Кривые Пеано

13

С 26 по 30 марта 1974 года в Тбилиси состоялась вторая научная конференция учащихся Тбилиской физико-математической средней школе-интерната имени В. М. Комарова. На этой конференции грузинская школьница Медея Торонджадзе прочитала доклад «Кривые Пеано», подготовленный под руководством А. Д. Бендукидзе. Доклад был оформлен в виде статьи, которое мы предложаем вниманию читателей. В ней рассказано о том, как роздалось определенные линии, и о кривой, из-за которой это определенное пришлось менять. Окончательное определенные линии (точнее, размерности точного множества) вы найдете в статье академика П. С. Александрова (см. с. 3).

Что такое линия?

Наверное, многое из тех, кому будет задан этот вопрос, с недоумением пожут плечами и ответят: «Линия? Да это же очень просто! Проведите острием хорошо отточенного карандаша по бумаге, и вы получите линию».

Кажется, что они правы,— ведь говоря о линии, мы и в самом деле представляем себе нечто, похожое на выощийся тонкий штрих, например на листе бумаги.

И тем не менее они не будут правы! Причина очень проста: они должны не определенное, а указание на то, что следует понимать под линей. Впрочем, винить их вряд ли стоит, так как дать точное математическое определение линии не стоит просто, как это может показаться с первого взгляда. Математикам для этого понадобилось около 2200 лет!

Первым, кто попытался определить линию, был Евклида французский математик РенЕ Де-

Медея Торонджадзе читает доклад «Кривые Пеано» на конференция учащихся физико-математических школе-интернатов в Тбилиси

14

намы коморых удовлетворяном некоморому уравнению вида $F(x, y) = 0$.

Это было довольно общее и хорошо определение линей. Оно было хорошо тем, что позволяло свести изучение линей к изучению задающего ее уравнения $F(x, y) = 0$. Но позже выяснились, что нередко функция $F(x, y)$ имеет довольно сложный вид.

Например, если окружность радиуса $R$ задается уравнением

$$x^2 + y^2 - R^2 = 0$$

(здесь $F(x, y) = x^2 + y^2 - R^2$), то спираль Архимеда таким простым уравнением задается нельзя. Спираль Архимеда — это кривая, описываемая точкой, равномерно движущейся по лучу, который при этом равномерновращается вокруг неподвижной точки (рис. 1). Эту кривую проще изучать геометрические, не прибегая к уравнении.

Определение Декарта имело еще один недостаток: если не накладывать никаких ограничений на вид функции $F(x, y)$, то любое множество на плоскости по Декарту является линейной (достаточно определить функцию $F(x, y)$ так: на заданном множество пар $(x, y)$ эта функция равна нулю, во всех остальных точках плоскости $F(x, y) = 1$). Например, единный квадрат по Декарту является «линий», он задается уравнением

$$|x| + |x-1| + |y| + |y-1| - 2 = 0$$

здесь функция

$$F(x, y) = |x| + |x-1| + |y| + |y-1| - 2$$

далее непрерывна!

Во второй половине XIX века другой французский математик Камилл Жордан (1838—1922) развил понятие линей, предложенное Декартом. Жордан определил плоскую линию как множество точек плоскости, координаты $x$ и $y$ компых данных уравнениями

$$x = \varphi(t), y = \psi(t)$$

еде $\varphi(t)$ и $\psi(t)$ — функция, непрерывные на отрезке [0, 1].

Рис. 1.

Сейчас такой способ задания линей называется параметрическим (с параметром $t$).

Например, параметрическое уравнение окружности радиуса $R$ имеет вид

$$x = R \cos 2\pi t, \quad y = R \sin 2\pi t.$$

Спираль Архимеда (точнее, ее кусок) задается несложными уравнениями

$$x = vt \cos \omega t, \quad y = vt \sin \omega t.$$

Некоторые времен казалось, что, наконец, найдено удачное определение линей, при котором квадрат уж никак в «линии» не попадет. Как бы не так!

