Ленинградский государственный университет

47

Ленинградский государственный университет

Ленинградский ordenа Ленина и ordenа Трудового Красного Знаменя государственный университет им. А. А. Жданова готовит специальов по математике и физике на трех факультетах.

Математiko-механический факультет имеет специальности: математика, механика, астрономия и гидроэнергетика.

Студенты физического факультета получают специальности: физика, геофизика, радиофизика и электроника.

Факультет прикладной математики — процессов управления выпускает специальов по прикладной математике.

Вступительные экзамены на математикомеханический факультет и факультет прикладной математики — процессов управления августе, а на физический факультет — в июле. Ниже мы приводим варианты письменного вступительного экзамена по математике и задачи устного экзамена по физике в ЛГУ в 1973 году.

Математika

Вариант 1
(математикомеханический факультет и факультет прикладной математики — процессов управления)

1. Машинно-тракторная станция должна послать в совхоз для выполнения определенной работы некоторое количество тракторов, причем известно, что 10 тракторов выполнять эту работу за 12 рабочих дней. Кроме того, известно, что совхоз выплчаивает в течение всего периода работы в совхозе ремонтной бригаде 30 руб. за 1 день и каждому трактории 4 руб. 80 коп. за 1 день работы в совхозе и обратно (в течение периода работы тракторы находятся в совхозе). При каком количестве тракторов суммарная оплата рабочим завыполнение всех работ будет наименьшей? Чему равна минимальная оплата рабочим?

2. Решить уравнение
   $(2 + a) \cos^2 x + \sin x \cos x = (1 - a) \sin^2 x$ при всех значениях параметра $a$.

3. Выбрать число $b$ так, чтобы наиболее значение функции
   $|-2x^2+x+b|$
   на промежутке $0 \leq x \leq 1$ было наименьшим.

4. В прямогольнике $ABCD$ данно: $AB = a$, $AD = b$. Найти на стороне $AB$ точку $E$, для которого $\overrightarrow{CED} = \overrightarrow{AED}$.

5. В конце высота равна диаметру основания. Через некоторую образушую конуса проведена плоскость, касательная к боковой поверхности конуса, и в этой плоскости через вершину конуса проведена прямая под углом $\alpha$ к образушей. Найти угол, который составляет проведенная прямая с плоскостью основания.

Вариант 2
(химический и психологический факультет и экономический факультет (кроме отделения политэкономии))

1. Из сосуда емкости в $v$ литров, наполненного $p$-процентным растором кислоты, отлили некоторые количество расторова и добавили такое же количество $q$-процентного расторова ($q < p$). Крепость полученного расторова оказалась в $k$ раз меньше крепости расторова, который получится, если при переливании вместе $q$-процентного расторова использовать растор в 2 раза больше крепости. Сколько было израсходованного $q$-процентного расторова?

2. Решить неравенство
   $$\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}} > \frac{x}{2}.$$

3. Решить уравнение
   $(\cos 2x+\cos x+1)^2 = 2(2\cos x+1)(\cos 2x-\cos x).$

4. В равноведренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) проведена медиана $AD$. Найти угол $BAD$, если угол при вершине $B$ равен $\alpha$.

5. В правильной треугольной примине извлечены $r$ круга, описанного около основания, и угол $\alpha$ наклона боковой грани к плоскости основания. Найти радиус описанного шара.

Вариант 3
(геологический факультет и отделение политэкономии экономического факультета)

1. Работой по плану за несколько дней должны быть изготовить 260 деталей. Первыше 2 дня он работал по плану, а в последующие дни работы перевыполнял план, изготовления ежедневно на 10 деталей больше, чем это предусматривалось планом. Поэтому уже за 2 дня до срока было изготовлено 268 деталей. Сколько деталей должны быть изготовлены по плану за один день?

2. Решить уравнение
   $$2\log_2x \mathrm{tg} x + \log_t x \sin x = 3.$$

3. На плоскости найти геометрическое место точки, координаты которых $x$ и $y$ удовлетворяют уравнению
   $$x = |x-y|^2 + y.$$

4. Определить площадь трапеции, если ее основания равны 6 см и 11 см, одна из боковых сторон — 4 см, а сумма углов при нижнем основании равна $\pi/2$.

