Задачи

61

Задания

1. Восьмиклассики построены в шереггу. Перед каждым из них стоит семиклассик, который ниже ростом. Доказать, что если шереги семиклассков иосьмиклассков построить по росту, то по-прежнему каждыйосьмиклассик будет выше стоящего перед ним семиклассика.

2. Мальчик поямал в реке рыбу. Ему захотелось тут же хотя бы приблизительно определять массу этой рыбы. Как он может это сделать, если у него естьровная прочная удочка и в своих запасах он нашел буханку хлеба массой в 1 ккал?

3. Доказать, что $n^2 + n + 1$ не делится на 1974 ни при каком целом $n$.

4. Длинный коридор имеет электропроводку. Человек, войдя с одного конца коридора, включал лампу, а пройдя коридор — выключил ее. Какова схема проводки, если лампочку можно включать и выключать из общих концов коридора?

5. Дана шахматная доска размером $100 \times 100$ клеток. Две клетки называем соседними, если они имеют общую сторону. В клетках этой доски стоит цельные числа, причем числа, стоящие в соседних клетках, отличаются не более чем на 20. Доказать, что на доске найдется три одинаковых числа.

6. Имеется алюминевый шарик объемом $20 \text{ cm}^3$ и массой $18 \text{ g}$. Как определить, сплошной он или внутри него есть воздушная полость?

Можно ли каким-нибудь способом выяснить, находится эта полость в центре шара или около его поверхности?

Рисунки Э. Назарова