Переформулировка задачи

53

Г. В. Дорофеев

Переформулировка задачи

Одним из существенных недостатков в математической подготовке школьников, который очень часто и весмая ярко проявляется на вступительных экзаменах в высшие учебныеведения, является чрезмерная прямойность в подходе к решению задачи. Абитуренты в большинстве случаев настоящего привазны к данному условияю, к данной формулировке задачи, что не договораются взглянуть на задачу чуть-чуть иначе, с другой стороны, попытаться формулировать ее условия в других терминах, короче говоря, найти метод решения, не лежащий на поверхности.

Между тем именно переформулировка задачи, постановка ее по новому часто пропиwaет свет на ее подлинный смысл и является прямым путем к решению. Более того, способность абитурента рассматривать задачу с разных сторон, в различных интерпретациях является одним из важнейших признаков его математического (а зачастую и обшено) развития и одним из условий его дальнейшего обучения вузе. Нельзя не подчерknуть, что сказанное касается не только математики.

Разумеется, основными, точнее сказаать, наиболее естественных приема переформулировки задач школьники в должной мере владeiот, поскольку эти приемы входят в общную школьную практику. Так, большинство абитурентов вполне справляются с решением так называемых «техстовых» задач, а ведь основа решения такой задачи — типичная переформулировка: задача дается в виде некоторой совокупности условий, записанных на общим, «житейском» языке, а решающий, как правило, составляет некоторые уравнения, иногда неравенства, то есть переводит эти условия на математический язык, после чего задача решается чисто математическими примами. Вспомните, для сравнения, что в младших классах такие задачи решаются неосредственно, довольно хитрыми рассужdenями, но без всяких алгебраических соотношений, а также решение придумать значительно сложнее.

Другой пример — решение геометрических задач. Если задача может быть переведена на язык уравнений, если легко выписываются соответствия между данными и неизвестными элементами геометрической конфигурации, то, как правило, задача решается без труда. Наоборот, если этот подход к задаче неприменим, то она представляется значительно большие трудности — требуется придумать чисто геометрические идеи, а это уже совсем другое дело — вместе техники вычислений здесь нужна хорошая геометрическая интуция, геометрическое учтье, более активные геометрические знания.

Что значит переформулировать задачу? Ясно, что дать точный ответ на этот вопрос, строго говоря, невозможно. Но судьба состоит в том, что условия задачи формулировка

54

руется на другом языке, в других, более или менее близких терминах. Приемы переформулировки настолько разнообразны, что перечислить, описать их разумным образом практически невозможно, и овладеть им можно только на практике, решая достагочное количество примеров.

Один из важнейших примов переформулировки задач, в применении которого, грубо говоря, и заключается практическая, прикладная сторона математики — это «перевод» реализной, жизньной ситуации на формальный язык, на язык точных математических утверждений. В школьной математической практике, в практике вступительных экзаменов также часто приходит «перевод» слова в формулы и наборот.

Так, для доказательства утверждения «функция $y = \cos x$ убивает на отрезке $0 \leq x \leq \pi$» его следует переформулировать в виде «Дано: $0 \leq x_1 < x_2 \leq \pi$; доказать, что $\cos x_1 > \cos x_2$». А сложное определение «логарифмом числа $N$ по основанию $a$ называется такое число $\alpha$, что $a^\alpha = N$» переформулируется в виде «$a^{\log_a N} = N$», так что основное логарифмическое доказательство является просто формальной записью определения логарифма. И если все это хорошо понятно, то никака не представят затруднений «заковырские» вопросы типа «Почему $(\sqrt{a})^2 = a?$», «Почему sin (arcsin $x$) = $x$?» и т. п.

