Числа Бернулли

10

С древних времен математики пытались построить тайны удивительного мира чисел. Этот мир привлекает своим многообразием, строостью и совершенством законов. Здесь есть «великие» и есть «карлики», общные «трудяги» и такие «знаменитости», как л и е. Но еще более многообразен мир числовых последовательностей. Здесь и последовательность натуральных чисел
1, 2, 3, …,
и полная глубоких тайн последовательность простых чисел
2, 3, 5, 7, …,
и последовательность «биномальных коэффициентов»
$C_1^1, C_2^1, C_2^2, C_3^1, C_3^2, C_3^3, ...,$

появляющихся при возведении в степени 2, 3, 4, … «бинома» $a + b$:
$(a + b)^k = a^k + C_k^1 a^{k-1} b + C_k^2 a^{k-2} b^2 + \ldots + C_k^{k-1} a b^{k-1} + b^k.$

Числа $C_k^m$ являются основным инструментом увлекательной области математики — комбинаторики $^*$. Они нам будут нужны и в этой стране. Например, что вычисляется они очень просто — по формуле
$$C_k^m = \frac{k(k-1)(k-2)\ldots(k-m+1)}{1 \cdot 2 \ldots m},$$

$1 \leq m \leq k$, с помощью которого вы легко выведете их важнейшее свойство:
$$C_k^{m-1} + C_k^m = C_k^{m+1}$$

(теорема Паскаля). Формулу (2) можно переписать еще и в таком, более «компактном» виде:
$$C_k^m = \frac{k!}{m!(k-m)!},$$

где $n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots n$ при $n > 0$; значение 0! получается равным единице (значок ! называется фактором). Из формулы (2*) немедленно вытекает еще одно свойство binominalных коэффициентов:
$$C_k^m = C_k^{k-m}.$$

$^*$ Об этой науке рассказано в книге Н. Я. Виленкина с однозначным названием, М., «Наука», 1969.

12

полагая затем $n = 0$, получим рекуррентную формулу для вычисления чисел $B_k$:

$$B_k = \frac{1}{k+1} \left[ C_{k+1}^2 B_{k-1} - C_{k+1}^3 B_{k-2} + \ldots + (-1)^k C_{k+1}^k B_1 - (-1)^k B_0 \right],$$

(7)

$B_0 = 1$.

Проверьте с помощью этой формулы значения первых четырех чисел Бернулли (см. (6)).

Бернулли удалость доказать, что и другие коэффициенты многочлена $S_k(n)$ вычисляются с помощью чисел $B_k$. Коэффициент при $n^2$ оказывается равным $\frac{B_{k-1}}{k-1} C_k^2$, коэффициент при $n^3$ равен $\frac{B_{k-2}}{k-2} C_k^3$, наконец, коэффициент при степени $n^k$ оказывается не зависящим от $k$ и всегда равным $\frac{B_1}{1} C_k^k = \frac{1}{2}$.

Особняком стоит коэффициент при старшей степени $k+1$, который сразу находится из формулы (5). Он равен $\frac{1}{k+1}$.

Таким образом, формула Бернулли имеет вид

$$S_k(n) = B_k n + \frac{B_{k-1}}{k-1} C_k^2 n^2 + \frac{B_{k-2}}{k-2} C_k^3 n^3 + \ldots + \frac{B_1}{1} C_k^k n^k + \frac{n^{k+1}}{k+1}.$$

(8)

В следующем параграфе мы показем, что формула (8) на самом деле вдвое короче.

2. Числа Бернулли с нечетными номерами

Теорема. Все числа Бернулли с нечетными номерами, кроме $B_1$, равны нулю: $B_{2m+1} = 0$ при $m \geqslant 1$.

