 400 cm². Вычислите для этого случая a и b.

*) To есть значение x, при котором функция обращается в нуль.

54

7.3. Дано линейное неравенство
$$\frac{8(2x+1)}{5} < 3x+2.$$
a) Решите неравенство в области действительных чисел.
b) Укажите множество (перечисление элементы множества):

1. множество $M_1$ решений неравенства в области натуральных чисел;
2. множество $M_2$ решений неравенства в области целых чисел при условии $-4 < x < 1$;
3. множество $M$ всех элементов, входящих и в множество $M_1$, и в множество $M_2$.

Писменный экзамен по математике на аттестат зрелости

Задчи для обязательного решения

1. Дан четырехугольник с вершинами $A(1; 2), B(9; 8), C(6; 12), K(2; 9)$.
   a) Изображите этот четырехугольник в прямогольной системе координат.
   b) Составьте уравнения прямых $AB$ и $KC$ и докажите, что $AB$ параллельно $KC$.
   b) Вычислите угол $BAK$.
   g) Найдите абсциссу точки $P$ на оси $Ox$, для которого $BPA = 90^\circ$.
2. Дано уравнение эллипса $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$.
   a) Постройте эллипс по точкам при $a = 5$ и $b = 4$ (в каждом квадрате найдите не менее трех точек).
   b) Найдите объемы $V_x$ и $V_y$ эллипсодов, полученных вращением данного эллипса вокруг осей $Ox$ и $Oy$; примените интегральное исчисление.
   b) Докажите, что отношение этих объемов $V_x: V_y = b: a$.
3. В теории автоматического регулюрования встречется функция $y = f(t) = -t^3 + 9t^2$. Исследуйте эту функцию на промежутке $0 \leq t \leq 6$.
   a) Найдите в этом промежутке абсциссу $t_0$ точки перегиба графика функции; вычислите также ordinату $y_0$ точки перегиба.

6. Составьте уравнение касательной к кривой в точке перегиба.

Рис. 2.

b) Вычислите координаты точки пересечения этой касательной с осью $t$.
g) Докажите, что все функции, задавемые уравнениями вида $y = f(x) = Ax^3 + Bx^2 (A \neq 0, B \neq 0)$ имеют экстремальное значение при $x = 0$.
4. Из получительного листа железа, радиус которого $4\Delta m$, требуется вырезать равноведренную трапецю максимальной площади (рис. 2).
a) Выразите площадь трапеци как функцию переменной $x$.
6) Определите значение $x$ в случае, когда площадь принимает максимальное значение (не применяя вторую производную для нахождения экстремума).

Задчи по выбору
Решите одну из задач 5.1, 5.2, 5.3.
5.1. Дано уравнение гиперболы $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$.
a) Найдите координаты фокусов $F_1$ и $F_2$ и вершин $A_1$ и $A_2$.
b) Проверьте, что точки $P_1(5; 9/4)$ и $P_2(5; -9/4)$ лежат на гиперболе.
b) Постройте гиперболу (схематически).
g) Через точки $A_1$ и $P_1$ проходит прямая $m$, через $A_2$ и $P_2$ – прямая $n$. Найдите уравнения этих прямых и вычислите координаты их точки пересечения $K$.
d) Проверьте, что точка $K$ лежит на эллипсе, центр которого и полусиа $a$ и $b$ также же, как у данной гиперболе.
5.2. Основанием прямых $SABC$ служит прямогольный треугольник $ABC$ с квадратами $AC = 4$ см и $BC = 6$ см; ребро $SC$ перpendикулярно плоскости основания и равно $8$ см.
a) Выберите систему координат и определите в ней координаты вершин прямых.
b) Вычислите координаты середин ребер $AB, AC$ и $SC$ – точек $M_1, M_2$ и $M_3$.
b) Составьте уравнение прямой $M_1M_3$ в выбранной системе координат; вычислите угол, который составляет эта прямая с ребром $SC$ (с помощью логарифмического линейки).
g) Составьте уравнение плоскости, определяемой прямой $M_1M_3$ и точкой $M_2$.
5.3. Дана функция $y = e^{-0.5x}$ в промежутке $-4 \leq x \leq 4$.
a) Постройте график этой функции, определив координаты хотя бы трех точек.
b) В точке пересечения кривой с осью $Oy$ построите касательную и составьте ее уравнение.
b) Выберите на графике данной функции точку $P(x_1; y_1)$, абсцисса которой $x_1 > 0$, и через эту точку проведите вертикальную прямую. Построенная прямая, график данной функции и оси координат определяет некоторую кривой нейнейную трапецю; обозначим ее площадь через $S$. Докажите, что $S = 2(1 - y_1)$.

A. Я. Халамайзер