С другой стороны, важное значение имеет и «обратный перевод» — умение увидеть в некоторых доказательству формальном равенстве его сложное выражение. Например, прочита формулу $\sqrt[n]{a^m} = \left( \sqrt[n]{a} \right)^m$ как утверждение «$\left( \sqrt[n]{a} \right)^m$ есть корень степени $n$ из $a^m$» мы сразу определением корня, получаем путем доказательства этой формулы:

$$\left( \sqrt[n]{a} \right)^m = \left( \sqrt[n]{a} \right)^m = a^m.$$

Точно так же можно доказать и основные формулы логарифмирования. Вообще, всевозможные свойства обратных функций — корней, логарифмов, обратных трионометрических функций — доказываются именно переводом на язык соответствующих «прямых» функций.

Разберем несколько примеров, показывающих эффективность переформулировки — иногда направившейся, иногда неожиданной.

Для начала — несколько задач, связанных с квадратным трехчленом.

Задача 1. При каких а корни уравнения $x^2 + ax + a = 0$ больше 1?

Большинство абитриентов для решения этой задачи добросовестно находят корни

$$x_1 = \frac{-a + \sqrt{a^2 - 4a}}{2},$$

$$x_2 = \frac{-a - \sqrt{a^2 - 4a}}{2}$$

и решают систему неравенств — иногда двух ($D \geq 0, x_2 > 1$), если договораются, что $x_2$ — меньший корень, и достаточно, чтобы он был больше 1, а чаще трех неравенств: $D \geq 0, x_1 > 1, x_2 > 1$.

При наличии хорошего технически решения irrationalных неравенств этот путь, конечно, приводит к целю. Однако стоит немного отойти в сторону, применить теорему Виета, и сразу станет ясно, что требуемых значений $a$ не существует: произведение $a$ таких корней должно быть больше 1, а их сумма $(-a)$ тогда будет также положительным.

Интересно отмечать, что если в этой задаче просить: при каких а корня положимельны, то уже многое договорается применить теорему Виета — ведь это ее стандартное применение!

55

Задание 2. При каких а из неравенства $1 < x \leq 2$ следует неравенство $x^2 - 2ax + a < 0$?

Условие задачи означает, очевидно, что трехчлен $f(x) = x^2 - 2ax + a$ отрицательна на отрезке $1 < x \leq 2$, а это равносильно условию, что отрезок $1 < x \leq 2$ лежит между корнями данного трехчлена (поскольку коэффициент при $x^2$ положительен). Но последнее условие равносильно тому, что концы отрезка лежат между корнями, и остается, наконец, сообщать, что это условие равносильно системе неравенств $f(1) \leq 0, f(2) < 0$, или
$$\begin{cases} 1 - a \leq 0, \\ 4 - 3a < 0, \end{cases}$$
откуда $a > 4/3$.

Задание 3. Доказать, что уравнение $f(x) = (x - a)(x - b) + (x - a)(x - c) + (x - b) \times (x - c) = 0$ при любых $a, b$, с имеем действительные корни.

Нетрудно представить, что «прямо» решение этой задачи — раскрыть скобки и доказать, что дискриминант полученного квадратного трехчлена положитель — связано с большими вычислительными трудностями, и мы воспользуемся тем фактом, что квадратный трехчлен (с положительным старшим коэффициентом) имеет действительные корни в том и только в том случае, когда хотя бы в одной точке он принимает отрицательное или нулевое значение. Естественно посмотреть его значения в точках $a, b, c$ — тогда из трех слагаемых остается только одно.

Имеем
$$f(c) = (c - a)(c - b);$$
знак полученного произведение зависимости от взаимного расположения точки $a, b, c$ на числовой оси, причем это произведение отрицательно, если $c$ лежит между $a$ и $b$. Но одно из этих трех чисел лежит между двумя другими, и мы получаем решение: пусть, для определения, $a \leq b \leq c$; тогда $f(b) = (b - a)(b - c) \leq 0$, и следовательно, трехчлен принимает в точке $b$ отрицательное или нулевое значение, а значит, имеет действительные корни.

В рассмотренных трех примерах условия задачи явно содержало квадратный трехчлен, и поэтому переформулировка задачи не слишком далеко от ее условия. Расмотрим несколько иные примеры.

