Задачи

35

кона. Ньютона в этой системе, недостаточно знать выражение для полной энергии. Но об этом будет расссказано в другой статье.

В заключение приведим несколько задач, причем читатель самим предлагается ввести все исходные данные, необходимые для решения этих задач.

Уражнения

1. В вагоне на полке лежал грузик, скрепленный со стенкой с помощью пружинки. Когда поезд стал движется сускорением, грузик на пружинке начал колебаться. Найти перiod его колебаний.

2. На этот раз грузик высел на вервочке. Приускоренном движении поезда он начал колебаться. Найти перiod колебаний и положение равновесия этого математического матрика.

3. В трубке, прикрепленной к тележке и изогнутой под прямым углом, налита вода, заполненная горизонтальное колено. На какую высоту поднимается вода в вертикальном колене, когда тележка начинает движаться ускорено?

4. Чемодан, лежащий на полке, был привязан вервкой. При какомускорении поезда вервка оборвется? Как влияет трене чемодана о полку?

5. Пружину с грузиком врашают с угловой скоростью $\omega$. Как будет колебаться грузик?

6. В цилиндрическом сосуде находится кислород. Сосуд врашается вокруг оси. Как изменяется давление газа по радиусу сосуда?

Задания

1. Направо и налево от нуля выписьают числа натурального ряда:
   …6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7…

Затем, отсчитывая от правой единици, зачеркивают каждое треть число (и налево, и направо), отсчитывая от левой единици— каждое пятое число, отсчитывая от правой двойки— каждое седьмое число, отсчитывая от левой двойки— каждое девятое число и так далее. Доказать, что в результате слева незачеркинутыми останутся все такие числа $k$, что $4k+1$ — простое число, а справа — все такие числа $m$, что $4m-1$ — простое число.

2. На сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ выбраны соответственно точки $L_1$, $M_1$, $N_1$ и $L_2$, $M_2$, $N_2$, причем так, что
   $$\frac{AL_1}{L_1B} = \frac{BL_2}{L_2A},$$
   $$\frac{BM_1}{M_1C} = \frac{CM_2}{M_2B},$$
   $$\frac{CN_1}{N_1A} = \frac{AN_2}{N_2C}.$$

Доказать, что площади треугольников $L_1M_1N_1$ и $L_2M_2N_2$ равны.

3. На стороны треугольника $ABC$ опущены высоты $AD$, $BE$ и $CF$. Доказать, что
   a) площadb треугольника, вершинами которого является середины $H$, $K$ и $L$ проведенных высот, равна $1/4$ площади треугольника $DEF$;

6. обозначим через $\theta$, $\varphi$ соответствие углы (отчисываемые против хода часовой стрелки), которые образуют прямые $HK$ и $AB$, $KL$ и $BC$, $LM$ и $CA$; тогда справаливо равенство
   $(\cos^2 A + \cos^2 B) \ tg \theta +$
   $+ (\cos^2 B + \cos^2 C) \ tg \varphi +$
   $+ (\cos^2 C + \cos^2 A) \times$
   $\times \ tg \psi = 0.$