Задачи наших читателей

29

с 21 начального поля. Среди них были 10 контрипмеров с полей, отмененных на рисунке 2 звездочки. Легко сообщать, что эти 10 контрипмеров достаточно, чтобы утверждать: с какое-то поля конь ни начinal свое движение, существуем путь, удовлетворяющий правилам Варисдорфа, который обращается равно полного обхода доски. На рисунках 3, 4 приведены 2 контрипмера (красными кружками отменены поля, не проиденные конем).

В заключение поставим ряд задач:

1. Справедливо ли утверждение: с какое-то поля конь ни начinal свое движение?

2. Решить уравнение
   $$\frac{xy^m}{m+1} = \frac{xyy \dots y}{m+1}$$
   где $m$ — целое число.

3. Через вершины $A, B$ и $C$ треугольника $ABC$ проведены прямые, пересекающие в одной точке $O$.

Обозначим $\alpha = \widehat{OAC}$, $\beta = \widehat{OBA}$, $\gamma = \widehat{OCB}$, причем каждый из этих углов будет считать положительным, если он содержит соответствующий внутренний угол треугольника или сам содержится в нем, равным нулю, если его стороны совпадают, и отрицательным в противном случае. Пусть $O$ — одна из шести замечательных точек треугольника $ABC$ — центр вписанной или центр описанной окружности, ортоцентр или один из трех центров внешписанных окружностей. Доказать, что тогда $\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2}$.

В. Колбасенко (г. Суходольск)