Задание 4 (МГУ, ф-т психологии, 1969). Доказать, что $x^2 + 19y^2 + 6z^2 - 8xy - 4xz + 12yz > 0$, если $x^2 + y^2 + z^2 > 0$.

Попытка группировки наугад, без определений иден вряд ли может привести здесь к успеху, однако достаточно увидеть в левой части квадратный трехчлен относительно $x$ (с «параметрами» $y$ и $z$), как становится совершенно ясным и способ группировки — выделение полного квадрата. Если при этом еще заметить, что после этого преобразования «свободный член» будет представлять собой квадратный трехчлен относительно $y$ (с «параметром» $z$), то задачу можно считать фактически решенной.

Итак, левая часть уравнения может быть переписана в виде
$$x - 4y - 2z)^2 + 3y^2 + 2z^2 - 4yz = (x - 4y - 2z)^2 + 3\left(y - \frac{2}{3}z\right)^2 + \frac{2}{3}z^2,$$
и следовательно, неотрицательна при всех значениях $x, y, z$.

Может ли она равнять нулю? Это будет, очевидно, только тогда, когда все три слагаемых равны 0, то есть при одновременном выполнении равенств
$$x - 4y - 2z = 0, y - \frac{2}{3}z = 0, z = 0.$$

Но из этих равенств сразу следует, что $x = y = z = 0$, что противоречит условиям $x^2 + y^2 + z^2 > 0$. Тем самым утверждение полностью доказано.

Задание 5 (МГУ, ф-т, 1972). При каком действительном х величины
$$t = \frac{\sqrt{x^2 + 16}}{3} - \frac{x}{5}$$
принимаем наименьшее значение?

В задачах такого рода, как правило, легко сначала найти наимень-

56

шее значение заданного выражения, заданной функции, и лишь потом — значение аргумента, при котором оно достигается. А найти наименьшее значение иногда удается, решив более общую задачу — найти всю область значений функции и взять в ней наименьшее число.

Найти наименьшее значение функции можно, если задачу переформулировать. Тот факт, что число $A$ принадлежит области значений функции $y = f(x)$, в терминах уравнения ознакомляется, что уравнение $f(x) = A$ имеет по крайней мере одно решение.

В данной задаче заметим прежде всего, что функция $t = t(x)$, заданная формулой (1), принимает свое наименьшее значение при том же значении аргумента, что и функция $s = 15 t(x)$, и для упрощения выкладок мы будем рассматривать именно функцию

$$s = 5\sqrt{x^2 + 16} - 3x.$$

Уравнение

$$5\sqrt{x^2 + 16} - 3x = A$$

или

$$5\sqrt{x^2 + 16} = 3x + A$$

(2)

после возвления обихих частей в квадрат переходит в уравнение

$$16x^2 - 6Ax + 400 - A^2 = 0.$$

Уравнение (2) имеет решение в том и только в том случае, когда уравнение (3) имеет корень $x$, удовлетворяющий условию $3x + A \geq 0$. Но это эквивалентно тому, что дискриминант уравнения (3) неотрицательен и больший корень уравнения (3) больше или равен $-A/3$. Тем самым мы приходим к системе наименьств

$$\begin{cases} 25A^2 - 6400 \geq 0 \\ 3A + \sqrt{25A^2 - 6400} \geq -\frac{A}{3}. \end{cases}$$

Эту систему можно решить обычным образом, в результате получится $A \geq 16$. Поэтому наименьшее значение $A$ равно 16, и при этом значения уравнения (3) имеет единственный корень $x = 3$, который является корнем уравнения (2). Таким образом, наименьшее значение $y$ равно $-4$ и достигается

57

при $x^2 - 7x = -8$, то есть в двух точках:

$$x_1 = \frac{7 + \sqrt{17}}{2}; \quad x_2 = \frac{7 - \sqrt{17}}{2}.$$

Задача 7 (МГУ, экон. ф-т, 1973).