В 1890 году итальянский математик Джузеппе Пеано (1858—1932) построил пример кривой, обегающей все точки квадрата, и при этом удовлетворяющей определению линей, данному Жорданом! В дальнейшем были найдены и другие примеры подобных «линий». Теперъ также «линии» называются «кривыми Пеано». Построение одной из кривых Пеано мы приведем в конце статьи.

Кривые Пеано показывают, что определение Жордана слишком широко. Трудно считать линейный кривую, заполняющую целый квадрат. В то же время оно и слишком узко — существенно линни, не подхождение под этого определение.

15

Итак, что же такое линей? В случае плоских линей окончательный ответ на этот вопрос был дан одним из крупнейших математиков конца XIX — начала XX века Георгом Канторов (1845—1918). Не оставливаясь на точной формулировке этого определения, приведем один интересный пример канторов линей, построенный известным пользователем Ващлавом Серпинским.

Возьем квадрат. Разделим его на двеять конгрузных квадратов и удалим из него внутренние точки центрального квадрата. Каждый из оставшихся восемми квадратов разделим на двеять конгрузных квадратов и в каждом из них снова удалим внутренние точки центрального квадрата. Продолжая этот процесс неограниченно, мы и получим искому ли ию. Ее называют ковром Серпинского (на первой странице обложки показана фигура, которая получается при построении ковра Серпинского после третьего шага). Обратите внимание на то, что сколь угодно близко от любой из оставшихся точки (ковра Серпинского) найдется точка, выкинутая из исходного квадрата.

В 20-х годах нашнего века соверший математик П. С. Урысо и обобщил определение Кантора и дал общее определение линей *).

Построение кривой Пеано

1. Пусть σ — единчный отрезок [0,1]. Разделим его на четыре конгрузных отрезка:

$$\sigma_{1}^{(1)} = \left[ 0, \frac{1}{4} \right], \quad \sigma_{2}^{(1)} = \left[ \frac{1}{4}, \frac{1}{2} \right], \quad \sigma_{3}^{(1)} = \left[ \frac{1}{2}, \frac{3}{4} \right], \quad \sigma_{4}^{(1)} = \left[ \frac{3}{4}, 1 \right].$$

*) Об этом подробно рассказано в статье академика П. С. Александрова «Павел Самулович Урысон» (см. с. 3). См. также А. С. Пархоменко «Что такое линия», М., Гостехидат, 1954.

Назовем эти отрезки отрезками первого рана. Разделив каждый из них на четыре конгрузных отрезка, получим 16 отрезков второго рана $\sigma_{i}^{(2)}$ ($i = 1, 2, \dots, 16$). Просдолжая процесс деления, получим отрезки третьего, четверого и больших ранов. При этом отрезки $r$-го рана будут иметь вид:

$$\sigma_{i}^{(r)} = \left[ \frac{i - 1}{4^r}, \frac{i}{4^r} \right] \quad (i = 1, 2, \dots, 4^r).$$

Возьем теперь некоторую точку $t_0 \in \sigma$.

Если она не совпадает ни с одной точкой деления, то существуетровно один отрезок каждого рана, ее содержащий. Пусть таким являются $\sigma_{i}^{(1)}, \sigma_{i}^{(2)}, \sigma_{i}^{(3)}, \dots$. Поставим в соответствии точке $t_0$ бесконечную последовательность натуральных чисел $i_1, i_2, i_3, \dots$ и будем это записьвать так:

$$t_0 = (i_1, i_2, i_3, \dots).$$

Пример. $1/3 = (2, 6, 22, 85, \dots)$.

Если же точка $t_0$ совпадает с какой-либо точкой деления, то есть имеет вид $m/4^n$, то начиная с отрезков $n$-го рана ее будет содержать два соседних отрезка каждого рана. Сопоставим ей две последовательности натуральных чисел ($i_1, i_2, i_3, \dots$), в которых $1 \leq i_1 \leq 4$, $4i_k - 3 \leq i_{k+1} \leq 4i_k$. Обратно, каждая такая последовательность определяет единственный точку отрезка $\sigma$ (доказайте!).

