Механические колебания

31

Механические колебания
В. А. Тихомирова

Гармоничским колебательным движением называют движение, произходящое по закону
$$x = x_0 \cos(\omega t + \varphi_0).$$
(1)

Здесь $x$ — смешение тела из положения равновесия, $x_0$ — амплитуда колебаний, $\omega t + \varphi_0 = \varphi$ — фаза колебаний, $\omega$ — циклическая частота, которую можно связать с частотой колебаний $v$ или периодом колебаний $T$ соответствиями $\omega = 2\pi v = \frac{2\pi}{T}$, и $\varphi_0$ — начальная фаза. Найбольшую трудность при изучении этих величины вызывает обусловно понятие фазы колебаний. Из уравнения (1) видно, что, зная фазу колебаний и амплитуду, можно определить не только положение тела в данной момент времени, но и направление движения тела. Поэтому говоря, что фаза колебаний характеризует статию колебательного движения в расстатриаемый момент. Начальная фаза показывает, с какой стадии начался колебательный процесс. Пусть, например, математический матрик (рис. 1, а) клебляется с начальной фазой $\varphi_0 = \frac{\pi}{2}$.

Это означает, что он начинает двигаться из положения равновесия влево. Через четверть периода, когда фаза колебаний $\varphi = \omega t + \varphi_0 = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{4} + \frac{\pi}{2} = \pi$, матрик должен до крайнеголевого положения (рис. 1, б) и т. д. Особенно важными понятия фазы и начальной фазы становятся при сравнения или сложении нескольких колебаний.

Уравнение (1) — это kinematический закон, описывающий гармоничное колебание и связывающий основные kinematические величины, характеризующие это движение. Вспомним, когда возникнет амплитуда, частота и начальная фаза колебаний. Самые простые и наглядные примеры колебательных систем — это пружинный (рис. 2) и математический матрик. Будем говорить только о свободных (или собственных) колебаниях этих матриков *).

*) Уравнение (1) описывает и вынужденные колебания.

32

Если каким-нибудь образом вывести матник из состояния равновесия, сообщив ему неокоторую начальную энергию, он будет совершать периодические повторяющиеся движения. Отличительной особенность колебаний по сравнению с остальныеми видами периодических движения является то, что существует особое положение — положение равновесия, к которой матник периодических возврашается, но не оставливается в этом положении, а продолжает двигаться дальше по инерции.

Следовательно, в системе, обладающей инертностью, образательно должны быть так называемая возврашающая сила. Вружинном матнике это — сила упругости, в математическом — составляющая силы тяжестести. Возврашающая сила связана со смесением матника от положения равновесия:

$$F_B = -kx.$$

Это равенство по виду наполняет закон Гука для упругих деформаций:

$$F_{ynp} = -k_{ynp}x,$$

где $x$ — величины деформации, $k_{ynp}$ — коэффициент упругости. Поэтому возврашающий силу часто называют квазупругой силой (приставка «квазин» означает «как бы»), а $k$ — коэффициентом квазупругости. Коэффициент $k$ зависит от природы возврашающей силы.

Таким образом, основной закон диамкики — второй закон Ньютона для гармоничских колебаний записьается так:

$$a = \frac{F}{m} = -\frac{k}{m}x. \quad (2)$$

Решением этого уравнения и является выражение (1).

Начальная фаза $\varphi_0$ зависит, конечно, только от начальных условий. Циклическая частота $\omega$ зависит от $m$ и $k$, характеризующих инертные и квазупругие свойства системы, следующим образом:

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.$$

Но если вы забыли эту формулу, то вспомнить ее помогут простые физические сообщения и метод размерностей.

Действительно, чем больше коэффициент квазупругости $k$, тем больше ускорение матника в любой момент времени, тем быстрее матник совершает колебания. Чем больше масса матника, тем меньше его ускорение, тем медленнее проискодят колебания.

Запишем зависимость $\omega$ от $m$ и $k$ в таком виде:

$$\omega = Ak^\alpha m^\beta,$$

где $A$ — безразмерный коэффициент пропорциональности, $\alpha$ и $\beta$ — безразмерные показатели степени. Телерь восполняет правила размерностей, по которой размерности левой и правой части любого равенства должны быть одинаковыми, то есть

$$[\omega] = [k^\alpha] [m^\beta].$$

В системе СИ $$[\omega] = c^{-1}, [k] = \kappa \cdot c^{-2}, [m] = \kappa \cdot c^{-2\alpha} \kappa e^\beta.$$

Найдем, при каких $\alpha$ и $\beta$ это равенство обратится в точдество. Для этого приравняем показатели степени у одинаковых оснований слева и справа и получим систему

$$\begin{cases} -1 = -2\alpha, \\ \alpha + \beta = 0, \end{cases}$$

откуда

$$\alpha = \frac{1}{2} \text{ и } \beta = -\frac{1}{2}.$$

Таким образом,

$$\omega = A \sqrt{\frac{k}{m}}.$$

Коэффициент $A$, который в самом деле равен 1, методом размерностей найти, конечно, нельзя.