График функции $y = \frac{2+x}{x}$ пересекается в двух точках с прямой, образующей угол $\alpha$ с осью абсцисс. Наименование геометрической между длинами отрезков, соединяющих начало координат с проекциями точек пересечения на ось Ox.

В этой задаче самоое главное — точное понятие ее условия и выражать его на языке формул.

График функции $y = 1 + 2/x$ гипербола (изображите ее!). Поэтому прямая, о которой идет речь в условии задачи, является наклонной (то есть $\alpha \neq \pi/2, \alpha \neq 0$) и с вертикальной, ни с горизонтальной прямой данная гипербола не может пересечаться в двух точках. Иными словами, уравнение прямой имеет вид

$$y = x \mathrm{tg} \alpha + b,$$

$\mathrm{tg} \alpha \neq 0$. Тот факт, что гипербола и прямая пересекаются в двух точках, означает, что уравнение

$$\frac{2+x}{x} = x \mathrm{tg} \alpha + b,$$

или, что то же самое, уравнение $x^2 + x (b - 1) \mathrm{tg} \alpha - 2 \mathrm{tg} \alpha = 0$ (4) имеет два различных действительных корня (поскольку $x = 0$ не является корнем уравнения (4)). В условии задачи дано, что этот факт имеет место.

Если корни уравнения (4) обозначить через $x_1$ и $x_2$, то длины отрезков, соединяющих начало координат с проекциями точек пересечения прямой и гиперболы на ось Ox, равны соответствующим $|x_1|$ и $|x_2|$. Следовательно, пребуемся вычислить величины

$$\sqrt{|x_1| \cdot |x_2|} = \sqrt{|x_1 x_2|},$$

где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения (4). А это легко сделать, используя теорему Виета:

$$\sqrt{|x_1 x_2|} = \sqrt{2 |\mathrm{ctg} \alpha|}.$$

Рассмотрим теперь несколько примеров, не связанных с квадратным трехчленом.

В ряде примеров, связанных с моделем действительных и комплексных чисел, значительную помощь оказывает геометрическая интерпретация модели: $|x - y|$ есть расстояние между точками, и образующими комплексные, и в частности, действительные числа $x$ и $y$.

Задача 8. Решить уравнение $|x + 2| + |x - 3| = 5$ ($x - \text{дейстимелевое число}$).

На геометрическом языке данной задачи может быть сформированная следующим образом: найти все точки числовой оси, для которых сумма расстояний до точек $-2$ и $3$ равна 5. Этот перевод мгновенно решает задачу: в самом деле, любая точка отрезка $-2 \leq x \leq 3$ обладает этим свойством, а для любой точки вне отрезка сумма расстояний больше 5.

Таким образом, решениями даннойного уравнения являются все $x$ из отрезка $-2 \leq x \leq 3$.

Задача 9. Решить неравенство $\left| \frac{2x - 3}{2x + 5} \right| > 1$.

Воспользовавшись свойством модели $\left| \frac{a}{b} \right| = \frac{|a|}{|b|}$, перепишем данные неравенств в виде $|2x - 3| > |2x + 5|$, $2x + 5 \neq 0$, и формулируем задачу следующим образом: найти точки $x$, для которых $2x$ находится близке к $-5$, чем $k = 3$, причем $x \neq -2, 5$. Это условие равенство тому, что $2x < -1$, $x \neq -2, 5$, то есть $x < -2, 5$; $-2, 5 < x < 0, 5$. Это и есть решение данной неравенства.