2. Проведем аналогичное построение для единчного квадрата Q. Разделив его на четыре конгрузных квадрата, получим квадраты первого рана: $Q_{1}^{(1)}, Q_{2}^{(1)}, Q_{3}^{(1)}, Q_{4}^{(1)}$. Деление каждого из этих квадратов на четыре конгрузных квадрата дает квадраты второго рана и так далее. Вообще, деление каждого квадрата $r$-го рана $Q_{i}^{(r)}$ на четыре конгрузных квадрата дает четыре квадрата $(r+1)$-го рана: $Q_{4i+1}^{(r+1)}, Q_{4i+1}^{(r+1)}, Q_{4i+1}^{(r+1)}, Q_{4i+1}^{(r+1)}$ ($i = 1, 2, \dots, 4^r$). Нумерацию квадратов проведем так, чтобы:

1. первый квадрат любого рана содержался точку (0, 0);

2. можно было из квадрата $Q_{i}^{(r)}$ обойти в нем последовательное квадрата $Q_{4i+1}^{(r+1)}, Q_{4i+1}^{(r+1)}, Q_{4i+1}^{(r+1)}, Q_{4i+1}^{(r+1)}$ и выйти в квадрате $Q_{i+1}^{(r)}$, пересекая лишь стороны (но не вершины!) квадратов рана $(r+1)$.

16

Рис. 2.

Предлагаем читателю доказать, что такая нумерация всегда возможно. На рисунке 2 приведены квадраты первых трех рангов, причем красной ломаной указаны путь, по которой идет нумерация квадратов (начиная с левого нижнего квадрата).

Продолжая рассуждение, убеждаемся, что каждой точке $(x_0, y_0)$ квадрат $Q$ можно привести в соответствии одному или несколько (сколько?) последовательности натуральных чисел, запишем это так:

$$(x_0, y_0) = [i_1, i_2, i_3, \dots]$$
$$(1 \leq i_1 \leq 4, 4i_k - 3 \leq i_k + 1 \leq 4i_k).$$

При меры: $(1/3, 1/3) = [1, 3, 9, \dots]$;
$(1/2, 1/3) = [1, 3, 10, \dots] = [1, 14, 56, \dots]$;
$(1/2, 1/2) = [1, 3, 11, \dots] = [2, 8, 32, \dots] = [3, 9, 33, \dots] = [4, 14, 54, \dots].$

И здесь можно доказать, что каждая такая последовательность определяет единственный точку $(x_0, y_0)$ из $Q$.

3. Запись точек отрезка $\sigma$ и квадрата $Q$ в виде бесконечных последовательностей натуральных чисел дает возможность осуществить отображение $\sigma$ на $Q$.

В самом деле, путь $t_0$ — произвольная точка $\sigma$ и

$$t_0 = (i_1, i_2, i_3, \dots).$$

Посленя последовательность однозначно определяет точку $(x_0, y_0)$, которое соответствует последовательности $[i_1, i_2, i_3, \dots]$. Если даже $t_0$ представимо в виде двух последовательностей, то обе они приводят к одной и той же точке $(x_0, y_0)$. Это легко доказать, если учеть, что длины стороны квадрата с возрастанием ранга стремятся к нулю. Итак, каждому $t_0$ соответствует единственное $(x_0, y_0)$.

Пусть теперь точка $(x_0, y_0) \in Q$ произвольна и $[i_1, i_2, i_3, \dots]$ — одно из представлений этой точки. Взяв $t_0 = (i_1, i_2, i_3, \dots)$, убеждаемся, что при нашем отображении каждая точка квадрата $Q$ соответствует хотя бы одной точке отрезка $\sigma$. А это значит, что $\sigma$ отображено на $Q$. Заметим, что это отображение не является взаимно однозначным, неотображением $Q$ соответствует двум, тем или даже четырем точкам $\sigma$.