Первый учебник математики, напечатанный в России

14

число $p \geqslant 3$. Изовем его результатом, если ни один из числителей чисел Бернулли $B_2, B_4, \dots, B_{p-3}$ не делится на него нацелло. Тогда теорема Куммера читается так: уравнение Ферма $x^p + y^p = z^p$, где $p$ — результатное, не решаемое в целых числах $x, y, z$, отрицных от 0. Можно проверить, что простые числа 3, 5, 7, 11, 13, 17, \dots будут результатами. Возникает вопрос: а не является ли все простые числа результатами? Оказывается, что нет. Однако первое негулярное простое число обнаруживается не так быстро. Это — двенадцатое по счету простое число 37. Удалось показать, что негулярных простых чисел бесконечного много. Что же касается результатных простых чисел, то до сих пор неизвестно, является ли их число конечным или нет.

Упражнения
2. Показите, что функция
$$f(x) = S_k(x) - \frac{x^k}{2}$$ является четной при нечетном $k$ и нечетной при четном $k$.
3. С помощью теоремы Куммера проверьте справедливость великой теоремы Ферма для $p=3, 5, 7, 11, 13, 17$.
4. Пользовать теоремой Паскала (3), найдите коэффициенты разложения
$$S_k(n-1) = a_0C_1^n + a_1C_2^n + \dots + a_kC_{n+1}^n.$$ (11)
Выведите отсюда явную формулу для чисел Бернулли (опираясь на эту формулу, Штаудт и доказал свою знамениту теорему).
5. Пусть $S_k(n) = b_0, kn^{k+1} + b_1, kn^k + \dots + b_k, kn$. Обозначим
$$S_k'(n) = (k+1)b_0, kn^k + kb_1, kn^{k-1} + \dots + b_k, k.$$
Используя формулу (5) и метод математической индукции, доказите, что
$$S_k'(n) = kS_{k-1}(n) + B_k.$$ (12)
6. Подумайте, как использовать соответствие (12) для определения коэффициентов многочлена $S_k(n)$, то есть для доказательства формулы Бернулли.

Первый учебник математики, направанный в России

Первым российским учебником математики была книга «Арифметика» Леонтия Филипповича Магницкого, изданная в 1703 г. в Москве. В течение получения книги эта служила единственным учебником. По нему занимались в Московской Навиг讼ской школе и цифрных или аргументических школах будущее астрономы, геодезисты, ученые капитаны и адмиралы Российской флота. Средние численные у самого Л. Ф. Магницкого в Навиг讼ской школе исследователь Камчатки и Курильских островов С. И. Челюскин, геодезисты Ф. Ф. Лужин и И. М. Евренов, составившие первые географические карты Камчатки, вице-адмирал — гидрогraf и картофель, исследователь Каспийского моря, Чукотского полуострова и Охотского моря Ф. И. Соймонов, адмирал Н. Ф. Головин, генераль-adмирал М. М. Голицин, капитан-командор А. И. Чирков и многогеографии.

Самоучкой занимается по «Арифметике» Л. Ф. Магницкого Михаил Васильевич Ломонсов. Он, так же как до него Л. Ф. Магницкий, учится в Славяно-греко-латинской академии, а в ней математике не преодолали.

М. В. Ломонсов называют «Арифметику» Л. Ф. Магницкого «вратами учености» и, по свидетельству некоторых биографов М. В. Ломонсова, даже вычил ее наизусть.

«Арифметика» Л. Ф. Магницкого содержит примерно 600 страниц текста. Из них более 40 страниц отделено. И это было естественно — поскольку книга представляет собой не только учебник, но и получарное введение в математике. Она объясняет, зачем нужно математика, какую роль она играет в жизни.

Талантливо написанная книга математика-педагога, самоучки, крестьянского сына Леонтия Магницкого обеспечила его имя.

В. Н. Березин