Задачи наших читателей

в произведении неприводимых многочленов:
$$\bar{q} = \bar{q}_1 \cdot \dots \cdot \bar{q}_s.$$
Степень каждого многочлена $q_i$ меньше степени многочлена $q$. Тогда $\bar{u} \cdot \bar{v} = q \cdot \bar{q}_1 \cdot \dots \cdot \bar{q}_s$. По предположению индукции, из того, что $\bar{u} \cdot \bar{v}$ делится на $\bar{q}_i$ (для каждой $i$), следует, что либо $\bar{u}$, либо $\bar{v}$ делится на $\bar{q}_i$. Последовательно сокращая произведение $u \cdot v$ на $\bar{q}_1, \dots, \bar{q}_i$, получим равенство $\tilde{u} \cdot \tilde{v} = q$ ($\tilde{u}$ и $\tilde{v}$ — это многочлены, полученные из $u$ и $v$ соответствующими сокращениями на многочлены $\bar{q}_i$). Но $q$ — непроведимый многочлен, поэтому либо $\tilde{u} = c \cdot q$, либо $\tilde{v} = c \cdot q$. Однако эти равенства выполняться не могут (из-за степени расматриваемых многочленов). Следовательно, предположение, что $\bar{u} \cdot \tilde{v} \neq 0$, т. е. что $\bar{q} \neq 0$, неверно; значит, либо $\bar{u} = 0$, либо $\tilde{v} = 0$, и утверждение доказано.

Докажем теперь однозначность разложения в произведение неприводимых многочленов. Имеем:

$$p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_l = q_1 \cdot q_2 \cdot \dots \cdot q_s.$$
Положив $u = p_1$, $v = p_2 \cdot \dots \cdot p_l$, получим, что либо $u$ делится на $q_1$, и тогда $p_1 = cq_1$, поскольку $p_1$ — непроведимым; либо $v$ делится на $q_1$. Во втором случае положим $p_2 = u_1$, а $p_3 \cdot \dots \cdot p_l = v_1$; получим, что либо $p_2 = c \cdot q_1$, либо $p_3 \cdot \dots \cdot p_l$ делится на $q_1$, и т. д. до тех пор, пока не найдем номера $i$, для которого $p_i = c \cdot q_1$. Поступая аналогично с $q_2$, найдем такое $k$, что $p_k = c \cdot q_2$, и т. д., для всех $m = 1, \dots, s$. Отсюда получаем также, что $l = s$.

Б. Покажем что если произведение попарно взаннотrophic многочленов $p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_k$ равно $n$-й степени неокоторого многочлена $q$: $p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_k = q^n$, то каждый многочлен является $n$-й степени неокоторого многочлена $f_i : p_i = f_i^n$.

Разложим многочлен $q$ на непроведимые многочлены: $q = q_1 \cdot q_2 \cdot \dots \cdot q_m$. Тогда $q^n = q_1^n \cdot q_2^n \cdot \dots \cdot q_m^n$. Возьмем многочлен $p_1$, и пусть $p_{11}$ — непроведимый многочлен, входящий в его разложение. В силу однозначности разложения на непроведимые многочлены, $p_{11}$ совпадает с каким-то многочленом $q_l$, то есть многочлен $p_1$ делится на $q_l$. Но многочлены $p_i$, где $i \neq 1$, на $q_l$ не делятся (поскольку $p_1, \dots, p_k$ попарно взаннотrophic), а потом многочлен $p_1$ делится и на $q_l^n$, то есть $p_1 = q_l^n \cdot \bar{p}_1$. Применяя аналогичное рассужждение к многочлену $\bar{p}_1$, найдем, что $p_1 = q_l^n \cdot q_s^n \cdot \dots \cdot q_r^n = f_i^n$, где $f_1 = q_l \cdot q_s \cdot \dots \cdot q_r$. Аналогично поступим и с остальных многочленами $p_i$; $i \neq 1$.

Задачи
наших
читателей

1. Дан треугольник $ABC$ со стороны $a, b, c$ и медианами $m_a, m_b, m_c$. Доказать heravенства

a) $\frac{m_a^2}{a^2} + \frac{m_b^2}{b^2} + \frac{m_c^2}{c^2} \geq \frac{9}{4}$;

b) $\frac{m_a}{a} + \frac{m_b}{b} + \frac{m_c}{c} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Когда в этих heravенствах достигается равенство?

2. Дан произвольный выпукленный четырехугольник $ABCD$ (возможно, выроженный — две его вершины могут совпадать). Точки $P, K, S, N$ — середины стороны $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Пусть $(AK) \cap (BN) = L; (KD) \cap (NC) = M; (PC) \cap (BS) = Q; (AS) \cap (PD) = T$. Доказать, что

a) $\frac{S_{KMN}}{S_{ABCD}} \leq \frac{1}{3}$;

b) $\frac{1}{3} \leq \frac{S_{KMN} + S_{PQST}}{S_{ABCD}} \leq \frac{1}{2}$.

3. Снова $ABCD$ — произвольный выпукленный четырехугольник, точки $E, F, G, H$ — середины стороны $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Обозначим $(AF) \cap (BG) = K; (BG) \cap (CH) = L; (CH) \cap (DE) = M; (DE) \cap (AF) = N$. Доказать, что

$$\frac{1}{6} \leq \frac{S_{KLMN}}{S_{ABCD}} \leq \frac{1}{5}.$$

В. Матизен
(г. Новосибирск)