Телерь об амплитуде колебаний. Конечно, она зависит от энергии, которой сообщили матнику в начальной момент. Конкретнее поговорим об этом при решении следующей задачи.

33

Рис. 3.

Задание 1. Пружинный магниток совершаем гармоничическую колбания с циклической частотой $\omega$ и амплитудой $x_0$. Найти максимальные значения ускорения и скорости магнитка, а также величины его механической энергии.

По второму закону Ньютона для гармоничских колбаний

$$a = -\omega^2 x.$$

Поскольку смешение $x$ меняется по гармоничскому закону, а $\omega^2$ — величины постоянная, то ускорение магнитка $a$ тоже меняется по гармоничскому закону, причем его амплитуда

$$a_0 = \omega^2 x_0.$$

Знак минус в уравнении движения говорит о том, что колбания ускорения противоположны по фазе колбании смешения.

Раз смешение магнитка и его ускорение меняются со временем по гармоничскому закону, то естественно предположить, что и скорость магнитка меняется по такому же закону. Строение расчета действительно подтверждают эти предположения. Амплитууд колбаний скорости можно найти, воспользоваться законом сохранения энергии.

Механическая энергия магнитка $E$ складывается из кинетической энергии шарика $E_K = mv^2/2$ и потенциальной энергии упругой деформации рукжины $E_\pi = kx^2/2$.

Рис. 4.

При прохождения положения равновесия, когда невесомая рукжина недеформирована, а скорость шарика $v_0$ максимальная, полная энергия

$$E = E_K \max = \frac{mv^2}{2}.$$

В момент наибольшего удаления шарика от положения равновесия, когда его скорость равна нулю, а деформация рукжины максимальная, энергия

$$E = E_\pi \max = \frac{kx^2}{2}.$$

Полная энергия магнитка с течение времени не меняется (мы рассматриваем не затухающие свободные колбания), поэтому

$$\frac{mv^2}{2} = \frac{kx^2}{2},$$

откуда

$$v_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} x_0 = \omega x_0.$$

Колбания скорости определяют по фазе колбании смешения на четвертый период, то есть на $\frac{\pi}{2}$.

Графики зависимости смешения $x$, скорости $v$ и ускорения $a$ от времени данных на рисунке 3.

Итак, полная механическая энергия, самым темным образом связанная с амплитудой смешения $x_0$ или с амплитудой скорости $v_0$, есть величаная постоянная. Но ведь она скла

34

Дывается из кинетического и потенциальной энергии. Запишем выражение для потенциальной энергии урругой деформации:

$$E_{\pi} = \frac{kx^2}{2} = \frac{kx_0^2}{2} \cos^2 \omega t = \frac{kx_0^2}{4} (1 + \cos 2\omega t).$$

Отсюда видно, что потенциальная энергия тоже меняется с течение временно по гармоничскому закону, но частота ее колбаний в 2 раза больше частоты колбаний смесения мятника.

Кинетическое энергию можно представить как разность полной энергии, равной $E = \frac{kx_0^2}{2}$, и потенциальной энергии:

$$E_k = E - E_{\pi} = \frac{kx_0^2}{4} (1 - \cos 2\omega t).$$

Следовательно, кинетическая энергия изменяется в противофазе по сравнению с потенциальной. Графические это показано на рис. 4, где $T'$ — период колбаний энергии, а $T$ — период колбаний смесения.

Мы видим, что рассматривая колбания, можно говорить не только о колбанях смесения, скорости,ускорения, но также и о колбанях кинетического и потенциальной энергии. Теперь рассмотрим несколько задач и убедимся в том, что для их решения достаточно выяснить природу возвратающей силы, записать для нее соответствующее выражение, а также воспользоваться законом сохранения энергии.

Задание 2. На цашку весов, подвешенную на пружине, nadaем с высоты $h$ груз массы $m$ и остаемся на чашке (рис. 5, а). Козефццент упрощим пружины равен $k$. Массы пружины и чашки малы по сравнению с массой груза. Определить амплитуду и период свободных колбаний чашки с грузом.

Система, действительно, будет совершать колбания, так как она представляется собой пружинный мятник, расположенный вертикально. Но, кроме сил упругости пружины, на чашку с грузом действует еще сила тяжесте. Какова ее роль? Эта сила, оказывается, изменяет положение равновесия системы, смещая его вниз на величины $\Delta x$ (рис. 5, б).