Для доказательства воспользовемся равенством (1); применим его к разности $(1+a)^{2m} - (1-a)^{2m}$:

$$(1+a)^{2m} - (1-a)^{2m} = 2 \left( C_{2m}^1 a + C_{2m}^3 a^3 + C_{2m}^5 a^5 + \ldots + C_{2m}^{2m-1} a^{2m-1} \right).$$

Полагая здесь $a = 1, 2, \ldots, n$ и складывая полученные результаты, следует получим:

$$(S_{2m}(n) + (n+1)^{2m} - 1) - (S_{2m}(n) - n^{2m}) = (n+1)^{2m} + n^{2m} - 1.$$

Справа же получим выражение

$$2 \left( C_{2m}^1 S_1(n) + C_{2m}^3 S_3(n) + \ldots + C_{2m}^{2m-1} S_{2m-1}(n) \right).$$

(9)

Итак, имеем

$$(n+1)^{2m} + n^{2m} - 1 = 2 \left( C_{2m}^1 S_1(n) + C_{2m}^3 S_3(n) + \ldots + C_{2m}^{2m-1} S_{2m-1}(n) \right).$$

Вычислим коэффициент при $n^1$ в выражениях, получившихся в правой илевой части. В выражении, стоящем влевой части, этот коэффициент будет равен 2$m$ (очевидно). Получить вид коэффициента при первой степени $n$ в выражении, стоящем в правой части, немного сложнее: для этого достаточно в формуле (9) заменить суммы $S_j(n)$ ($j = 1, 3, \ldots, 2m-1$) числа Бернулли с теми же номерами (это утверждение следует из самого определения чисел Бернулли). Значит, имеет место такое подход:

$$C_{2m}^1 B_1 + C_{2m}^3 B_3 + C_{2m}^5 B_5 + \ldots + C_{2m}^{2m-1} B_{2m-1} = m.$$

13

No tak как $C_{2m}^1 = 2m$, а $B_1 = \frac{1}{2}$, то должно быть:

$$C_{2m}^3 B_3 + C_{2m}^5 B_5 + \ldots + C_{2m}^{2m-1} B_{2m-i} = 0. \tag{10}$$

Полагая здесь последовательно $m = 2, 3, 4, \ldots$ и учитьвая, что $C_n^k = 0$ при $k > n$, получим:

$$B_3 = B_5 = B_7 = \ldots = 0.$$

3. Связь с простыми числами

Христан Штаудт (1798—1867), исследуя числа Бернулли, получил красивый и глубокий результат, раскрывающий арithmeticую природу этих чисел. Пусть задано число $B_h$. Рассмотрим все простые числа $p$, не превосходящие $k + 1$, и также, что $p - 1$ называют $k$ (то есть номер данного числа Бернулли). По всем таким $p$ составим конечную сумму вида $\sum \frac{1}{p}$ – назовем ее суммой, соответствующей данному числу Бернулли $B_h$ (расмотренем как раз таких сумм и занимается Штаудт). Оказалось, что число $B_h$ и соответствующая ему сумма $\sum \frac{1}{p}$ взимно дополняют друг друга до целого числа. Итак, $B_h + \sum \frac{1}{p}$ – всегда число целое!

Приведем пример, позволяющий оценить важность этого результата Штаудта. Пусть нам известно, что $B_6$ такое, что $0 < B_6 < 1$. Мы хотим найти его точное значение; оказывается, что теперь это уже сделать легко.

Действительно, делители 6 являются числа 1, 2, 3, 6. Увеличив их на единицу, получим числа 2, 3, 4, 7. Из них простыми являются числа 2, 3 и 7. Подсчитываем сумму $\sum \frac{1}{p}$:

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{7} = \frac{41}{42}.$$

Таким образом, по теореме Штаудта $\frac{41}{42} + B_6$ должно быть целым числом, но так как по условию $0 < B_6 < 1$, то единственным подходящим целым числом является 1. Поэтому

$$B_6 = 1 - \frac{41}{42} = \frac{1}{42}.$$

Уражение 1. Найдите $B_{14}$, которое заключит между числами 1 и 2.

4. О теореме Куммера

В 1850 году великим немецким математиком Эрнстом Куммера (1810—1893) был получен важный результат, относящийся к probleme существования решения в целых числах уравнения Ферма $x^n + y^n = z^n$, $n \geq 3$ – к probleme Ферма. Хотя результат этого и не решает полностью проблемы, тем не менее он и посядь остаться одним из самых значительных, полученных в этом направлении. Этот результат оказывается тесно связываным с числами Бернулли.

Прежде, чем формулировать теорему Куммера, введем следующие (предложение Куммера). Пусть задано простое