Задачи М276—М280; Ф288—Ф292

Квант 1974, №8 с. 44-45 Тег EKEE

Задачик Кванта

Решения задач из этого номера можно посылать не позднее 1 октября 1974 г. по адресу: 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, издательство «Наука», журнал «Квант». После адреса на конверте написите, решения каких задач вы посылаете, например: «Задачик «Кванта», М276, М277» или «… Ф288».
Решения задач по каждому из предметов [математике и физике], а также новые задачи просбапись в отдельных конвертах. Задания из различных номеров журнала просылайте также в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанием на нем адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки ваших решений). Условия оригинальных задач, предлагаемых для публикации, просылайте в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих задач (на конверте пометьте: «Задачик «Кванта», новая задача по физике или «… новая задача по математике»). После формирования задачи мы обещаем указывать, кто предложил нам эту задачу. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Наболее трудные отечечные звездочки.
В этом номере, как и в предыдущем, «Задачик «Кванта» составлен из задач последней Всесоюзной олимпiadы и их обобщений. Полный набор задач олимпiadы и подробный рассказ о заключителном.type мы помещим в № 10 за этот год.

Задачи

M276—M280; Ф288—Ф292

M276. Дан квадрат ABCD. Точки P и Q лежат соответственно на сторонах AB и BC, причем BP = BQ. Пусть H — основание перпендикула, опущенного из точки B на отрезок PC. Докажите, что угол DHQ — прямой. (10 кл.)

Н. В. Васильев

M277. Задано несколько красных и несколько синих точек. Некоторые из них соединены отрезками. Назовем точку «особой», если более половины из соединенных с ней точек имеют цвет, отличный от ее цвета. Если есть хотя бы одна особая точка, то выбирается любая особая точка и перекрашивается в другой цвет. Докажите, что через конечное число шагов не останется ни одной особой точки. (10 кл.)

А. М. Штейнберг

M278. a) Каждая из сторон выпуклого шестиугольника имеет длину больше 1. Всегда ли в нем найдется диагональ длины больше 2?

В выпуклом шестиугольнике ABCDEF длины диагонале AD, BE и CF больше 2. Всегда ли у него найдется сторона длины больше 1? (8 кл.)

Н. Х. Адаханов

M279. На n карточках, выложенных по окружности, записаны числа, каждое из которых равно +1 или —1. За какое наименьшее число вопросов можно наверняка определить произведение всех n чисел, если за один вопрос разрешается узнать

a) произведение чисел на любых трех карточках?

произведение чисел на любых трех карточках, лежащих подряд? (n — натуральное число, больше 3). (9 кл.)

Ю. И. Ионин

М280*. Дан треугольник ABC площади 1. Пусть $A_1, B_1$ и $C_1$ — середины сторона BC, AC и AB соответственно. Какую минимально площадь может иметь общая часть треугольников $A_1B_1C_1$ и KLM, если точки K, L и M лежат соответственно на отрезках $AB_1, CA_1$ и $BC_1$ ? (10 кл.)

Б. М. Иольев

Ф288. Сосуд C (рис. 1) сообщается с окружающим пространством через малое отверстие. Температура газа в окружашем пространстве T, давление p. Газ настолько разрежен, что молекулы при пролете в сосуд и из сосуда на протяжении размеров отверстия не сталиваются друг с другом. В сосуд поддерживает температура 4 T. Каким будет давление в сосуд? (9 кл.)

Ф289. По сторонам прямого угла скользит жесткая палочка длины 2 l, в центре которого закреплена бусинка массы m. Скорость точки B постоянна и равна v (рис. 2). Определить, с какой силой действует бусинка на палочку в тот момент, когда $\alpha = 45^\circ$ . (8 кл.)

Рис. 1. Рис. 2.

Ф290. Трубка, в которой находится пружинка с прикреплением к ней шариком, может врашаться вокруг вертикальной оси, проходящей через конец трубки. Свободный конец пружинки прикреплен к трубке (рис. 3). График зависимости силы упругости пружины F от деформации представлен на рисунке 4.

Нарисуйте примерный график зависимости смесения шарика вдоль трубки от угловой скорости при увеличении ее от нуля до такой величины,

когда $F = 5$ н. Как изменится эта зависимость при уменьшении угловой скорости? $l_0 = 2$ см. (8—9 кл.)

Ф291. Два одинаковых конденсатора A и B, каждый emкость C, и катушка с индуктивностью L соединены как показано на рисунке 5.

Рис. 5. Рис. 6.

В начальной момент ключ K разомкнут, конденсатор A заряжен до разности потенциальов U. Заряд конденсатора B и ток в катушке равны нулю. Определите максимальное значение тока в катушке после замыкания ключа. (10 кл.)

Ф292. Из одной точки на дне горизонтального кругового железа разлетаются шарики под небольшими углами к образующей железа с одинаковыми проекциями скорости вдоль этой образующей (рис. 6). Встретается ли эти шарики? (10 кл.)