Рассмотрим две системы координат: $OX$ и $O'X'$. Запишем закон движения мятника в первой системе:

$$ma = -kx + mg.$$
Но
$$x = x' + \Delta x.$$

Величину $\Delta x$ можно найти из условия равенства сил тяжесте и упругости в положении равновесия: $mg = k\Delta x$. Поэтому

$$ma = -kx' - k \frac{mg}{k} + mg,$$

то есть

$$ma = -kx'.$$

Следовательно,ускорение системы сообщает только сил упругости.

Перiod колбаний равен

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}.$$

Амплитууду колбаний найдем, исходя из закона сохранения энергии.

35

Рис. 6.

В начальной момент груз обладает потенциальной энергейой тяготения. В момент, когда пружина максимально растянута, потенциальная энергия пружой деформации запасена в пружине (за начало отсчета высот приннимаем нанизше положение цашки с грузом, поэтому во втором случае груз не обладает никакой энергейой). Приравняем эти энергии *):

$$mg(h + \Delta x + x_0) = \frac{k(\Delta x + x_0)^2}{2},$$

где

$$\Delta x = \frac{mg}{k}.$$

Отсюда

$$x_0 = \frac{mg}{k}\sqrt{1 + \frac{2kh}{mg}}$$

Задание 3. Наименование колебаний магнитков, изображенных на рисунке б. Коэффициенты пружости пружин равны $k_1$ и $k_2$, масса груза m. Масса пружин пренебречь.

Рассмотрим сначала первый матник (рис. 6, a). Если сместить груз из положения равновесия, например, вниз на величину x, то верхняя пружина дополнительно растянет на длину x, а нижняя — сохрается тоже на x. Но обе дополнительные силы пружости направлены вверх, то есть они возврашают груз в положение

*) Это можно сделать, так как чашка не весома, и начальная энергия чашки с грузом равна энергии падающего груза.

Рис. 7.

равновесия, поэтому можно записать:

$$ma = -k_1x - k_2x = -(k_1 + k_2)x.$$

По уравнению движения матника

$$a = -\omega^2x,$$

позетом

$$\omega = \sqrt{\frac{k_1 + k_2}{m}}.$$

Во втором случае (рис. 6, б) при смешении груза из положения равновесия вниз на величину x обе пружины растянутся, но их удлинения $x_1$ и $x_2$ будут разными. Однако

$$x_1 + x_2 = x.$$

Так как пружины не весомы, силы пружости должны быть одинаковыми*):

$$k_1x_1 = k_2x_2.$$

Поэтому закон движения груза:

$$ma = -k_1x_1 = -k_2x_2 = -\frac{k_1k_2}{k_1 + k_2}x,$$

откуда

$$\omega = \sqrt{\frac{k_1k_2}{(k_1 + k_2)m}}.$$

Заметим, что частота колебаний первого матника больше, чем частота колебаний второго.

*) Рассмотрим, например, вторую пружину. На нее со стороны первого пружины действует сила $F_1 = k_1x_1$, направленная вверх, и со стороны груза действует сила $F_2$, равная по третьему закону Ньютона солею пружости второй пружины и направленная вниз (то есть $F_2 = k_2x_2$). Запишем уравнение движения для пружины: $m_2a_2 = F_2 - F_1 = k_2x_2 - k_1x_1$. Так как пружина не весома, то есть $m_2 = 0$, то $k_2x_2 = k_1x_1$.

36

Действительно,

$$\sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}} - \sqrt{\frac{k_1k_2}{(k_1+k_2)m}} = \frac{1}{\sqrt{m}} \left[ \frac{(k_1+k_2) - \sqrt{k_1k_2}}{\sqrt{k_1+k_2}} \right] > 0,$$

так как среднее арифметическое $\frac{k_1+k_2}{2}$ всегда больше или равно среднему геометрическому $\sqrt{k_1k_2}$.

Задача 4. Ареометр массой m представляет собой шарик, заполненный двойью, и цилиндрическую прубку с поперечным сеценем S. Он помещен в циндкость с плотностью $\rho$ (рис. 7). Ареометр порегулиatum в циндкость несколько глубже, чем это нужно для равновесия, и затем отпускают. Наименied свободных колебаний ареометра.