Задача 10. Где на комплексной плоскости лежат точки $M$, для которых сумма квадратов расстояний

58

до данных точек $A = (1, 0)$ и $B = (0, 1)$ равна 2? Достроив треугольник $AMB$ до параллелограмма $AMBN$, применим известное соотношение, связывающее длины сторона и диагоналей параллелограмма:
$$AB^2 + MN^2 = 2AM^2 + 2MB^2 = 4.$$
Отсюда $MN^2 = 4 - AB^2$, и поскольку в нашем случае $AB^2 = 2$, то $MN = \sqrt{2}$, и следовательно, искomme точки $M$ лежат на окружности радиуса $\frac{1}{2}MN = \frac{\sqrt{2}}{2}$ с центром в середине отрезка $AB$.

В заключение рассмотрим несколько примеров, в решение которых важную роль играет переформулировка.

Задача 11 (МГУ, ф-т писхологи, 1971). Найти все такие значения $x$, что
$$\min \{2x - x^2, x - 1\} > -\frac{1}{2}.$$
Употребление в формулировке задачи выражение $A = \min \{2x - x^2, x - 1\}$, как известно, поннимается в следующем смысле: при любом фиксированном $x = x_0$ А означает меньше из двух чисел $2x_0 - x_0^2$ и $x_0 - 1$.

«Прямо» решение этой задачи требует рассмотрения двух слияев: $2x - x^2 \leq x - 1$ и $x - 1 < 2x - x^2$. В каждом из этих слияев надо будет решить квадратное неравенство и отобразить его решение, удовлетворяющие условию $2x - x^2 > -1/2$ и $x - 1 > -1/2$ соответственно.

Между тем нетрудно сообщить, что минимум из двух выражений больше $-1/2$ в том случае, когда она эти выражения больше $-1/2$, и таким образом, условие задачи равносильно системе неравенств
$$\begin{cases} 2x - x^2 > -\frac{1}{2}, \\ x - 1 > -\frac{1}{2}, \end{cases}$$
решение которого не представляется никакого труда. В результате получится ответ: $\frac{1}{2} < x < \frac{2 + \sqrt{6}}{2}$.

Задача 12 (МГУ, ф-т писхологи, 1972). Найти все целые решения неравенства
$$x - 1 < \log_6 (x + 3).$$
В ОДЗ неравенства входят только $x > -3$, и легко проверить неопределенно, что числа $-2, -1, 0$ и 1 являются его решениями. Подставляя следующие целые значения $x$, мы видим, что они не являются решениями, и при этом нетрудно заметить, что «чем дальше — тем хуже» — при увеличении $x$ разность между левой и правой части уравненияется. Поэтому остается лишь доказать это утверждение строго.

Иными словами, мы получили следующую задачу: доказать, что функция
$$f(x) = x - \log_6 (x + 3)$$ — возвращающая. Задача эта, однако, довольно трудная, но ведь нас интересует только целые значения аргумента, так что нам достаточно убедиться, что эта функция возвращает при увеличении на 1. Имеем
$$f(x + 1) - f(x) = (x + 1) - \log_6 (x + 4) - x + \log_6 (x + 3) = \log_6 \frac{x + 3}{x + 4} + 1,$$
так что неравенство $f(x + 1) - f(x) > 0$ равносильно неравенству $\frac{x + 3}{x + 4} > \frac{1}{6}$, которое, как легко убедиться, при положительных $x$ заведом выполняется.

Следовательно, наше неравенство не выполняется ни при каких целых $x$, большех 1, и полученные выше значения и являются решениями задачи.

Задача 13. Найти сумму коэффициентов многочлена
$$(x^3 + 2x - 8)^{73} (x^2 - 4x + 3)^{37},$$
получающихся после раскрытия скобок.

Здесь совершено ясно, что подсчитывать сумму коэффициентов «в люб» — дело безнадежное, и имеется единственная возможность — сообщить, что сумма коэффициентов многочлена может быть получена, если

59

в многочлен вместе $x$ подставить 1.
А это можно сделать, и не раскрывая в данном многочлене скобок: при $x = 1$ мы получаем 0, так что сумма коэффициентов данного многочлена равна 0.