48

Рис. 1.

5. Две равные правильные четырехугольные прямые расположены в пространстве так, что их основания совпадают, а вершины расположены по разные стороны от общей плоскости основания. Известно, что сторона основания равна $a$, а плоский угол при вершине равен $\alpha$. Найти радиус шара, вписанного в воспгранник, образованный этими прямидами.

Вариант 4

(биологическо-механический факультет)

1. Два величины равные четырехугольные прямые расположены в пространстве так, что их основания совпадают, а вершины расположены по разные стороны от общей плоскости основания. Известно, что сторона основания равна $a$, а плоский угол при вершине равен $\alpha$. Найти радиус шара, вписанного в воспгранник, образованный этими прямидами.

2. Решить неравенство
   $$\sqrt{\frac{1+x}{1-x}} + \frac{\sqrt{1-x}}{2\sqrt{1+x}-1} \geq 0.$$

3. Решить уравнение
   $$\log_{g} x (2+4\cos^2 x) = 2.$$

4. К окружности, вписанной в треугольник с перimetром 18 cm, проведена касательная параллельно основанию треугольника. Отрезок касательной между боковым сторонами 2 cm. Найти основание треугольника.

5. В правильной треугольной прямиде сторона основания равна $a$, а боковое ребро равное $l$. Через центр основания плоскость параллельно одной из сторон основания и параллельно противоположному боковому ребру. Найти площадь секения.

Физика

(математико-механический факультет, факультет прикладной математики — процессов управления, физический факультет)

1. Свинцовая пуля массы $m$, летящая со скоростью $v$, попадает в первоначальное положение свинцовый шар массы $M$ и застревает в нем (удар любовой). При каком относении масс пуля и шара они нагреются до набольшей температуры?

2. Нижние концы очень легкой листицы-стремянки соединены вервкой. Найти ее натяжение $T$, когда электромонтер весом $P$ поднялся по стремике до ее середины. Пол идеально гладкий. Каждая сторона листицы составляет с полом угол $\alpha$.

3. В ящике, перекрытом перегородкой (рис. 1), находится один mole одноатомного идеального газа при нормальных условиях. Сразу за перегородкой расположена в свободном состоянии прижина с поршнем, нахождения в пустоте. Коэффициент упругости прижины $k$. Перегородку убирают. Качеде давление, температура и объем установятся в системе, если нет теплового взаимодействия с внешней средой? В новом положении равновесия прижина сжата не до отказа. Площадь поршня $S$. Теплоемкость поршня претенбреть.

4. В блюдце налито $m \cdot e$ воды, а сверху ставится перевернутый вверх дом нагретий стакан с тонкими стенками. До какой абсолотной температуры $T_1$ (наименшей) должен быть нагрет стакан вместе с находящимся в нем воздейством, чтобы после остывания до температуры $T_0$ окружающего воздуха в него оказалась бы втянутой вся вода? Атомосферное давление $p_a$, площадь секения стакана $S$, высота $h$, удельный вес воды $d$. Объем налито воды меньше объема стакана. Явлениями испарения, поверхностного натяжения и расширения стакана претенбреть. Блюдце считать широким, так что высота налито в него воды мала.

5. Найти механическую работу, совершенную электрическими силами при повороте ручки настройки конденсатора переменной emкости, подключенного к батарее с э. д. с. $E = 300$ в. Емкость при этом меняется от $C_1 = 10$ мф до $C_2 = 100$ мф.

6. Облучая металлический шар светом, наблюдаем фотоэфект. Как изменится красная граница фотоэфекта, если на шар помещить положительный заряд $q$? Радиус шара $R_0$. Вылетайте электроны регистрации на расстоянии $R \gg R_0$ от центра шара.

7. На рисунке 2 показан ход луча ABC через линзу. Построить путь луча DE после его прохождения через линзу.