В положении равновесия слая тяжести уравновешивается выталкивающей силой. Если ареометр глубже погружен в жидкость, выталкивающая слая становится больше силей тяжести, возникает равновесий сила, направленная вверх. Пройдя по инерции положение равновесия, ареометр оказывается погруженным в жидкость меньше, чем это нужно для равновесия, возникает равновесий сила, направленная вниз. Таким образом, изменение выталкивающей силы выполняет роль возврашающей силы:

$$\Delta F_{\text{выт}} = -\rho g \Delta V = -\rho g Sx$$

(знак минус говорит о том, что изменение выталкивающей силы противоположно изменению объема погруженной части ареометра). Следовательно, в этом случае $k = \rho g S$, поэтому

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{\rho g S}}.$$

Задача 5. Математический магнит длиной l укреплен на тележке, скатывающейся без трения с наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$. Наименied равновесия магника и перiodе его колебаний.

Поскольку магнит находится на тележке, скатывающейся с наклонной плоскости сускорением $a = g \sin \alpha$, то его положением равновесия будет положение, при котором магнит движется относительно плоскости с тем жеускорением $a$, что и тележка.

На шарик действуют две силы: сила тяжести $mg$ и сила натяжения нити $F_H$. Равновесий этах сил в положении равновесия и должано сообщить шарикуускорение $a$:

$$F_p = ma = mg \sin \alpha.$$

Из рисунка 8 видно, что это возможно только в том случае, когда нить магнитка перpendикулярна к наклонной плоскости.

Итак, составляющая силы тяжести вдоль плоскости, равная $mg \sin \alpha$, должна обеспечить магниткуускоренное движение по наклонной плоскости. Сила натяжения, всегда перpendикулярная к траектории движения шарика относительно тележки, тоже не может выступать в роли возврашающей силы. Поэтому остается одна слая — составляющая силы тяжести, перpendикулярная к плоскости и равная $mg \cos \alpha$. Можно сказать, что магниток совершает колебания как бы в ином поле тяжести сускорением свободного падения $g' = g \cos \alpha$.

Рис. 8.

37

Перiod таких колебаний

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g \cos \alpha}}.$$

Задание 6. Мягтник состоит из металлической шарика, подвешенное на цикловой нити. Как изменится период его колебаний, если шарику сообщить положительный заряд, а другой шарик, заряженный отрицательно, помещить внизу, на одной вертикали с нимью магнитка (рис. 9, а)?

Кроме силы тяжестии и силы натажения нити, на заряженный шарик магнитка действует еще электронная сила прятяжения к противоположно заряженному шарику, находящемуся ниже. Эта сила, как и силы тяжестии, будет давать составляющую на направление движения (рис. 9, б), что увеличит возврашающий силу:

$$F_B = F'_B + F''_B.$$

При этом увеличится среднее значение ускорения магнитка, а перiod, соответствующего, уменьшится. Положение равновесия магнитка остается вертикальным.

Уражнения

1. Математический магниток, состоящий из нити длиной 243 cm и стального шарика диаметром 4 cm, совершает гармоничное колебания с амплитудой 10 cm. Определить скорость шарика при прохождения положения равновесия и наобольшее значение возврашающей силы. Плотность стали равна 7,8 e/cm³.

2. Тело массой M, скрепленное с пружиной, совершает колебания с амплитудой $x_0$ на гладком горизонтальном столе. В тот момент, когда тело проходит положение равновесия, на него сверху падает и приплпает к нему кусок пластинна массы m. Как изменится амплитуда колебаний?

3. Шар массой $m_1 = 0,2$ ке лежит на абсолотно гладкой поверхности. С помощью нити, перекинуть через блок, к нему прикреплен груз массой $m_2 = 0,1$ ке (рис. 10). Блок представляет собой тонкостенный цилиндр массой $m_3 = 0,3$ ке. При равновесии этой системы легкая пружина растянула на $\Delta l = 5$ cm. Определить циклическую часть свободных колебаний шара, если груз без толчка немного оттянули вниз и отпустили.

4. Груз массой 0,5 ке, подвешенный на невескомой пружине, колебляется с частотой 0,4 ец. Каковы будут частоты колебаний того же груза на двух таких пружинах, если один раз они соединены последовательно, а другой раз паралельно (рис. 11)?

5. В U-образную трубку налита ptrуть. Найти перiod колебаний ptrути, если площадь поперечного сечения трубки S, масса ptrути m и плотность ptrути р.

6. Горизонтальная подставка совершает в вертикальном направлении гармоничное колебания с амплитудой $x_1$. Какова может быть максимальная частота этих колебаний, если лежащий на подставке предмет не отделяется от нее?

7. Лифт поднимается вверх сускорением $a_1$ в течение времени $t_1$, затем с заменением $a_2$ в течение времени $t_2$. В лифте находится математический магниток длиной $l$. Сколько колебаний он совершит за время движения?

8. Как изменится перiod колебания магнитка (см. задачу 6 в статье), если отрицательно заряженный шарик помещить в точке подвеса?