Задачи М281—М285; Ф293—Ф297

42

Задчи

M281—M285; Ф293—Ф297

M281. Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого имеют одинаковую длину?

Г. А. Гальперин

M282. В клетках прямогольной таблицы размерами $m \times n$ записаны любые натуральные числа. За один разрезается удвоить все числа одной строки или же вычесть единицу из всех чисел одного столбца. Доказите, что за несколько ходов можно добиться, чтобы все числа стали равными нулю.

С. Коняцин

M283. Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все его стороны одновременно на единицу во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному. До

кажите, что в этот многоугольник можно вписать окружность.

M284. Сумма 100 натуральных чисел, каждое из которых не больше 100, равна 200. Доказите, что из них можно выбрать несколько чисел, сумма которых равна 100.

M285*. Прямогольный лист бумаги размерами $a \times b$ разрезан на прямогольные полоски, у каждой из которых одна сторона имеет длину 1. Доказите, что хотя бы одно из чисел $a$ и $b$ — целое.

А. В. Климов

Ф293. Марс во время противления на расстоянии $l = 5,56 \cdot 10^{10}$ м от Земли и его угловой диаметр равен 25″, 1. Определитьускорение свободного падения на поверхности Марса, если известно, что максимальное угловое расстояние между центрами Марса и его

43

спутника Фобока β = 34°, 5, а перiod обращения Фобока вокруг давления, необходимо подводить телло. Во время опыта меняется давление в камере, и это приводит к изменению сопротивления любой проволоки, используемой в качестве нагревателя. На рисунке 1 показана схема, используя в случае, когда необходимо, чтобы количество подводимого за одно и то же время телла очень слабо зависит от давления. Сопротивление $R_3$ — это обмотка нагревателя, $R_1$ и $R_2$ — некоторые постоянные сопротивления, которые находятся в камеры высокого давления. При каком соответствии между $R_1$, $R_2$ и $R_3$ мощность, рассеиваемая на сопротивлении $R_3$, меняется меньше всего при изменении величины сопротивления $R_3$?

Ф295. Какова должа быть точность измененияускорения свободного падения у поверхности Земли для того, чтобы можно было обнаружить изменение этой величины в течение суток из-за притяжения Лунны? Считать, что изменение произвольится в точке, которая лежит в плоскости орбиты Лунны; врашением Земли пренебречь.