Задача 14. Доказать равенство
$$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{199} - \frac{1}{200} = \frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{200}.$$
Не следует трудно сообразить, что число 200 не является настолько «выдающимся», чтобы для него одного имена место такое изящное равенство, и поэтому можно заподозить, что это равенство имеет более универсальный характер. Таким образом, можно сделать гипотезу, что при любом четыREM $n = 2k$ справедливо равенство
$$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k} = \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2} + \dots + \frac{1}{2k}.$$
И действительно, это равенство справедливо, и его нетрудно доказать по индукции.

У разженняя

1. При каких значениях $a$ один из корней уравнения $x^2 - 2ax - a = 0$ больше 1, а другой меньше 1?

2. Доказать, что еслировно одно из чисел $c$, $d$ лежит между числами $a$, $b$, то уравнение $(x-a)(x-b) + \alpha(x-c)(x-d) = 0$ при любом $\alpha$ имеет действительные корни.

3. Пусть уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней и $a+b+c < 0$. Найти знак числа $c$.

4. Пересекает ли прямая $y = 2$ график функции $y = \frac{x+1}{x^2-2x+3}$?

5. Найти область значений функции $y = \frac{2x-3}{x^2+2x+2}$.

6. Доказать, что если выражение $\frac{4}{x^2+ax-3a+1}$ ни при каком значении $x$ не равно -2, то $a > -13$ ($x, a$ — действительные числа).

7. При каких $a$ парабoles $y = x^2 + ax - a$ и $y = 2x^2 - x + a$ не имеют общих точек?

8. (МГУ, ф-т психологии, 1969). Доказать, что $2x^2 + 5y^2 + 3z^2 - 6xy - 2xz + 5yz > 0$, если $x^2 + y^2 + z^2 > 0$.

9. (УДН, 1973). Найти все действительные значения $x, y, z$, удовлетворяющие уравнению $2x^2 + y^2 + 2z^2 - 2xy + 2xz - 2xz + 1 = 0$.

10. (МГУ, экон. ф-т, 1969). При каком действительном $x$ выражение $\frac{2x-1}{2x-x^2-4}$ принимает наименьшее значение?

11. (МГУ, филология. ф-т, 1972). При каких положительных $x$ выражение $2x + \frac{3}{8} + \frac{1}{x+1}$ принимает минимальное значение?

12. (МГУ, экон. ф-т, 1973). График функции $y = 2x^2 - x$ пересекается в двух точках с наклонной прямой, проходящей через точку оси $y$ с ординатом $b$. Найти среднее геометрическое между длинами отрезков, соединяющих начало координат с проекциями точек пересечения на ось абсцисс.

13. (МГУ, экон. ф-т, 1973). График функции $y = \frac{1}{1-x}$ пересекается в двух точках с наклонной прямой, проходящей через точку оси $x$ с абсциссой $a$. Вычислить абсциссу середины отрезка, соединяющего проекции точек пересечения на ось $x$.

14. (МГУ, механизм, 1963). Решить уравнение $|x^2 - 4| + |x^2 - 9| = 5$.

15. (МГУ, ф-т вычислительной математики и кибернетики, 1970). Решить уравнение $|4 + \log_{1/7}x| = 2 + |2 + \log_{1/7}x|$.

16. (МГУ, ф-т психологии, 1971). Найти все значения $x$, для которых $\min \left\{1 - x^2, \frac{1-x}{2}\right\} > \frac{1}{2}$.

17. (МГУ, ф-т психологии, 1972). Найти все целые решения неравенства
    $$2x + 1 < 2\log_2(x + 3).$$

18. Доказать неравенство
    $$1 \cdot 2 \cdot 3 \dots 1973 < 987^{1973}.$$

19. Пожестому графику функции $y = \log_2 x$ катися шарик. Задержится ли он между жесткой осью ordinат и данным графиком или будет падать до бесконечности? Тот же вопрос для функции $y = \log_2 (x - 0,01)$ и $y = \log_2 (x + 0,01)$.