Телевидение готовит в вуз

50

Телевидение
ГОТОВИТ В ВУЗ

На отделении математики Москвы технологов в мае рассматривались темы «вписанные и описанные шары», «шилндр и конус», «решение задач из различных разделов стереометрии», «о доказательствах в математике», «доказательство неравенств». По темам стереометрии мы предлагаем для сэмостояльного решения ряд типичных задач из домашних задачи.

Mathematica

1. (МИФИ, 1973). По окружности в противоположных направлениях движения два тела, причем первое — равномерно со скоростью v, а второе — равноскореенно с линейным ускорением a. В начальной момент они находились в одной точке окружности A, причем скорость второго тела была равна нулю. Через какое время произойдет первый встреч эти тел, если второй встреч произойдет в точке A?

2. (МИФИ, 1973). В основании четырехугольной парамиды лежит квадрат со стороны a. Поскольку через вершину парамиды и диагонали основания, наклонены к плоскости основания соответственно под углами φ и ψ. Найти объем парамиды, если ее высота пересекает одну из сторон основания парамиды.

3. (МИФИ, 1973). Высота прямого крутового конуса равна H. Две взаимно перпендикулярные образующие делят окружность основания на две дуги, одна из которых вдое короче другой. Найти объем конуса.

4. На высоте конуса как на диаметре построена сфера. Площадь части поверхности сферы, лежащей в конуса, составляет $1/2$ площади основания конуса. Найти угол между высотой и образующей конуса.

5. В шар радиуса R вписана прямая треугольная признама. Основанием признамы служит прямогольный треугольник с острым углом α, а ее наибольшая боковая грань есть квадрат. Найти объем признамы.

6. (МИФИ, 1972). В треугольной парамиде SABC известны плоские углы при вершине S: $\Rightarrow BSC = 90^\circ$, $\Rightarrow ASC = \Rightarrow ASB = 60^\circ$. Вершины A, S и середины ребер SB, SC, AB, AC лежат на поверхности шара радиу-ca 3 м. Доказать, что ребро SA является диаметром этого шара, и найти объем парамиды.

7. (МГУ, 1972). При шара попарно касаются друг друга и некоторой плоскости. Точки касания шаров с плоскостью образуют прямогольный треугольник с катетом, равным 3 см, и противоположным углом в 30°. Определить радиусы данной шаров.

В конце мая на телефонах были изучены темы «о доказательствах в математике» и «доказательство неравенств». По этим темам мы предлагаем вам ряд задач.

8. Доказать, что если a + b = 1, где a и b — действительные числа, то

a) $a^2 + b^2 \geq \frac{1}{2}$; 6) $a^4 + b^4 \geq \frac{1}{8}$.

9. Доказать, что если a, b, c, d > 0, то $\frac{a + b + c + d}{4} \geq \sqrt[4]{abcd}$, причем знак равенства имеет место лишь при a = b = c = d.

10. Доказать, что если $a_1 > 0, a_2 > 0, \dots, a_n > 0, a_1a_2...a_n = 1, n \geq 2$, то $a_1 + a_2 + \dots + a_n \geq n$.

при этом знак равенства имеет место лишь при $a_1 = a_2 = \dots = a_n$.

11. Доказать, что если $a_1 > 0, a_2 > 0, \dots, a_n > 0$, то $\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$, причем знак равенства имеет место лишь при $a_1 = a_2 = \dots = a_n$.

12. Доказать, что если положительные числа $a_1, a_2, \dots, a_n$ составляют арифметическую прогрессию, то

$$\sqrt{a_1a_n} \leq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n} \leq \frac{a_1 + a_n}{2}$$

13. Доказать, что при n ≥ 2 выполняется неравенство $n^n \leq (n!)^2$.

14. Доказать, что если $\frac{\pi}{4} < \varphi < \frac{\pi}{2}$, то $\frac{\sin^2 \varphi}{\cos \varphi (\sin \varphi - \cos \varphi)} \geq 4$.

15. Доказать, что если $\frac{\pi}{4} < \varphi < \frac{\pi}{2}$, то $\frac{\sin \varphi}{\cos^2 \varphi (\sin \varphi - \cos \varphi)} > 8$.

Физика

На отделении физики телевизонных физико-mатематических курсов для поступающих вузы в апреле и мае читались лекции и проводились практические занятия по разделам «Геометрическая оптика», «Волновые и квантовые свойства света», «Строение atoma».